内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学卷

这是一份内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考察知识范围：集合与逻辑 不等式 函数及其性质 导数 三角函数 解三角形 向量与复数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合中的三个元素可构成的三边长，则一定不是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则p的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，P是BN的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．在中，下列条件不是的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知满足，且在处的切线方程为，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列结论正确的是（ ）
A．若一元二次不等式的解集是，则的值是
B．若集合，，则集合的子集个数为4
C．函数的最小值为
D．若函数，则在区间上单调递增
10．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
11．已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于的结论正确的有（ ）
A．的一个周期是 B．是非奇非偶函数
C．在单调递减 D．的最大值大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若正数a，b满足，则的最小值为________．
13．已知函数在上恰有2个极大值点，则的取值范围是________．
14．已知是R上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
16．（本小题15分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
17．（本小题15分）
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设，，求b和的值．
18．（本小题17分）
已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）若使得成立，试求a的取值范围；
（3）当在点处的切线与函数的图象交于点B时，若的面积为，试求a的值．
19．（本小题17分）
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵A，取值为一个标量，写作或．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
（1）求的对称轴方程；
（2）在中，若，，，对任意实数t恒有，求面积的最大值；
（3）在中，若，点I为内心，且满足，求的最大值．
呼和浩特市第二中学（高三年级）2024-2025学年第一学期
数学月考试卷参考答案
考察知识范围：集合与逻辑 不等式 函数及其性质 导数 三角函数 解三角形 向量与复数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形形状的判断，掌握集合中元素的互不相同是解本题的关键，属于基础题．
根据集合中元素的特点可知a，b，c互不相等，得到三角形的三边长互不相等，一定不为等腰三角形．
【解答】
解：根据集合元素的特点可知：
a，b，c三个元素互不相等，
若此三个元素构成某一三角形的三边长，
则此三角形一定不是等腰三角形．
故选D．
2．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，共轭复数，属于基础题．
先化简复数，再根据共轭复数的概念即可得到答案．
【解答】
解：因为，
则复数的共轭复数为．
故选B．
3．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件，考查解对数不等式问题，是一道基础题．
先求出x的范围，再找真子集即可．
【解答】
解：∵，
∴，
∴，
∵选项中只有选项C是的真子集，
故选C．
4．【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的加法，减法及几何意义与平面向量的基本定理，考查学生推理能力，属于基础题．
利用向量的加法，减法运算得，利用平面向量基本定理得，．
【解答】
解：因为P是BN的中点，所以．
所以
，
因为，
所以，，
所以．
故选D．
5．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充要条件、正弦定理、余弦函数的性质和二倍角公式，属于基础题．
由正弦定理可知A正确；由余弦函数的性质可知B正确；由二倍角公式和A选项可知C正确；由反例可知D错误．
【解答】
解：对于A选项，等价于，由正弦定理知等价于；
对于B选项，在上是单调减函数，
故与等价；
对于C选项，由，可知不等式等价为，
由于，均大于0，由A选项知与等价；
对于D选项，当，满足，但不能推出．
故选D．
6．【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数定义域的求法，根据函数的奇偶性求出a的值是解决本题的关键．
根据函数为偶函数，确定a的值，然后根据成立的条件即可求出函数的定义域．
【解答】
解：∵是偶函数，
∴，
即，解得．
要使函数有意义
则，
即，∴，
解得．
即函数的定义域为．
故选B．
7．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查逆用两角差的余弦公式和利用同角三角函数基本关系化简，属于较易题．
