江苏省南京市秦淮区钟英中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省南京市秦淮区钟英中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）如图，点D，E分别在线段AB，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
3．（2分）如图，已知△ABC≌△A′BC′，A′C′∥BC，则∠ABA′的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
4．（2分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
5．（2分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）角是轴对称图形， 是它的对称轴．
8．（2分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ ．
9．（2分）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，则需添加的一个条件是 .（只填一个即可）
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，适当长为半径画弧，分别交边AC，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点P，若CD＝4，AB＝25 ．
11．（2分）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，则∠DEF＝ °．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD＝BA，DE⊥AC于E，若DC＝7.8，BF＝3 ．
13．（2分）如图，BE⊥AE，CF⊥BE，F，D是线段EF的中点，CF＝BF，DE＝3，则△ABC的面积是 ．
14．（2分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分） ．
15．（2分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；
②；
③△ABD≌△CBD；
④四边形ABCD的面积＝AC•BD．
其中正确的结论有 ．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD、BE分别是△ABC边BC、AC上的高，P是AD上的动点 ．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（6分）把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格画上斜线，使画斜线的部分成为一个轴对称图形
18．（6分）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在图①中，作出该图形的对称轴l；
（2）在图②中，作出点P的对称点P'．
19．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到点B与点C的距离之和最小．
20．（6分）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图）
21．（6分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，∠DCE＝∠A．若DE＝10，求BD的长．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD、CE相交于点O．连接AO
23．（6分）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC
（1）试说明△ABC≌△DBE；
（2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠DAE＝40°，∠DOE＝ °，若∠DAE＝n°，∠DOE＝ .°
25．（8分）如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，求证：BG＝CH．
26．（10分）已知：△ABC和△A′B′C，D、D′分别为BC、B′C′中点，且AD＝A′D′
（1）当BD＝B′D′时，求证：△ABC≅△A'B'C'．
（2）当AC＝A'C'时，求证：△ABC≌△A'B'C'．
2024-2025学年江苏省南京市秦淮区钟英中学八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、C、D中的图形是轴对称图形、C、D不符合题意；
B、图形不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（2分）如图，点D，E分别在线段AB，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C；
B、如添BE＝CD，不能证明△ABE≌△ACD；
C、如添BD＝CE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
3．（2分）如图，已知△ABC≌△A′BC′，A′C′∥BC，则∠ABA′的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠C＝∠C′＝20°，∠ABC＝∠A′BC′，进而可得∠ABA′＝∠CBC′，然后根据平行线的性质求出∠CBC′＝∠C′＝20°，即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△A′BC′，∠C＝20°，
∴∠C＝∠C′＝20°，∠ABC＝∠A′BC′，
∴∠ABA′＝∠CBC′，
∵A′C′∥BC，
∴∠CBC′＝∠C′＝20°，
∴∠ABA′＝20°；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．（2分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点
B．△ABC三边的垂直平分线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点
D．△ABC三条高所在直线的交点
【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
【解答】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．
5．（2分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D、E在AB上，将△ACD、△BCE分别沿CD、CE翻折，再将△A′CD、△B′CE分别沿A′C、B′C翻折，点D与点E恰好重合于点O（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【分析】如图所示，延长CO到F，由翻折的性质可知：∠A′CF＝，，∠CA′O＝∠DA′O＝∠A＝45°，∠OB′C＝∠CB′E＝∠B＝45°，最后利用三角形外角的性质可求得∠A′OB′的度数．
【解答】解：如图所示：延长CO到F．
∵AB＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
由翻折的性质可知：∠A′CF＝，，∠CA′O＝∠DA′O＝∠A＝45°．
∴∠A′CB′＝∠A′CF+∠B′CF＝＝30°．
∴∠A′OB′＝∠A′CB′+∠CA′O+∠OB′C＝30°+45°+45°＝120°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，利用翻折的性质求得∠A′CB′＝30°，∠CA′O＝45°，∠OB′C＝45°是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）
7．（2分）角是轴对称图形， 角平分线所在的直线 是它的对称轴．
【分析】根据角的对称性解答．
【解答】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．
故答案为：角平分线所在的直线．
【点评】本题考查了角的对称轴，需要注意轴对称图形的对称轴是直线，此题容易说成是“角平分线”而导致出错．
8．（2分）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 135° ．
【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠2+∠2＝∠2+∠5＝135°．
故答案为：135°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确借助网格分析是解题关键．
9．（2分）如图，射线AE平分∠DAC，点B在射线AE上，则需添加的一个条件是 AD＝AC（答案不唯一） .（只填一个即可）
【分析】根据三角形全等的判定条件即可解决问题．
【解答】解：∵射线AE平分∠DAC，
∴∠DAB＝∠CAB．
又∵AB＝AB，
∴当添加AD＝AC时，可根据SAS得出△ABD≌△ABC．
故答案为：AD＝AC（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知判定三角形全等的条件是解题的关键．
10．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，适当长为半径画弧，分别交边AC，再分别以M，N为圆心长为半径画弧，两弧交于点P，若CD＝4，AB＝25 50 ．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，根据作图可得AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质可得CD＝DH＝4，即可求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
由作图可得，AD平分∠BAC，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∴CD＝DH＝4，
∵AB＝25，
∴△ABD的面积为，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11．（2分）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，则∠DEF＝ 55 °．
【分析】根据折叠的性质和邻补角的定义求得∠EFB的度数，然后利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，由折叠的性质知：∠EFB＝∠EFD．
∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，
∴∠EFB＝＝55°．
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握折叠与矩形的性质，由邻补角的定义求得∠EFB＝55°是解题的关键．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD＝BA，DE⊥AC于E，若DC＝7.8，BF＝3 1.8 ．
【分析】根据AAS证明△DBF与△ABC全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵DE⊥AC于E，
∴∠FDB+∠C＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠D+∠DFB＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
在△DBF与△ABC中，
，
∴△DBF≌△ABC（AAS），
∴BF＝BC，
∵DC＝7.8，BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝7.8﹣2﹣3＝1.4，
故答案为：1.8．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
13．（2分）如图，BE⊥AE，CF⊥BE，F，D是线段EF的中点，CF＝BF，DE＝3，则△ABC的面积是 28 ．
【分析】由△ADE≌△CDF（ASA），推出AE＝CF＝4，由CF＝BF，推出BF＝4，推出BE＝2DE+BF＝9，△ABC的面积＝△ABE的面积+△BCF的面积，即可求得．
【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥BE，
∴∠E＝∠CFD＝90°，
∵DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF＝4，
∵CF＝BF，
∴BF＝4，
∴BE＝3DE+BF＝6+4＝10，
∴△ABC的面积＝AE•BE+×3×10+，
故答案为：28．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（2分）如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（阴影部分） 5 ．
【分析】因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答．
【解答】解：如图，与△ABC成轴对称的格点三角形有△ACF、△DBC，△HBG共5个，
故答案为：5．
【点评】此题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
15．（2分）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，探究筝形的性质时，得到如下结论：
①AC⊥BD；
②；
③△ABD≌△CBD；
④四边形ABCD的面积＝AC•BD．
其中正确的结论有 ①②③ ．
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．
【解答】解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），故③正确；
∴∠ADB＝∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD＝∠COD＝90°，，
∴AC⊥DB，
故①②正确；
四边形ABCD的面积＝，
故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD、BE分别是△ABC边BC、AC上的高，P是AD上的动点 9.6 ．
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BE⊥AC于点E，BE交AD于点P，则此时PC+PE取最小值，最小值为BE的长，在△ABC中，利用面积法可求出BE的长度，此题得解．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，BE交AD于点P，最小值为BE的长．
∵AB＝AC，AD、AC上的高，
∴BP＝CP，∠ADB＝90°，
∵AB＝AC＝10，AD＝8，
∴BD＝6，
∴BC＝3BD＝12，
∵S△ABC＝BC•AD＝，
∴BE＝＝＝7.6．
∴PC+PE的最小值是9.8，
故答案为：9.6．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PE的最小值为BE是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）
17．（6分）把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格画上斜线，使画斜线的部分成为一个轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念与轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【解答】解：如图：
给图中的一个白色小方格划上斜线，使划伤斜线的部分成为一个轴对称图形．
【点评】本题考查了利用轴对称设计图案，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
18．（6分）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在图①中，作出该图形的对称轴l；
（2）在图②中，作出点P的对称点P'．
【分析】（1）连接两组对应点，进而交点连接即可；
（2）延长对应边，进而交点连接即可．
【解答】解：
（1）如图①：
