高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列精品达标测试

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知识点1 等比数列有关概念
1. 等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：.
注：(1)定义的符号表示：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.
2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成 SKIPIF 1 < 0 ，它与指数函数 SKIPIF 1 < 0 有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列．
注：（1）等比数列通项公式的推导
设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)．
方法一 an＝eq \f(an,an－1)×eq \f(an－1,an－2)×…×eq \f(a3,a2)×eq \f(a2,a1)×a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立．
由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；
（3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab．
注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
④等比中项与等差中项的异同，对比如下表：
【即学即练1】在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，公比为q．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求q并写出通项公式 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求项数n．
【即学即练2】在各项均为负的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2) SKIPIF 1 < 0 是否为该数列的项？若是，为第几项？
【即学即练3】已知在递减等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．7C．8D．9
【即学即练4】在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项为________．
知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq \f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)，
则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
注意点：(1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0,01时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0,0【即学即练5】下列说法正确的是______．（填序号）
①数列 SKIPIF 1 < 0 图像上的点都在函数 SKIPIF 1 < 0 的图像上；
②数列 SKIPIF 1 < 0 的图像与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像相同；
③函数 SKIPIF 1 < 0 图像上存在满足数列通项公式 SKIPIF 1 < 0 的点；
④数列 SKIPIF 1 < 0 图像上可能存在不满足函数关系式 SKIPIF 1 < 0 的点．
知识点3 等比数列的判定与证明
证明等比数列的方法
1．定义法：eq \f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)；
2．等比中项法：aeq \\al(2,n)＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)；
3．通项公式法：an＝a1qn－1.
注：用定义法证明时，eq \f(an,an－1)和eq \f(an＋1,an)中的n的范围不同
【即学即练6】数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
【即学即练7】【多选】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为4的等差数列
知识点4 等比数列的性质
在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列．
（2）在等比数列中，对任意，，；
（3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等比中项. 也就是：，如图所示：.
注：(1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；
(3)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比数列下标为奇数的项正负相同，下标为偶数的项正负相同；
（4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
（5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项： SKIPIF 1 < 0 若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
（6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
（7）等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
【即学即练8】已知等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，则a10的值是（ ）
A．16B．14C．6D．5
【即学即练9】记等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．256B．81C．16D．1
【即学即练10】已知数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．16B．8C．-8D．-16
【即学即练11】等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．15C．8D． SKIPIF 1 < 0
知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
考点一 等比数列概念的理解
解题方略：
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
【例1-1】将公比为q的等比数列 SKIPIF 1 < 0 依次取相邻两项的乘积组成的新数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…．则此数列______（选填“是”或“不是”’）等比数列，若是，则公比为______．
变式1：已知数列a， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
变式2：已知一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了4个伙伴；第2天，5只蜜蜂飞出去，各自找回了4个伙伴，……按照这个规律继续下去，第20天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只B．520只C． SKIPIF 1 < 0 只D． SKIPIF 1 < 0 只
考点二 等比数列中的基本运算
解题方略：
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.
（2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、 SKIPIF 1 < 0 ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．
（3）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为.
这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便.
【例2-1】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
变式1：在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则通项公式 SKIPIF 1 < 0 ________．
变式2：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．18B．24C．30D．42
变式3：在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
变式4：设四个数中前三个数依次成等比数列，其和为19，后三个数依次成等差数列，其和为12，求该数列．
考点三 等比中项的应用
解题方略：
1、两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±eq \r(ab))，而不是一个(eq \r(ab))，这是容易忽视的地方.
2、几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为eq \f(a,q)，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，eq \f(a,q2)，eq \f(a,q)，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，eq \f(a,q5)，eq \f(a,q3)，eq \f(a,q)，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
【例3-1】“ SKIPIF 1 < 0 ”是“G是a、b的等比中项”的（ ）条件
A．既不充分也不必要B．充分不必要
C．必要不充分D．充要
变式1：方程 SKIPIF 1 < 0 两根的等比中项是______．
变式2：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，命题 SKIPIF 1 < 0 ，命题 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的等比中项，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
变式3：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前5项积为______．
变式4：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 中的前三项为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
变式5：如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为______．
变式6：若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则称 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项；
(2)已知两个数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的等比中项是 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
考点四 等比数列的证明
解题方略：
【例4-1】【多选】设数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：已知函数 SKIPIF 1 < 0 （k为常数， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）．下列条件中，能使数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列的是______（填序号）．
①数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
变式2：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项的和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)讨论a的值，说明数列 SKIPIF 1 < 0 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由．
变式3：已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 中的最小项.