先求出和的平方和，再利用两角差的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简求出的值．
【解答】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故．
故选：D．
8．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查奇函数的定义，考查导数的几何意义，属于中档题．
利用奇函数的定义得到a的值，结合导数的几何意义即可求解．
【解答】
解：函数的定义域为，因为，所以函数是上的奇函数，
所以，解得，所以，则，
所以，则，
因为在处的切线方程为，
所以，解得，
所以．
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了判断命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
利用不等式解集求出a，b判断A；解指数对数不等式判断B；举例说明判断C；利用幂函数性质确定单调性判断D．
【解答】
解：对于A，因为一元二次不等式的解集是，所以和是方程的两根且，
所以，解得，，所以，选项A正确；
对于B，集合，
集合，
所以集合，其子集个数为4，选项B正确；
对于C，时，，
当且仅当，即时取“”，的最小值为；
同理时，有最大值为，所以选项C错误；
对于D，函数的定义域为，函数是偶函数，在上单调递减，因此函数在上单调递增，D正确．
故选：ABD．
10．【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了函数的平移、函数的值域、函数的奇偶性和函数的对称性，属于中档题．
根据题意有函数的值域为，从而判定A；
为奇函数，从而判定B；
由选项B可知函数的导函数的图象关于直线对称，可判定C；
易得函数关于中心对称，由对称性计算判定D．
【解答】
解：因为，所以，所以，所以函数的值域为，即A错误；
函数，
根据题意有，
因为，则函数为奇函数，
函数图像关于成中心对称，所以选项B正确；
由选项B可知函数的导函数的图象关于直线对称，选项C正确；
选项D：由B可知，关于中心对称，且关于中心对称，
所以这2024个交点关于对称，故，故D正确．
故选：BCD．
11．【答案】ABD
【解答】
解：因为，
所以是函数的一个周期，因此A正确；
因为，
，
所以且，
因此是非奇非偶函数，因此B正确；
因为当时，，
因此，
当时，，，
∴，
当，，，
∴．
所以在上不单调，因此C不正确；
当时，，，
因此，所以D正确；
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【答案】16
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．
可对式子乘以1，也即乘以，再使用基本不等式即可求出答案．
【解答】
解：∵正数a，b满足，
∴，
当且仅当，也即当时取“”．
故答案为：16．
13．【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的恒等变形，利用辅助角公式将函数进行化简以及利用三角函数的性质解决问题是关键，属于中档题．
利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合题意利用三角函数的最值性质进行求解即可．
【解答】
解：
，
∵，
∴，
∵在上恰有2个极大值点，
∴，
解得，
故答案为：．
14．【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数解（证明）不等式，属于中档题．
构造函数，利用导数得到的单调性，再将问题转化为，从而得解．
【解答】
解：由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故选：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．【答案】解：（1）由于，故的最小正周期为；（3分）
令，，即，，
故的单调递减区间为，；（6分）
（2）因为，所以，
由于函数在上单调递增，在上单调递减，，，（9分）
又，
故当，即时，取到最大值；
当，即时，取到最小值．（13分）
16．【答案】解：（1）因为，
所以，．（3分）
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为．（6分）
（2）设，
则．（9分）
当时，，
所以在区间上单调递减，
所以对任意，有，
即．（12分）
所以函数在区间上单调递减．
因此在区间上的最大值为，
最小值为．（15分）
17．【答案】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，得，（2分）
又，
∴，
即，
∴，（4分）
又，∴．（6分）
（Ⅱ）在中，，，，
由余弦定理得，（9分）
由，得，
∵，
∴，
∴，
，（12分）
∴．（15分）
18．【答案】（1）由，解得，
即函数的零点为e．（3分）
（2）∵，
∴，（6分）
令，则，，
∴在上单调递减，
∴，∴，（8分）
故在上单调递增，
∴，
∴，即．（10分）
（3）由题可知，故切点为，
∵，∴，
所以切线方程为：，（13分）
交x轴于，交y轴于，
设切线交函数于点，因为，故，
又，故B的位置只能在C的上方．
如图，则的面积为，
或（舍），故，（15分）
所以函数过点，
∴，∴．（17分）
19．【答案】解：（1），（2分）
所以的对称轴为，；（3分）
（2）由得，
因为A是的内角，所以，，∴，，（6分）
由，得，
两边平方，整理得，
对任意实数t恒成立，
所以，
得，
则有且，
所以，（9分）
，
当且仅当等号成立，
所以，当时，面积的最大值为．（12分）
（3）设，（延长AI交BC于点D，内切圆切BC，AC于E，F）
由得
当且仅当，即时取最大值．（17分）