人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第05讲 拓展一：数列递推与通项公式归类（原卷版+教师版）

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拓展一：数列递推与通项公式归类1.观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．2.等差等比定义求通项等差数列判定：①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.等比数列的判定方法：(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；(2)等比中项法：即证aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．3.利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系依据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 . 已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写注：an与Sn关系的应用策略(1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”．(3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！4.累加法与累乘法（1）累加法：形如 SKIPIF 1 < 0 的解析式 形如 SKIPIF 1 < 0 型的递推数列（其中 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的函数）可构造：  SKIPIF 1 < 0 将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子两边分别相加，可得： SKIPIF 1 < 0  = 1 \* GB3 ①若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；  = 2 \* GB3 ② 若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； = 3 \* GB3 ③若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数，累加后可分组求和；  = 4 \* GB3 ④若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的分式函数，累加后可裂项求和．注：累加法求通项公式的4步骤累乘法：形如 SKIPIF 1 < 0 的解析式形如 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 型的递推数列（其中 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的函数）可构造： SKIPIF 1 < 0  将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子两边分别相乘，可得： SKIPIF 1 < 0 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．注：累乘法求通项公式的4步骤5.构造法(1)形如 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 型的递推式：①待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解.③待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.④待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.(2)形如 SKIPIF 1 < 0 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列 SKIPIF 1 < 0 的形式求解．方法为：设 SKIPIF 1 < 0 ，比较系数得 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，这样就化归为 SKIPIF 1 < 0 型．6.分式型取倒数法：形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为常数且 SKIPIF 1 < 0 ）的递推式：两边同除于 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 形式，化归为 SKIPIF 1 < 0 型求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再求 SKIPIF 1 < 0 ；还有形如 SKIPIF 1 < 0 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 SKIPIF 1 < 0 形式，化归为 SKIPIF 1 < 0 型求出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再求 SKIPIF 1 < 0 ．7.不动点法求通项（1）定义：方程 SKIPIF 1 < 0 的根称为函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点．利用函数 SKIPIF 1 < 0 的不动点，可将某些递推关系 SKIPIF 1 < 0 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法．（2）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 已知，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是常数），①当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列；②当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为常数数列；③当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；④当 SKIPIF 1 < 0 时，称 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的一阶特征方程，其根 SKIPIF 1 < 0 叫做特征方程的特征根，这时数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 ；（3）形如 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 SKIPIF 1 < 0 ，其特征方程为 SKIPIF 1 < 0 （*）．（1）若方程（*）有二异根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则可令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是待定常数）；（2）若方程（*）有二重根 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则可令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是待定常数）． (其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 可利用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求得)（4）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足递推关系 SKIPIF 1 < 0 ，初值条件 SKIPIF 1 < 0 ．令  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0  ，令此方程的两个根为 SKIPIF 1 < 0 ，①若 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0  （其中 SKIPIF 1 < 0 ）②若 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0  （其中 SKIPIF 1 < 0 ）（5）设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,8.对数变换法形如 SKIPIF 1 < 0 型的递推式：在原递推式 SKIPIF 1 < 0 两边取对数得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，化归为 SKIPIF 1 < 0 型，求出 SKIPIF 1 < 0 之后得 SKIPIF 1 < 0 （注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．考点一 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0  部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．1、数列 SKIPIF 1 < 0 的一个通项公式为________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 一个通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .2、已知数列 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，可猜想此数列的通项公式是（    ）.A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【分析】利用赋值法逐项排除可得出结果.【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意；对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意；对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ，不合乎题意；对于D选项，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，合乎题意.故选：D.3、将数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公共项从小到大排列得到数列 SKIPIF 1 < 0 ，则其通项 SKIPIF 1 < 0 ___________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…经检验，数列 SKIPIF 1 < 0 中的偶数项都是数列 SKIPIF 1 < 0 中的项.即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，256，… 可以写成 SKIPIF 1 < 0 的形式，观察，归纳可得 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .4、如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴， SKIPIF 1 < 0 ，设第n个图形需要 SKIPIF 1 < 0 根火柴．