变式4：已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)若不等式 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
变式5：设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 ．
变式6：数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求证：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求其通项公式．
考点五 等比数列的性质及其应用
解题方略：
等比数列项的性质应用
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【例5-1】已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为（ ）
A．2B．4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2：在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3：已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，则的 SKIPIF 1 < 0 的值是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式4：在各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．12C．56D．78
考点六 等比数列的函数特征（单调性和最值）
解题方略：
判断等比数列的单调性的方法
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列．
【例6-1】设 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
变式1：等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，公比为q，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
变式2：设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 中最大的项为_____.
题组A 基础过关练
1．【多选】若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则下列是等比数列的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
B．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
D．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
3．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．4D．8
5．等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ______．
7．若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b， SKIPIF 1 < 0 又依次成等比数列，则a＝______．
8．四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
题组B 能力提升练
9．在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，如果 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B．15C．20D．25
10．【多选】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，公比为q，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．【多选】等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项的积为 SKIPIF 1 < 0 ，并且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 的值是 SKIPIF 1 < 0 中最大的D．T99的值是Tn中最大的
12．若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
13．某企业年初在一个项目上投资2000万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的50%，为了企业长远发展，每年年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过 SKIPIF 1 < 0 年后，该项目的资金为 SKIPIF 1 < 0 万元．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求证：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；
(3)若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
题组C 培优拔尖练
14．【多选】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小D．存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 成等差数列时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．
16．正项数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 是等比数列？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由.
17．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时 SKIPIF 1 < 0 的取值.
4.3.2 等比数列的前n项和公式
知识点1 等比数列的前n项和公式
注：（1）等比数列前n项和公式的推导
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：eq \f(a2,a1)＝eq \f(a3,a2)＝…＝eq \f(an,an－1)＝q，
根据等比数列的性质，有eq \f(a2＋a3＋…＋an,a1＋a2＋…＋an－1)＝eq \f(Sn－a1,Sn－an)＝q，eq \f(Sn－a1,Sn－an)＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)或Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．
（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个
（3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；
（4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.
（5）等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时，设A＝eq \f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.
（Sn＝eq \f(a1－a1qn,1－q)＝－eq \f(a1,1－q)qn＋eq \f(a1,1－q)，设A＝－eq \f(a1,1－q)，则Sn＝Aqn－A.）
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
【即学即练1】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．64B．42C．32D．22
【即学即练2】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，公比 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【即学即练3】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，当常数 SKIPIF 1 < 0 满足什么条件时，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列？
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，当常数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足什么条件时，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列？
知识点2 等比数列前n项和的性质
1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.
注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq \f(a11－q3n,1－q).
S2n－Sn＝eq \f(a11－q2n,1－q)－eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1qn1－qn,1－q)，
S3n－S2n＝eq \f(a11－q3n,1－q)－eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(a1q2n1－qn,1－q)，
而(S2n－Sn)2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq \f(a11－qn,1－q)×eq \f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝eq \f(Sn＋m－Sn,Sm)(q为公比)．
注：思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.
4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
（1）在其前2n项中，eq \f(S偶,S奇)＝q；
（2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq \f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq \f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1).
S奇＝a1＋qS偶．
注：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq \f(S偶,S奇)＝q.
