高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.1 数列的概念精品达标测试

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1．下列说法正确的是( )
A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的
B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的
C．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n)))是递增数列
D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1＋\f(－1n,n)))是摆动数列
解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．
2．已知数列eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，…，eq \f(n,n＋1)，则0.96是该数列的( )
A．第20项 B．第22项 C．第24项 D．第26项
解析：选C 由eq \f(n,n＋1)＝0.96，解得n＝24.
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：选C 观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.
4．已知数列{an}的通项公式an＝lg(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是( )
A.eq \f(1,5) B．5 C．6 D．eq \f(lg23＋lg3132,5)
解析：选B a1·a2·a3·…·a30＝lg23×lg34×lg45×…×lg3132＝lg232＝lg225＝5.
5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是( )
A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0]
解析：选C an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k0成立的最大正整数n的值为________．
解析：由an＝19－2n>0，得nan(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：选A 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
13．已知数列2，eq \f(7,4)，2，…的通项公式为an＝eq \f(an2＋b,cn)，则a4＝________，a5＝________.
解析：将a1＝2，a2＝eq \f(7,4)代入通项公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,c)＝2，,\f(4a＋b,2c)＝\f(7,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝3a，,c＝2a，))
∴an＝eq \f(n2＋3,2n)，∴a4＝eq \f(42＋3,2×4)＝eq \f(19,8)，a5＝eq \f(52＋3,2×5)＝eq \f(14,5).答案：eq \f(19,8) eq \f(14,5)
14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq \f(1,2)，a2＝－eq \f(3,4).
(1)求{an}的通项公式；
(2)－eq \f(255,256)是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
解：(1)∵an＝pn＋q，且a1＝－eq \f(1,2)，a2＝－eq \f(3,4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))因此{an}的通项公式是an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1.
(2)令an＝－eq \f(255,256)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝－eq \f(255,256)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＝eq \f(1,256)，解得n＝8.故－eq \f(255,256)是{an}中的第8项．
(3)由于an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．
[C级 拓展探究]
15．已知数列{eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)}.
(1)求这个数列的第10项；
(2)eq \f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝f(n)＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq \f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq \f(3n－2,3n＋1).
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝eq \f(28,31).
(2)令eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(98,101)，得9n＝300.此方程无正整数解，所以eq \f(98,101)不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)，且n∈N*，∴0