(1)试写出 SKIPIF 1 < 0 ，并求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)记前n个图形所需的火柴总根数为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．【解析】(1)由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以4为首项，以3为公差的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 .(2)由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．考点二 等差等比定义求通项5、在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】根据给定条件可得数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，求出其通项即可计算作答.【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，于是得数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 6、数列 SKIPIF 1 < 0 的各项都是正数， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么此数列的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得：数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为2，首项为4． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．7、已知各项为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为_________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】先由题干求出 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，并且求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而写出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【解析】 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列. SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时，上式成立.故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .8、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】由 SKIPIF 1 < 0 代入化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故可求 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 即可求解．【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，符合 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 考点三 由an与Sn的关系求通项消Sn9、已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，则an＝________.【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－2(n－1)2－(n－1)＝4n－1.当n＝1时，a1＝S1＝3＝4×1－1，故an＝4n－1.答案：4n－110、已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝____________.【解析】因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2.))答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2))11、已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(1,3)an＋eq \f(2,3)，则{an}的通项公式an＝________.【解析】当n＝1时，a1＝S1＝eq \f(1,3)a1＋eq \f(2,3)，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq \f(1,3)an－eq \f(1,3)an－1，所以eq \f(an,an－1)＝－eq \f(1,2)，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－eq \f(1,2)的等比数列，故an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.12、设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)(n∈N*)，则an＝(　　)A．2n　 B．2n－1 C．2n D．2n－1【解析】选C　当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.13、已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．【解析】　由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))14、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，则 SKIPIF 1 < 0 ______.【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项开始为等比数列， SKIPIF 1 < 0 ；经检验： SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 .综上所述： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .消an15、设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.【解析】∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq \f(1,Sn)－eq \f(1,Sn＋1)＝1，即eq \f(1,Sn＋1)－eq \f(1,Sn)＝－1.又eq \f(1,S1)＝－1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴eq \f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq \f(1,n).答案：－eq \f(1,n)16、若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：70217、已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an+1＝Sn+1，则S8＝（　　）A．255 B．256 C．127 D．128【解析】由题意，可知an+1＝Sn+1﹣Sn，代入an+1＝Sn+1，可得Sn+1﹣Sn＝Sn+1，即Sn+1＝2Sn+1，两边同时加1，可得Sn+1+1＝2Sn+1+1＝2（Sn+1），∴数列{Sn+1}是以2为公比的等比数列，∵S2+1＝3+1＝4，∴Sn+1＝（S2+1）•2n﹣2＝4•2n﹣2＝2n，∴Sn＝2n﹣1，∴S8＝28﹣1＝255．故选：A．18、设 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 19、若数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,an＋1)(n∈N*)，则a25＝________．【解析】 在数列{an}中，因为Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,an＋1)，所以Sn＋1＋Sn＝eq \f(1,Sn＋1－Sn)，所以Seq \o\al(2,n＋1)－Seq \o\al(2,n)＝1，所以数列{Seq \o\al(2,n)}是以1为公差的等差数列，因为a1＝1，所以Seq \o\al(2,n)＝1＋(n－1)×1＝n，又因为Sn＞0，所以Sn＝eq \r(n)，所以a25＝S25－S24＝eq \r(25)－eq \r(24)＝5－2eq \r(6).故填5－2eq \r(6).20、已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有eq \f(2an,anSn－S\o\al(2,n))＝1成立，则S2 019＝________.【解析】 当n≥2时，由eq \f(2an,anSn－S\o\al(2,n))＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)·Sn－Seq \o\al(2,n)＝－SnSn－1，所以eq \f(2,Sn)－eq \f(2,Sn－1)＝1，又eq \f(2,S1)＝2，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,Sn)))是以2为首项，1为公差的等差数列，所以eq \f(2,Sn)＝n＋1，故Sn＝eq \f(2,n＋1)，则S2 019＝eq \f(1,1 010).（三）内部消化21、设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝eq \f(3,2)，a3＝eq \f(5,4)，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))为等比数列．[解]　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)＋a4))＋5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)))＋1，解得a4＝eq \f(7,8).(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×eq \f(5,4)＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴eq \f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,2)an)＝eq \f(4an＋2－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq \f(4an＋1－an－2an＋1,4an＋1－2an)＝eq \f(2an＋1－an,22an＋1－an)＝eq \f(1,2)，∴数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))是以a2－eq \f(1,2)a1＝1为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列．（四）隐藏的Sn22、设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝____________.【解析】因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝eq \f(2,2n－1)(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{an}的通项公式为an＝eq \f(2,2n－1)(n∈N*)．