（2）如图②．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．
（1）画出△ABC关于直线l对称的图形△A1B1C1；
（2）在直线l上找一点P，使PB＝PC；（要求在直线l上标出点P的位置）
（3）在直线l上找一点Q，使点Q到点B与点C的距离之和最小．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）过BC中点D作DP⊥BC交直线l于点P，使得PB＝PC；
（3）根据轴对称的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C3为所求；
（2）如图，点P为所求；
（3）如图，点Q为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
20．（6分）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图）
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得答案．
【解答】解：作∠mn的角平分线，作AB的垂直平分线，得
，
∠mn的角平分线与AB的垂直平分线的交点C即为所求得点．
【点评】本题考查了作图，画出角平分线与线段的垂直平分线是解题关键．
21．（6分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，∠DCE＝∠A．若DE＝10，求BD的长．
【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得DE＝BC，从而计算可得．
【解答】解：证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC，
∴BD＝BC﹣DC＝DE﹣AB＝10﹣8＝2．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，BD、CE相交于点O．连接AO
【分析】根据SAS证明△AEO与△ADO全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可．
【解答】证明：连接AO，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEO＝∠ADO，BD＝CE，
∵OB＝OC，
∴EO＝OD，
在△AEO与△ADO中，
，
∴△AEO≌△ADO（SAS），
∴∠EAO＝∠DAO，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC．
【点评】题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ACD是本题的关键．
23．（6分）将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA＝∠CBE，∠BDE＝∠BAC
（1）试说明△ABC≌△DBE；
（2）若∠ACD＝72°，求∠BED的度数．
【分析】（1）利用AAS证明三角形全等即可；
（2）全等三角形的性质，得到∠BED＝∠BCA，证明△DBC≌△ABC（SSS），得到，即可得解．
【解答】（1）证明：因为∠DBA＝∠CBE，
所以∠DBA+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC．
在△ABC和△DBE中，
，
所以△ABC≌△DBE（AAS）．
（2）解：因为△ABC≌△DBE，
所以BD＝BA，∠BCA＝∠BED．
在△DBC和△ABC中，
，
所以△DBC≌△ABC（SSS），
所以，
所以∠BED＝∠BCA＝36°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠DAE＝40°，∠DOE＝ 70 °，若∠DAE＝n°，∠DOE＝ 90°﹣n .°
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，AE＝CE，然后利用等线段代换求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则利用三角形内角和定理和等量代换得到∠BAC＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝180°﹣（∠BAC﹣∠DAE），所以∠BAC＝90°+∠DAE，接着根据四边形内角和得到∠BAC+∠DOE＝180°，则可证明∠DOE＝90°﹣∠DAE，然后把∠DAE＝40°或∠DAE＝n°分别代入得到对应的∠DOE的度数．
【解答】解：（1）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵△ADE的周长为6cm，
∴AD+DE+AE＝6cm，
∴BD+DE+CE＝6cm，
即BC＝2cm；
（2）∵AD＝BD，AE＝CE，
∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠BAC＝180°﹣∠BAD﹣∠CAE＝180°﹣（∠BAD+∠CAE）＝180°﹣（∠BAC﹣∠DAE），
∴∠BAC＝90°+∠DAE，
∵AB边的垂直平分线l5交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴∠BAC+∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣（90°+∠DAE）＝90°﹣，
当∠DAE＝40°时，∠DOE＝90°﹣；
当∠DAE＝n°时，∠DOE＝90°﹣．
故答案为：70，90°﹣n．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
25．（8分）如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，求证：BG＝CH．
【分析】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质可得DB＝DC；依据角平分线的性质可得DG＝DH；依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵D是线段BC垂直平分线上的点，
∴BD＝DC，
∵D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB
∴DG＝DH，∠DGB＝∠H＝90°，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH，
∴BG＝CH．
【点评】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形．
26．（10分）已知：△ABC和△A′B′C，D、D′分别为BC、B′C′中点，且AD＝A′D′
（1）当BD＝B′D′时，求证：△ABC≅△A'B'C'．
（2）当AC＝A'C'时，求证：△ABC≌△A'B'C'．
【分析】（1）由三角形全等的判定SSS，SAS可以解决问题；
（2）延长AD至点E，使得DE＝DA，连接BE，延长A'D'至点E'，使得D'E′＝D'A'，连接B'E'，可以证明．
【解答】（1）解：由题意得，①∠B＝∠B'BCB'C'，
故答案为：①∠B＝∠B'；②BD＝；③B'D'＝；④SAS．
（2）证明：延长AD至点E，使得DE＝DA，延长A'D'至点E'，连接B'E'，
∵AD＝A′D′，
∴AE＝A′E′，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE，
同理△A'D'C'≌△E'D'B'（SAS），
∴A'C'＝B'E'，
∵AC＝A'C′，
∴BE＝B'E'，
在△BAE和△B'A'E'中，
，
∴△BAE≌△B'A'E'（SSS），
∴∠BAD＝∠B′A′D′，
同理∠CAD＝∠C′A′D′，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
在△ABC和△A'B'C'中，
，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）．
【点评】本题主要考查考查了全等三角形的判定与性质，关键是延长AD至点E，使得DE＝DA，连接BE，延长A'D'至点E'，使得D'E′＝D'A'，连接B'E'．
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