2024--2025学年北师大版九年级上册 数学期中试卷 （A）

这是一份2024--2025学年北师大版九年级上册 数学期中试卷 （A），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(共10道，每道3分)
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.2x+1=0 B.x2+1=0 C.y2+x=1 D.
2.五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是( )
A. B. C. D.
3.如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶2,点A的坐标为(1,0),则点E的坐标为( )
A.(2,0) B.(2,2) C.(23,32) D.(2,2)
4．如图，直线l1∥l2∥l3两条直线分别与l1、l2、l3，相交于点A、B、C和D、E、F，已知＝，则下列等式不成立（ ）
A．B．C．D．
5.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
A. B. C. D.
6.为执行“均衡教育”政策,某市2017年投入教育经费2 500万元,预计到2019年底三年累计投入1.2亿元.若每年投入教育经费的平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.2 500(1+x)2=1.2B.2 500(1+x)2 =12 000
C.2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2=1.2D.2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2=12 000
7.关于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0根的情况，下列说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是( )
A.5 B. 32 C. 74 D.154
9.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是( )
A.8 B. C. D.4
10．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（ ）
A．0B．4C．6D．8
二、填空题(共5道，每道3分)
11.一元二次方程x2+3x=0的解是____．
12.在一次数学活动课上,老师将全班同学分成5个小组进行摸球试验,试验规则如下:在一个不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球,这些球除颜色外其他都相同,将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球,记下颜色后再放回盒子,这样连续摸球200次.试验结束后,5个小组分别计算出摸出黄球的频率(如下表所示).由此估计,盒子中红球的个数为 .
如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM=2MD，点E，F分别是BM，CM中点，若EF=6，则AM的长为____．
14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,点P是AC延长线上的一个动点,过点P作PE⊥AD,垂足为点E,过点P作PF⊥DC,交DC的延长线于点F,则PE-PF= .

15.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，以OP为折痕，将△AOP折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F．若△PDF为直角三角形，则DP的长为____．
三、解答题(共8道，共计75分)
16.(8分)解下列方程.
(1)x(x-2)-3x2=-1;(2)(x+3)2=(1-2x)2.
17.(8分)小亮与小明做掷骰子(质地均匀的正方体,6个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)的试验.
(1)他们共做了50次试验,试验结果如下:
①填空:试验中,“朝上的点数为1”的频率是 .
②小亮说:“根据试验,出现朝上的点数为1的概率最大.”他的说法正确吗?为什么?
(2)两人约定:每次同时掷两枚骰子,如果两枚骰子的点数之和超过6,则小亮获胜,否则小明获胜.小亮与小明谁获胜的可能性大?试说明理由.
18．（8分）如图，在△ABC中，直线DN平行于中线AF交AB于点D，交AC的延长线于点E，交边BC于点N，求证：＝．
19．（9分）已知：矩形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
（2）若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
20.(10分)某商店以40元/千克的价格新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系式为y=-2x+240(40≤x≤120).
(1)该商店想在销售成本不超过3 000元的情况下,使销售利润达到2 400元,销售价格应定为多少?
(2)在(1)条件下,该商店为了国庆期间促销,经过两次降价将销售价格定为81元/千克且全部售完,求平均每次降价的百分比.
21.(10分)如图1,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.
(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;
(2)当点D为AB的中点时,四边形ADEF的形状为 ;
(3)延长图1中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图2,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.

图1 图2
22.(10分)如图1,在△ABC中,点D在线段AB上,点E在线段CB的延长线上,且BE=CD,EP∥AC交直线CD于点P,交直线AB于点F,∠ADP=∠ACB.
(1)图1中是否存在与AC相等的线段?若存在,请找出,并加以证明,若不存在,请说明理由;
(2)若将“点D在线段AB上,点E在线段CB的延长线上”改为“点D在线段BA的延长线上,点E在线段BC的延长线上”,其他条件不变(如图2).当∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2时,求线段PE的长.


图1 图2
(10分)如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段NM，NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ；
（2）探究证明
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP，BD，CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请求出△MNP面积的最大值．
参考答案
1答案：B
解题思路：
2答案：C
解题思路：
3.B 【解析】 由正方形的性质得,OA=OC=1,因为正方形OABC与正方形ODEF的相似比为1∶,所以DE=EF=,所以点E的坐标为(,).故选B.
4．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，故A正确
∴，故B正确
∴，故D正确；
故选：C．
5答案：C
6.D 【解析】 由题意得,2018年投入的教育经费为2 500(1+x)万元,2019年投入的教育经费为2 500(1+x)2万元,预计到2019年底,三年累计投入[2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2]万元,所以2 500+2 500(1+x)+2 500(1+x)2 =12 000.故选D.
7答案：A
解题思路：
8.C 【解析】 在Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,∴AC=10,∴AO=AC=5.∵EO⊥AC,∴∠AOE=∠ADC=90°.又∵∠EAO=∠CAD,∴△AEO∽△ACD,∴=,即=,解得AE=,∴DE=8-=.故选C.
9答案：B
解题思路：
10．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，FC＝4＝AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF＝＝2
∵AB＝BC，AE＝CF，∠BAE＝∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE＝BF＝2
∴PE+PF＝4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF≤4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝9．
即共有8个点P满足PE+PF＝9，
故选：D．
11答案：x1=0，x2=-3
解题思路：
12.24 【解析】 由题中表格可知,摸出黄球的频率稳定在0.20左右,所以估计摸一次球,摸出黄球的概率为0.2,所以盒子中小球约有6÷0.2=30(个),所以估计红球的个数为30-6=24.
13答案：8
解题思路：
14.4.8 【解析】 延长BC交PE于点G,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AC⊥BD,且AC与BD互相平分.又∵AC=6,BD=8,∴AB==5,S菱形ABCD=×6×8=24.∵PE⊥AD,∴PE⊥BG,∴EG==4.8,易证△PFC≌△PGC,∴PG=PF,∴PE-PF=PE-PG=EG=4.8.
15答案：1或
解题思路：
16.【解析】 (1)原方程可化为2x2+2x-1=0,
其中a=2,b=2,c=-1,b2-4ac=22-4×2×(-1)=12,
所以x=-2±122×2=-1±32,
即原方程的根为x1=-1+32,x2=-1-32.
(2)移项,得(x+3)2-(1-2x)2=0,
因式分解,得(3x+2)(-x+4)=0.
所以3x+2=0,或-x+4=0,解得x1=-23,x2=4.
17.【解析】 (1)①0.2
②不正确.因为在一次试验中频率并不一定等于概率,只有当试验次数很大时,频率才趋近于概率.
(2)小亮获胜的可能性大,理由如下.
列表如下:
由表格可知,所有可能的结果共有36种,每一种结果出现的可能性相同.
所以P(点数之和超过6)=2136=712,P(点数之和不超过6)=1536=512.
因为>,所以小亮获胜的可能性大.
18．【解答】证明：∵直线DN∥AF，
∴＝，＝，
∵在△ABC中，AF是BC边上的中线，
∴FB＝FC，
∴＝．
19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵Δ＝m2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2，（m﹣1）2＝0时，
即m＝1时，四边形ABCD是正方形，
把m＝1代入x2﹣mx+﹣＝0，得x2﹣x+＝0，
解得：x＝，
∴正方形ABCD的边长是；
（2）把AB＝2代入x2﹣mx+﹣＝0，得4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝，
把m＝代入x2﹣mx+﹣＝0，得x2﹣x+1＝0，
解得x＝2或x＝，
∴AD＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD的周长是2×（2+）＝5．
20.【解析】 (1)根据题意得,(x-40)(-2x+240)=2 400,
整理得,x2-160x+6 000=0,
解得x1=60,x2=100.
当x=60时,销售价格为60元/千克,销售量为120千克,则销售成本为40×120=4 800(元),超过了3 000元,不合题意,舍去;
当x=100时,销售价格为100元/千克,销售量为40千克,则销售成本为40×40=1 600(元),低于3 000元,符合题意.
答:销售价格应定为100元/千克.
(2)设平均每次降价的百分比是x,
根据题意得,100(1-x)2=81,
解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).
答:平均每次降价的百分比是10%.
21.【解析】 (1)∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A.
∵∠DEF=∠A,∴∠DEF=∠BDE,∴AD∥EF.
又∵DE∥AC,∴四边形ADEF为平行四边形.
(2)菱形
∵点D为AB的中点,∴AD=12AB,
∵DE∥AC,点D为AB中点,∴DE=12AC.
∵AB=AC,∴AD=DE.
由(1)知四边形ADEF为平行四边形,
∴四边形ADEF为菱形.
(3)四边形AEGF是矩形.理由如下:
由(1)得,四边形ADEF为平行四边形,
∴AF∥DE,AF=DE.
∵EG=DE,∴AF=EG,
∴四边形AEGF是平行四边形.
∵AD=AG,EG=DE,∴AE⊥EG,
∴四边形AEGF是矩形.
22.【解析】 (1)AC=BF.证明如下:
∵∠ADP=∠ACD+∠A,∠ACB=∠ACD+∠BCD,∠ADP=∠ACB,
∴∠BCD=∠A,
又∵∠CBD=∠ABC,∴△CBD∽△ABC,
∴CDAC=BCBA.
∵FE∥AC,∴BCBA=BEBF,
∴CDAC=BEBF.
∵BE=CD,∴AC=BF.
(2)∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,
∴∠ADP=∠ACB=30°,
∴∠BCD=60°,∠ACD=60°-30°=30°.
∵PE∥AC,∴∠E=∠ACB=30°,∠CPE=∠ACD=30°,
∴∠E=∠CPE,
∴CP=CE,
又∵BE=CD,∴BC=DP.
∵∠ABC=90°,∠D=30°,
∴BC=12CD,∴DP=12CD,即P为CD的中点.
又∵PF∥AC,∴F是AD的中点,
∴FP是△ADC的中位线,∴FP=12AC.
∵∠ABC=90°,∠ACB=30°,
∴AB=12AC,∴FP=AB=2.
∵DP=CP=BC,CP=CE,
∴BC=CE,即C为BE的中点.
又∵EF∥AC,∴A为FB的中点,
∴AC是△BEF的中位线,
∴EF=2AC=4AB=8,
∴PE=EF-FP=8-2=6.
23答案：（1）NM=NP；∠MNP=60°；
（2）△MNP为等边三角形，理由略；
（3）△MNP面积的最大值为．
解题思路：组别
第1组
第2组
第3组
第4组
第5组
摸出黄球的频率
0.19
0.22
0.20
0.19
0.20
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
10
9
6
9
8
8
第2枚骰子掷得的点数
和
第1枚骰子掷得的点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12