答案：eq \f(2,2n－1)(n∈N*)23、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是_______.【答案】【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ,所以当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,整理得,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,上式也成立,所以数列的通项公式为.24、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【解析】 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，经检验符合要求.则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ③， SKIPIF 1 < 0 ④，③-④得： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  故答案为： SKIPIF 1 < 0 考点四 因式分解25、已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，aeq \o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．【解析】(1)由题意可得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4).(2)由aeq \o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因此{an}的各项都为正数，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2).故{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，因此an＝eq \f(1,2n－1).26、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①，可得 SKIPIF 1 < 0 ②，①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ；27、已知各项都是正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【解析】（1）①当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 或0（舍去）；②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .又∵ SKIPIF 1 < 0 各项为正，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 为首项是 SKIPIF 1 < 0 ，公差是 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 .28、设 SKIPIF 1 < 0 是首项为1的正项数列，且 SKIPIF 1 < 0  ，求通项公式 SKIPIF 1 < 0 =___________【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】由条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，再由递推即可得到所求通项.【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0  ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 满足上式，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 考点五 累加法求通项29、设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________________．【解析】　由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，∴an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq \f(n－12＋n,2)＝eq \f(n2＋n－2,2).∵a1＝1，∴an＝eq \f(n2＋n,2)(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝eq \f(n2＋n,2).30、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求通项 SKIPIF 1 < 0 ________.【解析】 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 ，以上各式相加得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 也适合上式， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 31、若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．【解析】由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1.又因为当n＝1时满足此式，所以an＝2n－1.32、在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋eq \f(1,nn＋1)，则通项公式an＝________.【解析】原递推公式可化为an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，则a2＝a1＋1－eq \f(1,2)，a3＝a2＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)，a4＝a3＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)，…，an－1＝an－2＋eq \f(1,n－2)－eq \f(1,n－1)，an＝an－1＋eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)，累计相加得，an＝a1＋1－eq \f(1,n)，故an＝4－eq \f(1,n).33、在数列 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0  , SKIPIF 1 < 0 ,则该数列的通项公式 SKIPIF 1 < 0 = ．【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以运用累加法即可得到： SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,故应填 SKIPIF 1 < 0 ．34、已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋eq \f(1,n))，则an＝________；【解析】∵an＋1＝an＋ln(1＋eq \f(1,n))，∴an－an－1＝ln(1＋eq \f(1,n－1))＝ln eq \f(n,n－1)(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lneq \f(n,n－1)＋lneq \f(n－1,n－2)＋…＋ln eq \f(3,2)＋ln 2＋2＝2＋ln(eq \f(n,n－1)·eq \f(n－1,n－2)·…·eq \f(3,2)·2)＝2＋ln n(n≥2)．显然 SKIPIF 1 < 0 满足上式∴an＝2＋ln n35、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．【答案】2021【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：2021.36、在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 …， SKIPIF 1 < 0 ，由累加法得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D考点六 累乘法求通项37、在数列{an}中，a1＝1，an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为__________．【解析】∵an＝eq \f(n－1,n)an－1(n≥2)，∴an－1＝eq \f(n－2,n－1)an－2，an－2＝eq \f(n－3,n－2)an－3，…，a2＝eq \f(1,2)a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·eq \f(1,2)·eq \f(2,3)·…·eq \f(n－1,n)＝eq \f(a1,n)＝eq \f(1,n).当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq \f(1,n)(n∈N*)．答案：an＝eq \f(1,n)(n∈N*)38、已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.【解析】∵an＋1＝2nan，∴eq \f(an＋1,an)＝2n，当n≥2时，an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a2,a1)·a1＝2n－1·2n－2·…·2·2＝2 SKIPIF 1 < 0 .又a1＝2也符合上式，∴an＝2 SKIPIF 1 < 0 .答案：2 SKIPIF 1 < 0 39、数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为_____________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .40、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ___________.【答案】n【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 成立，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足上式，∴ SKIPIF 1 < 0 .故答案为：n41、在正项数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 的通项 SKIPIF 1 < 0 ______.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【解析】对 SKIPIF 1 < 0 两边同时取常用对数可得 SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由累乘法可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均满足 SKIPIF 1 < 0 ，因此，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .考点七 构造法求通项类型一:  SKIPIF 1 < 0 )待定系数法：设 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,与题设 SKIPIF 1 < 0 比较系数得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 所以有： SKIPIF 1 < 0 42、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为________________．【解析】∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1．答案：an＝2·3n－1－143、已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则数列 SKIPIF 1 < 0 通项公式 SKIPIF 1 < 0 为（ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是首项、公比都为3的等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C44、已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式为________．【解析】因为点Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.所以an＋1＋eq \f(1,3)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3))).因为a1＝3，所以a1＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3).故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,3)))是首项为eq \f(10,3)，公比为4的等比数列．所以an＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3).答案：eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3)45、已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．7 B．9 C．15 D．17【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.46、在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）A．9 B．10 C．11 D．12【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，2为公比的等比数列.则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C47、若数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A．4900 B．4950 C．5050 D．5000【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故选：C.类型二：an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn ),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn )解得x＝ eq \f(c,p－q),则由原递推公式构造出了an＋1＋ eq \f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋ eq \f(c,p－q)·qn )，而数列{an＋ eq \f(c,p－q)·qn}是以a1＋ eq \f(c,p－q)·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求p SKIPIF 1 < 0 q，否则待定系数法会失效）方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以 SKIPIF 1 < 0 ,则有 eq \f(an+1,pn+1) ＝ eq \f(an,pn) ＋ eq \f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。注：形如  SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的递推式，当 SKIPIF 1 < 0 时，两边同除以 SKIPIF 1 < 0 转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的等差数列；当 SKIPIF 1 < 0 时，两边可以同除以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 ．方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用待定系数法求解。48、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式。解法一（待定系数法）：设 SKIPIF 1 < 0 ，比较系数得 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 解法二（两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ）： 两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，下面解法略解法三（两边同除以 SKIPIF 1 < 0 ）： 两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，下面解法略49、数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．A．4 B．12 C．18 D．32【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.50、已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公差为2的等差数列，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．51、数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列{an}的通项公式为___________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等差数列，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．52、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 是等差数列；（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .【解析】（1）将等式 SKIPIF 1 < 0 两边都减去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .再除以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .且 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列. (2) 由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . 所以 SKIPIF 1 < 0 . 则 SKIPIF 1 < 0 ...........................① SKIPIF 1 < 0 .........................②①-②得： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 .类型三： SKIPIF 1 < 0  通过凑配可转化为  SKIPIF 1 < 0 53、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，从而可得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为3的等比数列．∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .54、已知首项为 SKIPIF 1 < 0 的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，进而根据等比数列通项公式计算即可.【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．答案为： SKIPIF 1 < 0 二阶线性 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 均为常数）.原递推式可化为 SKIPIF 1 < 0 的形式，比较系数可求得 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列。55、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0  B．2525 C． SKIPIF 1 < 0  D．2526【答案】C【解析】由已知 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 故选：C．56、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.【解析】由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(n≥2)，经检验，当n＝1时，an＝1，符合上式．∴an＝3×2n－1－2.答案：3×2n－1－257、已知数列{an}中, a1=1, a2=2, an＋2＝ eq \f(2,3)an＋1＋ eq \f(1,3)an, 求{an}的通项公式。【解析】由an＋2＝ eq \f(2,3)an＋1＋ eq \f(1,3)an可转化为an＋2－san＋1= t(an＋1－san) 即an＋2＝（s＋t）an＋1－s· tan,∴ eq \b\lc\{(\a\al(s＋t＝ eq \f(2,3),s·t＝－ eq \f(1,3))) 解得 eq \b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－ eq \f(1,3))) 或 eq \b\lc\{(\a\al(s＝－ eq \f(1,3),t＝1)) 这里不妨选用 eq \b\lc\{(\a\al(s＝1,t＝－ eq \f(1,3))) （当然也可以选用 eq \b\lc\{(\a\al(s＝－ eq \f(1,3),t＝1)) ）an＋2－an＋1= － eq \f(1,3) (an＋1－an)所以{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项, － eq \f(1,3)为公比的等比数列，所以an＋1－an＝(－ eq \f(1,3))n-1 再用累加法an－a1＝(－ eq \f(1,3))0＋(－ eq \f(1,3))1+…＋(－ eq \f(1,3))n-2＝ eq \f(1－(－ eq \f(1,3))n-1,1＋ eq \f(1,3))又a1=1，因此an＝ eq \f(7,4)－ eq \f(3,4)(－ eq \f(1,3))n-158、已知各项都为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式．【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 因为各项都为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是公比为3的等比数列.