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
【即学即练4】【多选】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
C．若 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等比数列
D．若 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0
【即学即练5】记等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．12B．18C．21D．27
【即学即练6】等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．90B．120C．240D．480
【即学即练7】已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．12D．15
【即学即练8】等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．10B．20C．20或 SKIPIF 1 < 0 10D． SKIPIF 1 < 0 20或10
【即学即练9】已知一个项数为偶数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，所有项之和为所有偶数项之和的 SKIPIF 1 < 0 倍，前 SKIPIF 1 < 0 项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
知识点3 等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
(2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
(3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
【即学即练10】古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天织布多？”根据上述的已知条件，可求得该女子第5天所织布的尺数为______．
【即学即练11】某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列．已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要______万元．
考点一 等比数列前n项和公式的基本运算
解题方略：
(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量 SKIPIF 1 < 0 ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，eq \f(a1,1－q)都可看作一个整体．
(3)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)，当q>1时，用公式Sn＝eq \f(a1,q－1)(qn－1)代入计算，当q<1时，用公式Sn＝eq \f(a1,1－q)(1－qn)代入计算，可避免出现符号错误．

【例1-1】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若公比 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
变式1：已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则等比数列的公比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D．3
变式2：等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，其前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．32C．64D． SKIPIF 1 < 0
变式3：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若公比 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求n；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求公比q．
考点二 等比数列的片段和性质的应用
解题方略：
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
【例2-1】在各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
变式1：已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝13，S40＝（ ）
A．﹣51B．﹣20C．27D．40
变式2：等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
变式3：等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1+a2+a3＝2，S6＝9S3，则S9＝（ ）
A．50B．100C．146D．128
变式4：已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的等差中项为__________.
变式5：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点三 等比数列奇偶项和的性质
解题方略：
等比数列{an}共有2n项，要抓住eq \f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
【例3-1】已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，它的所有项的和是奇数项的和的 SKIPIF 1 < 0 倍，则公比 SKIPIF 1 < 0 ______.
变式1：在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且公比 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前100项和为______．
变式2：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式3：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有32项，其公比 SKIPIF 1 < 0 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
考点四 等比数列前n项和其他性质
【例4-1】设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前 SKIPIF 1 < 0 项积为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
变式1：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ，并满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 中的最大项
考点五 等比数列中an与Sn的关系
解题方略：
由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1，
②若a1不适合an，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
【例5-1】已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：【多选】已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0
变式2：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式 SKIPIF 1 < 0 ，求m的最大值．
变式3：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，在① SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，并作答.
(1)求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，求数列{ SKIPIF 1 < 0 }的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
变式4：已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2n项和 SKIPIF 1 < 0 .
考点六 等比数列的简单应用
解题方略：
解应用问题的核心是建立数学模型．
一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么(n，an，Sn)．
【例6-1】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里B．5里C．4里D．3里
变式1：我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为10尺，则在第（ ）天墙才能被打穿？
A．3B．4C．5D．6
变式2：童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（ ）
A．96B．144C．192D．231
考点七 等差数列、等比数列的综合问题
解题方略：
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．
【例7-1】已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1：已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 各项均为正数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题组A 基础过关练
1．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D．7
2．【多选】已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
B．数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…为等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…为等比数列
D．数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…为等比数列
3．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
4．设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则λ＝________．
5．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前2021项和等于______．
6．已知项数为奇数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
7．已知一个等比数列的前 SKIPIF 1 < 0 项、前 SKIPIF 1 < 0 项、前 SKIPIF 1 < 0 项的和分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列式子正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
题组B 能力提升练
8．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则“数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列”为“存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
9．公比 SKIPIF 1 < 0 的等比数列的前3项，前6项，前9项的和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下面等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等比数列B． SKIPIF 1 < 0 是递增数列
C． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比D． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等比
11．【多选】已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列B． SKIPIF 1 < 0 可能为 SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列
12．记 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__.
13．已知首项均为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的各项均不相等，设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值之差为__________．
题组C 培优拔尖练
14．已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别是数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若对 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
15．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，且求其通项公式；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
16．已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均不为零， SKIPIF 1 < 0 为其前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求数列 SKIPIF 1 < 0 的前2022项和 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题.
通过本节课的学习，要求能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题.
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)
公式
A＝eq \f(a＋b,2)
G＝±eq \r(ab)
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项
公式法
若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
课程标准
课标解读
掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项.
会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值.
能处理与等比数列相关的综合问题
通过本节课的学习，要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题.
已知量
首项a1，项数n与公比q
首项a1，末项an与公比q
公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1))
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1))