人教A版高中数学(选择性必修第二册)同步讲义第26讲 拓展九：利用导数研究函数的零点的4种考法总结（原卷版+教师版）

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拓展九：利用导数研究函数的零点的4种考法总结函数的零点问题综合了函数、方程、不等式等多方面的知识，考查转化与化归、数形结合及函数与方程等数学思想．函数的零点问题常与其他知识相结合综合出题，解题难度较大，因此判断零点存在及零点个数问题是考查的一个热点．1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、与零点有关的不等式问题（1）证明双变量不等式的基本思路：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(令t＝\f(x2,x1)))，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式. （2）消参减元的主要目的是减元，进而建立与所求解问题相关的函数．消参减元法，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数．其解题要点如下．①建方程：求函数的导函数，令f′(x)＝0，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分(一般为一个二次整式)；②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程解的知识，建立极值点与方程系数之间的关系；③消参减元：即根据两个极值点之间的关系，利用和差或积商等运算，化简或转化所求解问题，消掉参数或减少变量的个数；④构造函数：即根据消参减元后的式子的结构特征，构造相应的函数；⑤求解问题：即利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，解决相关问题．　 （3）极值点偏移问题，除了前述方法外，也常通过构造关联(对称)函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F(x)＝f(x0－x)－f(x0＋x)；②对F(x)求导，判断F′(x)的符号，确定F(x)的单调性；③结合F(0)＝0，得到f(x0－x)>f(x0＋x)(或f(x0－x)(或(或(或(或