（2）构造 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列.所以 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）考点八 分式型取倒数求通项59、 已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式。【解析】 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 60、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【解析】已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在等式 SKIPIF 1 < 0 两边同时取倒数得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .故选：B.61、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 （ ） SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.62、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 __________【答案】 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 【解析】由 SKIPIF 1 < 0 两边取倒数可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ；故答案为： SKIPIF 1 < 0 63、数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则其通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【解析】先由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，再由累加法计算出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 .【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，两边同时除以 SKIPIF 1 < 0 并整理得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，将上述 SKIPIF 1 < 0 个式子相加得： SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 … SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 也满足上式， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故选：D.64、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，根据等差数列的定义，得到以数列 SKIPIF 1 < 0 表示首项为1，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【详解】由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，取倒数可得 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 表示首项为1，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.65、数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 【解析】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，两边取倒数化简可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为2的等比数列， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 考点九 不动点法求通项形如 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的递推关系式当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 ，利用特征根方程 SKIPIF 1 < 0 求出特征根，如果特征方程只有一个实根 SKIPIF 1 < 0 ，可将 SKIPIF 1 < 0 视为一个整体，构造等差数列求解，即将递推关系式 SKIPIF 1 < 0 两边减去 SKIPIF 1 < 0 ，然后用1除化简得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 。如果特征方程有两个实根 SKIPIF 1 < 0 ，可将 SKIPIF 1 < 0 可视为一个整体，构造等比数列求解。即递推关系式 SKIPIF 1 < 0 两边分别减去 SKIPIF 1 < 0 ，再将两式相除得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，如果特征方程无实根，则 SKIPIF 1 < 0 是周期数列。66、已知数列的递推公式 SKIPIF 1 < 0 ，且首项 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【解析】令 SKIPIF 1 < 0 .先求出数列的不动点 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .将不动点 SKIPIF 1 < 0 代入递推公式，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .令 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以1为公差的等差数列.∴ SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 .67、已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即不动点为 SKIPIF 1 < 0 ，，可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，其通项公式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .68、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，而  SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .69、已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项.【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的特征函数为 SKIPIF 1 < 0 ，则特征方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，① SKIPIF 1 < 0 .②则①÷②得 SKIPIF 1 < 0 ，∴数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，∴ SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .考点十 对数变换法类型： SKIPIF 1 < 0 分析：这种类型一般是等式两边取对数后得： SKIPIF 1 < 0 ，再进行求解。70、正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】将等式两边同时取对数后，转化为 SKIPIF 1 < 0 的形式，再利用构造法求通项公式．【详解】原式两边同时取对数，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比，1为首项的等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .71、数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】两边取对数，化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ，得到数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，两边取对数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为3等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 72、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为9，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 　　．【解析】数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为9，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 ，所以两边取对数得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 （常数），所以：数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，2为公比的等比数列．所以： SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以： SKIPIF 1 < 0 ，故：两边取倒数得到： SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 73、已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【解析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据递推公式可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而可知，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在等式 SKIPIF 1 < 0 两边取对数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，且首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.考点十一 周期数列1.若数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 2.若数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 3.若数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 4.若数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 5.若数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 6. SKIPIF 1 < 0 74、数列 {an}满足 an＋1＝eq \f(1,1－an) , a8＝2，则a1 ＝________.