高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用复习练习题

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(1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
(3)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意点：(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；
(2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件．
【即学即练1】如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值．
【解析】由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)．
【即学即练2】设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
【解析】根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．故选C
【即学即练3】下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是在x＝a和x＝b处取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
【解析】函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．故选D
【即学即练4】已知函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上可导，则“函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值”是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 SKIPIF 1 < 0 为开区间 SKIPIF 1 < 0 最小值点一定是极小值点 SKIPIF 1 < 0 极小值点处的导数值为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 充分性成立
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合幂函数图象知 SKIPIF 1 < 0 无最小值，必要性不成立
SKIPIF 1 < 0 “函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最小值”是“存在 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件
故选： SKIPIF 1 < 0
知识点2 用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.
【即学即练5】求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]； (2)f(x)＝eq \f(1,2)x＋sin x，x∈[0,2π]．
【解析】(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))，
令f′(x)＝0，解得x＝－eq \r(2) 或x＝eq \r(2).
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，f(－eq \r(2))＝8eq \r(2)，
所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值－8eq \r(2)；当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝eq \f(1,2)＋cs x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq \f(2π,3)或x＝eq \f(4π,3).
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))＝eq \f(2π,3)－eq \f(\r(3),2).
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
【即学即练6】函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最值，但无极值 B．有最值，也有极值
C．既无最值，也无极值 D．无最值，但有极值
【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
无最大值和最小值，也无极值．故选C
考点一 函数的最值与极值的关系
解题方略：
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
【例1-1】函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点B． SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值点
C． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率大于零
【解析】根据导函数图象可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
易知 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 不是函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值点，故 SKIPIF 1 < 0 不正确；
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的导数大于0， SKIPIF 1 < 0 切线的斜率大于零，故 SKIPIF 1 < 0 正确.故选： SKIPIF 1 < 0 ．
变式1：【多选】定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 的导函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示，函数 SKIPIF 1 < 0 的部分对应值如下表．下列关于函数 SKIPIF 1 < 0 的结论正确的是（ ）
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点的个数为3
B．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值是2，则t的最大值为4
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有4个不同的实根
【解析】对于A：由 SKIPIF 1 < 0 的图象可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以0，2，4是函数 SKIPIF 1 < 0 的极值点，故A选项正确；
对于B：由导函数 SKIPIF 1 < 0 的正负与函数 SKIPIF 1 < 0 之间的关系可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B选项错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值是2，而 SKIPIF 1 < 0 的最大值不是4，故C选项错误；对于D：作出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象有4个交点，故D选项正确．
故选：AD．
变式2：【多选】下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A．f(x)>0的解集是{x|0