【解析】将a8＝2代入an＋1＝eq \f(1,1－an)，可求得a7＝eq \f(1,2)；再将a7＝eq \f(1,2)代入an＋1＝eq \f(1,1－an)，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝eq \f(1,1－an)，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝eq \f(1,2).75、已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1 008等于(　　)A．504 B．294C．－294 D．－504【解析】选C　∵a1＝2，an＋1＝eq \f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq \f(1,3)，a3＝－eq \f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq \f(7,6)，∴S1 008＝S4×252＝252×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－294.76、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【解析】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是周期为 SKIPIF 1 < 0 的周期数列， SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .77、已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （       ）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】D【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为周期的数列，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.78、在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______； SKIPIF 1 < 0 的前2022项和为______．【答案】      SKIPIF 1 < 0      2024【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知数列 SKIPIF 1 < 0 为周期数列，周期为4，故 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；2024.考点十二 等和数列79、数列{an}满足an＋an＋1＝eq \f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)A．5 B.eq \f(7,2) C.eq \f(9,2) D.eq \f(13,2)【解析】选B　∵an＋an＋1＝eq \f(1,2)，a2＝2，∴an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n为奇数，,2， n为偶数.))∴S21＝11×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋10×2＝eq \f(7,2).80、已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （       ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2024【答案】C【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时，  SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.81、若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 　　．【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．考点十三 等积数列形如 SKIPIF 1 < 0 型（1）若 SKIPIF 1 < 0 (p为常数)，则数列{ SKIPIF 1 < 0 }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.82、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　)A．64 B．32 C．16 D．8【解析】选B　∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得eq \f(an＋2,an)＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.则eq \f(a10,a8)·eq \f(a8,a6)·eq \f(a6,a4)·eq \f(a4,a2)＝24，即a10＝25＝32.83、已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 　　．【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相除可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 的各个奇数项成等比数列，公比为2，数列 SKIPIF 1 < 0 的各个偶数项成等比数列，公比为2，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为：512．考点十四 前n项积型类比前 SKIPIF 1 < 0 项和求通项过程：（1） SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0  （2） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 84、若数列 SKIPIF 1 < 0 满足其前 SKIPIF 1 < 0 项的积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 　　．【解析】 SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 满足其前 SKIPIF 1 < 0 项的积为 SKIPIF 1 < 0 ，故前 SKIPIF 1 < 0 项的积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然，它对于第一项也是成立的，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．85、已知 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积，若 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【分析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,化简为 SKIPIF 1 < 0 ，由此求得答案.【详解】当 SKIPIF 1 < 0  时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0  时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 为首项为 SKIPIF 1 < 0  ，公差为 SKIPIF 1 < 0  的等差数列，故 SKIPIF 1 < 0  ，故选：D86、设正数数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项之积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【分析】由递推关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 前几项，可猜想出 SKIPIF 1 < 0 ，再加以验证，利用 SKIPIF 1 < 0 即可求出.【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则猜想 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 检验得 SKIPIF 1 < 0 ，满足猜想， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .考点十五 正负相间讨论、奇偶讨论型（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律（2）分段数列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列87、数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，前16项和为540，则 SKIPIF 1 < 0 　　．【解析】因为数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为前16项和为540，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．88、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的前40项和为　　　．【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．从第一项开始，相邻两项的和构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列．所以 SKIPIF 1 < 0 的前40项和为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．89、已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 　　．【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ；可得数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，偶数项是首项为0，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．90、已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 .【分析】先由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步得到 SKIPIF 1 < 0 ，再分奇偶项来求通项公式即可．【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．所以当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…构成以2为首项，2为公差的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，…构成以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列．所以当 SKIPIF 1 < 0 是奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 是偶数时， SKIPIF 1 < 0 ．故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .