新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题04函数的性质综合应用必刷100题(原卷版+解析)

这是一份新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)专题04函数的性质综合应用必刷100题(原卷版+解析)，共98页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0)B．(－2,0)C．(0,1)D．
2．（2021·湖南·高三月考）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2B．，
C．的最大值为2D．，
3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数满足对恒成立，且，则（ ）
A．1010B．C．1011D．
6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·河南·高三月考（理））的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数（，），且，则（ ）
A．B．2C．1D．
10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，，有，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数为奇函数，则实数（ ）.
A．B．C．0D．1
12．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则等于（ ）
A．4B．2C．D．
16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则满足的m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·浙江·高三期中）已知，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
19．（2021·全国·高三期中）已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2022B．C．3D．
21．（2021·河北·高三月考）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．b＜a＜cD．b＜c＜a
23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（ ）
A．0B．-1
C．1D．无法确定
24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A．fB．fC．fD．f27．（2022·全国·高三专题练习）函数则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数满足，若，则（ ）
A．3B．-3C．6D．2022
29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为的函数在上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．404B．804C．806D．402
31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x1<24，则f(x1)＋f(x2)的值（ ）
A．可正可负B．恒大于0C．可能为0D．恒小于0
32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（ ）
A．B．C．D．
33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数定义域为，，当时，，则（ ）
A．B．1C．D．0
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ）．
A．2021B．1C．0D．
二、多选题
35．（2021·全国·高三月考）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的一个周期为B．
C．当时，D．函数在内有个零点
36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数，正确的说法是（ ）
A．有且仅有一个零点
B．在定义域内单调递减
C．的定义域为
D．的图象关于点对称
37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（ ）
A．函数与是同一个函数
B．命题“，”的否定为“，”
C．函数的最小值为
D．设函数，则在上单调递增
38．（2021·福建·高三月考）已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．当时，函数的最小值为
39．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)的定义域为R，给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
B．若y＝f(x＋2)为偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
C．若f(2＋x)＝f(2－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
D．若f(2－x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.
40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数，则下列论述正确的是（ ）
A．的最大值为e，最小值为0
B．是偶函数
C．是周期函数，且最小正周期为
D．不等式的解集为
41．（2021·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象上存在两点，，使得直线轴
D．函数的图象关于直线对称
42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则的图像关于点对称
B．若对，有，则的图像关于直线对称
C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数
D．若，则的图像关于点对称
第II卷（非选择题）
三、填空题
43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数__________，使之同时具有如下性质：
①图象关于直线对称；②，．
44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数满足，且当时，，则___________.
45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R上的函数f(x)满足，且x∈（0，1）时，，则＝___．
46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R上的函数满足，，数列满足，的前n项和为，则=_________．
47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数为偶函数，则的值为________．
48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为______.
49．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为________.
50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则______．
任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4B．6
C．7D．8
2．（2021·重庆南开中学高三月考）函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在其定义域上单调递增
C．的值域为
D．函数有且只有一个零点
3．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三期中（文））已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·河南·高三月考（理））对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A．-1B．C．D．
12．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知，其中为函数的导数.则（ ）
A．0B．2C．2021D．2022
14．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·天津·南开中学高三月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当时，（ ）
A．20B．24C．28D．36
18．（2021·北京十四中高三期中）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①；
②是函数的周期；
③函数在区间上单调递增；
④函数所有零点之和为．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
19．（2021·江苏扬州·高三月考）已知且，且，且，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
21．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于判断正确的是（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得
22．（2021·全国·高三专题练习）函数对任意实数x都有，若，，则以下结论正确的是（ ）
A．函数对任意实数x都有
B．函数是偶函数
C．函数是奇函数
D．函数，都是周期函数，且是它们的一个周期
23．（2022·全国·高三专题练习）(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是（ ）
A．f(0)＝－，f(－1)＝－
B．f(x)为R上的减函数
C．f(x)＋为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
24．（2021·重庆·高三月考）定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，并且当时，，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数是以2为周期的周期函数
D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．
27．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，若a､b､c互不相等，且，则的取值范围是___________.
28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.
29．（2021·广东·大埔县虎山中学高三月考）已知函数，若任意的正数，满足.则的最小值_____.
30．（2021·上海·格致中学高三月考）已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________．
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））定义在上的函数，满足对于任意总有成立，且当时，函数.设两函数图像交点坐标为，当时，实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·四川·高三月考（理））函数在上的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1）
7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有个零点，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））设，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·山西太原·高三期中）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·吉林吉林·高三月考（理）），若存在互不相等的实数，，，使得，则下列结论中正确的为（ ）
①；
②，其中为自然对数的底数；
③函数恰有三个零点.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2021·江苏如皋·高三月考）已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．D．在上是增函数
14．（2021·海南·高三月考）已知偶函数的定义域为R，且当时，，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．是周期函数B．任意
C．D．在区间上单调递增
15．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数，若关于的方程恰有三个不同实数解，则关于的方程的正整数解取值可能是（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．B．在区间上是增函数
C．是奇函数D．在区间上有唯一极值点
第II卷（非选择题）
三、填空题
17．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.
18．（2021·全国·高三专题练习）设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
19．（2021·湖北·襄阳四中高三月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围___．
20．（2021·浙江·模拟预测）已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．
专题04函数的性质综合应用必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-50题
一、单选题
1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（ ）
A．(－1,0)B．(－2,0)C．(0,1)D．
【答案】C
【分析】
由题设函数的定义域，应用换元法求出的定义域，进而求的定义域即可.
【详解】
由题设，若，则，
∴对于有，故其定义域为.
故选：C.
2．（2021·湖南·高三月考）已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2B．，
C．的最大值为2D．，
【答案】D
【分析】
先求得，然后结合二次函数的性质确定正确选项.
【详解】
因为（i），
所以用代换得（ii）.
（i）×2（ii）得，
即，
从而只有最小值，没有最大值，且最小值为1.
，
.
故选：D.
3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可
【详解】
的定义域为,
因为，
所以是奇函数，
所以不等式可化为，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，
所以，解得，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用凑配法求得解析式.
【详解】
，且，
所以.
故选：B.
5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数满足对恒成立，且，则（ ）
A．1010B．C．1011D．
【答案】B
【分析】
利用赋值法找出规律，从而得出正确答案.
【详解】
令，则，
令，则，由于，所以.
令，则，
令，则，
令，则，
以此类推，可得.
故选：B.
6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【详解】
根据题意，设，则，
则，
又由为奇函数，则，
故选：D.
7．（2021·河南·高三月考（理））的最大值与最小值之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值.
【详解】
，
设，则
则为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，

即的最大值与最小值之差为，
当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，所以的最大值与最小值之差为
故选：B.
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围.
【详解】
易知为R上的奇函数，且在R上单调递减，
由，得，
于是得，解得.
故选:C.
9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数（，），且，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】C
【分析】
令，由，可得为奇函数，利用奇函数的性质即可求解.
【详解】
解：令，
因为，
所以为奇函数，
所以，即，
又，
所以，
故选：C.
10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，，有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据条件可得关于直线对称，在上单调递增，结合可判断出答案.
【详解】
由是偶函数可得关于直线对称
因为，有，所以在上单调递增
因为，所以，，
无法比较与0的大小
故选：B.
11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数为奇函数，则实数（ ）.
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】
由奇函数的性质求解即可
【详解】
因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即，解得，经检验符合题意，
故选：D.
12．（2022·上海·高三专题练习）函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵，且，
∴函数为单调递增的奇函数．
于是，可以变为，
即，∴，而，可知实数，
故实数的取值范围为．
故选：C.
13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.
【详解】
由，得，
记，则有，即为偶函数，
又当时，恒成立，
所以在上单调递增，
所以由，得，
即，
所以，即，解得，
故选：D.
14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】
由已知函数的解析式作出图象，把函数的零点转化为函数与的交点得答案．
【详解】
由函数解析式
由图可知，函数的零点的个数为2个．
故选：B．
15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则等于（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】C
【分析】
求得是周期为的周期函数，从而求得.
【详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
，
其最小正周期为4，
所以.
因为，且当时，，
所以，所以.
故选：C.
16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则满足的m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得，即可解出，由奇函数的性质可得函数在上递增，再将等价变形为，然后根据单调性即可解出．
【详解】
依题意可得，解得，而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又函数连续，故函数在上递增，
不等式即为，所以，解得．
故选：B．
17．（2021·浙江·高三期中）已知，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】
构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】
解：由，得，令，在上单调递增，又，则．即当，时，．显然，，但由不能得到．
故选：B．
18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.
【详解】
解：因为函数在R上为减函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
19．（2021·全国·高三期中）已知是偶函数，当时，恒成立，设，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分析可知函数在为增函数，由已知条件可得，结合函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】
当时，恒成立，则，
所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，，
即，所以，即.
故选：A.
20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2022B．C．3D．
【答案】C
【分析】
由条件可得是周期为4的周期函数，然后利用算出答案即可.
【详解】
因为是定义域为的奇函数，所以，
因为，所以
所以，所以是周期为4的周期函数
因为，，，
所以
故选：C.
21．（2021·河北·高三月考）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，然后可得函数为奇函数，函数在上单调递增，然后不等式可化为，然后可解出答案.
【详解】
设，可得函数为奇函数，
，所以函数在上单调递增，
，
所以．
故选：A.
22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．c＜b＜a
C．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【分析】
先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以函数为偶函数，
，
当时，，所以函数在上递增，
则，所以，
所以.
故选：C．
23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且，则的值为（ ）
A．0B．-1
C．1D．无法确定
【答案】B
【分析】
由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，可得函数的周期， 由此即可求出结果.
【详解】
由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；
所以，所以，所以，
所以函数的周期，
.
故选：B.
24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
根据函数的图象关于点对称，得到函数是奇函数，然后结合，得到函数的周期为求解.
【详解】
因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，
即，
又因为，
所以，即，
所以函数的周期为，
又，
所以.
故选：D.
25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案.
【详解】
依题意是上的奇函数，且在递增，且，所以在递增，且.的图象是由的图象向右平移个单位得到，
画出的大致图象如下图所示，由图可知，满足的的取值范围为.
故选：C.
26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，1]上是减函数，则有（ ）
A．fB．fC．fD．f【答案】C
【分析】
首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项.
【详解】
因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，并且，所以函数关于对称，作出f(x)的草图(如图)，由图可知<<，
故选：C.
27．（2022·全国·高三专题练习）函数则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
【详解】
，
当时，，
当时，，
当时，，则，
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数满足，若，则（ ）
A．3B．-3C．6D．2022
【答案】B
【分析】
根据函数满足，变形得到函数是周期函数求解.
【详解】
因为函数满足，即，
则，
所以函数是周期函数，周期为8，
所以．
故选：B．
29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求出函数的定义域，再求出函数在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.
【详解】
在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：B.
30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为的函数在上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在上的零点个数为（ ）
A．404B．804C．806D．402
【答案】A
【分析】
根据两个偶函数得的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．
【详解】
因为与都为偶函数，所以，，所以图象关于，轴对称，所以为周期函数，且，所以将划分为.而共201组，所以，在中，含有零点，共2个，所以一共有404个零点.故选：A.
31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x1<24，则f(x1)＋f(x2)的值（ ）
A．可正可负B．恒大于0C．可能为0D．恒小于0
【答案】B
【分析】
首先根据条件转化为，再根据函数在区间上单调递增，将转换为，从而，都在的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断的值的符号．
【详解】
解：定义域为的函数满足，
将换为，有，
，且，
，
函数在区间上单调递增，
，
，
，即，
，
故选：B．
32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据奇函数的定义判断．
【详解】
因为，所以
，则，是奇函数，
同理也是奇函数，
，则，是奇函数，
，为偶函数，
故选：D．
33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数定义域为，，当时，，则（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】D
【分析】
根据函数的奇偶性和可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．
【详解】
解：奇函数满足，
，
即，
则，
所以是以2为周期的周期函数，
所以．
故选：D.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ）．
A．2021B．1C．0D．
【答案】C
【分析】
分别令，令得到，进而推得函数是周期函数求解．
【详解】
令，则，
故，
故，（舍）
令，则，
故．
∴，
即，
故的周期为4，即是周期函数．
∴．
故选：C．
二、多选题
35．（2021·全国·高三月考）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的一个周期为B．
C．当时，D．函数在内有个零点
【答案】AC
【分析】
由可判断A，，可判断B，当时，，结合条件可判断C，易知，可判断D.
【详解】
是定义在上的偶函数，对，均有，
故函数的周期为，故选项A正确；
，故选项B错误；
当时，，则，故选项C正确；
易知，
于是函数在内有个零点，故选项D错误，
故选：AC．
36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数，正确的说法是（ ）
A．有且仅有一个零点
B．在定义域内单调递减
C．的定义域为
D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】
将函数分离系数可得，数形结合，逐一分析即可；
【详解】
解：，作出函数图象如图：
由图象可知，函数只有一个零点，定义域为，在和上单调递减，图象关于对称，故B错误，
故选：ACD．
37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（ ）
A．函数与是同一个函数
B．命题“，”的否定为“，”
C．函数的最小值为
D．设函数，则在上单调递增
【答案】ACD
【分析】
求出两函数的定义域，即可判断；命题的否定形式判断；函数的最值判断；分段函数的性质以及单调性判断；
【详解】
解：函数定义域为，函数的定义域为，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以不正确；
命题“，，”的否定为“，，”，满足命题的否定形式，所以正确；
函数，因为，所以，可知，所以函数没有最小值，所以不正确；
设函数两段函数都是增函数，并且时，，，时，函数的最小值为1，两段函数在上不是单调递增，所以不正确；
故选：ACD．
38．（2021·福建·高三月考）已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．当时，函数的最小值为
【答案】ABC
【分析】
根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB正确；根据在上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C正确，D错误.
【详解】
对于A，，，的最小正周期为，A正确；
对于B，，，的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当时，，
图象关于对称，当时，；
综上所述：当时，，C正确；
对于D，的最小正周期为，在上的最小值，即为在上的最小值，
当时，，又图象关于对称，
当时，，
在上的最小值为，D错误.
故选：ABC.
39．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)的定义域为R，给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．若y＝f(x)为偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；
B．若y＝f(x＋2)为偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
C．若f(2＋x)＝f(2－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；
D．若f(2－x)＝f(x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称.
【答案】BC
【分析】
根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.
【详解】
A：中由y＝f(x)关于y轴对称，得y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，所以结论错误；
B：因为y＝f(x＋2)为偶函数，所以函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，因此y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以结论正确；
C：因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，因此结论正确；
D：由f(2－x)＝f(x)，得f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)关于直线x＝1对称，因此结论错误，
故选：BC.
40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数，则下列论述正确的是（ ）
A．的最大值为e，最小值为0
B．是偶函数
C．是周期函数，且最小正周期为
D．不等式的解集为
【答案】BD
【分析】
由，得到函数的值域，可判定A错误；由函数奇偶性的定义，可判定B正确；
由函数周期的定义，可得判定C错误；由，得到，结合三角函数的性质，可判定D正确.
【详解】
由，可得的，故A错误；
由，所以是偶函数，故B正确；
由，所以是的周期，故C错误；
由，即，可得，
解得的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
41．（2021·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上是增函数
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象上存在两点，，使得直线轴
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AC
【分析】
，然后画出其图象可得答案.
【详解】
，其大致图象如下，
结合函数图象可得AC正确，BD错误.
故选：AC.
42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则的图像关于点对称
B．若对，有，则的图像关于直线对称
C．若函数的图像关于直线对称，则为偶函数
D．若，则的图像关于点对称
【答案】ACD
【分析】
四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.
【详解】
对A，是奇函数，故图象关于原点对称，
将的图象向右平移1个单位得的图象，
故的图象关于点（1，0）对称，正确；
对B，若对，有，
得，所以是一个周期为2的周期函数，
不能说明其图象关于直线对称，错误.；
对C，若函数的图象关于直线对称，
则的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；
对D，由得，，
的图象关于（1，1）对称，正确.
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数__________，使之同时具有如下性质：
①图象关于直线对称；②，．
【答案】（答案不唯一）.
【分析】
根据性质①②可知是以4为周期且图象关于对称点的函数，即可求解.
【详解】
解：由题可知，由性质①可知函数图象关于直线对称；
由性质②，，可知函数以4为周期，
写出一个即可，例如：，
故答案为：（答案不唯一）.
44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数满足，且当时，，则___________.
【答案】12
【分析】
利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.
【详解】
由，令，可得.因为，，所以，所以，由，令，可得.因为是偶函数，所以.
故答案为：12.
45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R上的函数f(x)满足，且x∈（0，1）时，，则＝___．
【答案】
【分析】
由条件可得，然后可算出答案.
【详解】
因为，且x∈（0，1）时，，
所以
故答案为：.
46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R上的函数满足，，数列满足，的前n项和为，则=_________．
【答案】337
【分析】
先判断出周期为6，再求出的值，最后求出的值
【详解】
因为函数满足，所以函数是周期为6的周期函数，
，
，，
，
因为，
所以
故答案为：337.
47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数为偶函数，则的值为________．
【答案】
【分析】
先根据求出的值，再根据奇偶性的定义证明即可.
【详解】
解：由已知，即，
故函数定义域为，
因为函数为偶函数，
则
即，
解得，
当时，
.
故时，函数为偶函数
故答案为：.
48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】
利用导数可判断函数在为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将转化为，进而可求出不等式的解集
【详解】
定义域为，
由题意，，
当时，，
故在为增函数.
因为，
所以为偶函数，故
即，
则，
故，
解得，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
49．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为________.
【答案】2
【分析】
先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.
【详解】
，
函数f(x)的零点个数可转化为函数与图象的交点个数，
在同一坐标系中画出函数与图象的（如图所示）：
由图可知两函数图象有2个交点，
即f(x)的零点个数为2.
故答案为：2.
50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数和奇函数均定义在上，且满足，则______．
【答案】
【分析】
先用列方程组法求出和的解析式，代入即可求解.
【详解】
因为……①
所以
因为为偶函数，为奇函数，所以……②
①②联立解得：，，
所以.
故答案为：.
任务二:中立模式(中档)1-30题
一、单选题
1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4B．6
C．7D．8
【答案】B
【分析】
直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】
设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
2．（2021·重庆南开中学高三月考）函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在其定义域上单调递增
C．的值域为
D．函数有且只有一个零点
【答案】A
【分析】
根据的图象上的点关于对称的点不在的图象上，可知A不正确；利用的奇偶性以及在上的单调性，可知在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数的值域，可知C正确；求出函数的零点，可知D正确.
【详解】
的定义域为，因为，所以为奇函数， 的图象关于原点对称，
在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确；
当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确；
当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确；
令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确.
故选：A.
3．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．
【详解】
解：令，则 ，
故g（x）在R递增，
不等式，
即，
故，
故x＜2x−1，解得：x＞1，
故选：D.
4．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；
【详解】
解：∵是定义在上的偶函数，当时，，
∴为增函数，为偶函数，为奇函数，
∴在上为增函数，
∵，
若，，所以；
若，，在上为增函数，可得，
综上得，不等式的解集是.
故选：C.
5．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设，则，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案
【详解】
设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，
所以，
故选：A.
6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据为上的奇函数，其图象关于原点对称，得到关于点对称，即可求解.
【详解】
由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以.
故选：C.
7．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三期中（文））已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用导数判断的单调性，利用单调性去掉，转化为恒成立求最值问题即可.
【详解】
函数的定义域为，
又因为对于恒成立，
所以在上单调递增，
因为对于恒成立，
所以对于恒成立，
所以
因为，
所以，
所以，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用函数零点的意义结合函数f(x)的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可.
【详解】
依题意，函数y=f(2x2+1)+f(-x)的零点，即方程f(2x2+1)+f(-x)=0的根，
由f(2x2+1)+f(-x)=0得f(2x2+1)=-f(-x)，因f(x)是R上奇函数，
从而有f(2x2+1)=f(x-)，又f(x)是R上的单调函数，则有2x2+1=x-，
而函数y=f(2x2+1)+f(-x)只有一个零点，于是得2x2-x+1+=0有两个相等实数解，
因此得Δ=1-8(1+)=0，解得=，
所以实数的值是.
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先判断的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；
【详解】
由得的图象关于对称，
因为，定义域为，且，所以为奇函数，即也关于对称，
则函数与图象的交点关于对称，
则不妨设关于点对称的坐标为，则，
则，即，
故选：A．
10．（2021·河南·高三月考（理））对于函数，时， ，则函数的图象关于点成中心对称．探究函数图象的对称中心，并利用它求的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件探求和为1的两个自变量对应函数值的和即可借助倒序相加得解.
【详解】
因，
令，
则，
两式相加得：，解得，
所以的值为2021.
故选：D.
11．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为( )
A．-1B．C．D．
【答案】A
【分析】
首先利用一次函数性质和对数型复合函数的性质求出上的单调性，然后再利用偶函数性质可得到不等式，然后结合一次函数性质和的范围求解即可.
【详解】
由一次函数性质可知，在上单调递减，
且对于，；
由对数型复合函数易知，在上也是单调递减的，
且对于，，
故在上单调递减，
又由，得为偶函数，且，
若要对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，即，即，
不妨令，，
由一次函数性质可知，，解得，
故实数的最小值为.
故选：A.
12．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
确定函数周期为4，关于对称，画出函数图像，根据函数图像结合奇偶性得到，解得答案.
【详解】
为偶函数，，即，函数周期为.
，函数关于对称.
和均为偶函数，故只考虑的情况，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：不等式的整数解有且仅有个，则需要满足，
解得.
故选：D.
13．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知，其中为函数的导数.则（ ）
A．0B．2C．2021D．2022
【答案】B
【分析】
求导计算得到，，代入数据得到答案.
【详解】
，
；
则，
，
.
故选：B.
14．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】
解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，
，
因为，
所以，
即.
故选：B.
15．（2021·天津·南开中学高三月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.
【详解】
令，所以
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
所以，即.
故选：C.
16．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
构造函数，求导后确定其单调性，原不等式转化为关于的不等式，再利用单调性得解集．
【详解】
设，则，
因为，所以，所以是上的增函数，
，不等式即为，即，
所以，
故选：D．
17．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当时，（ ）
A．20B．24C．28D．36
【答案】C
【分析】
根据题意可得函数是周期为4，关于点中心对称的函数，再将函数的所有零点转化为与的交点的横坐标，又函数经过定点，且关于中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合即可求出结果.
【详解】
∵定义在上的奇函数满足，故图象关于对称，
∴，故，
∴，即周期为，
又定义在上的奇函数，所以是函数一个对称中心，
又因为当时，，作出函数的草图，如下：
函数的所有零点即为与的交点的横坐标，
易知函数经过定点，且关于中心对称，
又，分别作出函数和的图象，则函数的图象在函数和的图象之间，如下图所示：
则与交点关于中心对称，由图像可知关于对称的点共有3对，同时还经过点，
所以.
故选：C.
18．（2021·北京十四中高三期中）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①；
②是函数的周期；
③函数在区间上单调递增；
④函数所有零点之和为．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】
①根据计算判断；②用反证法判断；③用导数判断；④用周期函数性质判断．
【详解】
解：对于①，因为，所以①对；
对于②，假设是函数的周期，则，又因为是定义域为的奇函数，所以，于是，
与矛盾，所以②错；
对于③，因为，当时成立，所以函数在，上单调递增，又因为是奇函数，
所以在区间上单调递增，所以③对；
对于④，由③知在区间，上单调递，又因为满足，所以关于对称，
，所以以为周期，
在一个周期内函数两个零点之和为，
在，内有三个周期，所以所有零点之和为，所以④对．
故正确的有①③④．
故选：C.
19．（2021·江苏扬州·高三月考）已知且，且，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数，利用导数得出函数单调性，由题可得，，，根据单调性可判断大小.
【详解】
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递增，
画出函数图象如下，
由题可得，，，
，，，则，，，
，，
即，.
故选：A.
20．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由可得，分段求函数的解析式，结合图象可得解．
【详解】
因为，，
∵时，，
∴时，，；
∴时，，，
当时，由解得或，
如图，
由图可知，若对任意，都有，则．
故选：B.
二、多选题
21．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于判断正确的是（ ）
A．是以为周期的周期函数
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得
【答案】ABC
【分析】
化简函数，由，可判断A；
由函数的定义域为，且，可判断B；
由，令，由直线与圆的位置关系可求得，从而可判断C；
根据图象的平移可判断D.
【详解】
，所以，所以A正确；
函数的定义域为，且，所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，故B正确；
，令，表示单位圆上的点与点连线的斜率，设过点的直线方程为，由圆的圆心到直线的距离，解得，所以，所以的值域为，故C正确；
的图象向右平移个单位长度得，故D错误.
故选：ABC.
22．（2021·全国·高三专题练习）函数对任意实数x都有，若，，则以下结论正确的是（ ）
A．函数对任意实数x都有
B．函数是偶函数
C．函数是奇函数
D．函数，都是周期函数，且是它们的一个周期
【答案】ABD
【分析】
利用函数的奇偶性定义以及周期性定义逐一判断即可.
【详解】
，，
，， ，
所以，故A正确；
，
，
， ，
所以，函数是偶函数，故B正确.
，为的周期，
的周期为，
时，
，
且，
所以是偶函数且周期为，故C错误，D正确.
故选：ABD.
23．（2022·全国·高三专题练习）(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是（ ）
A．f(0)＝－，f(－1)＝－
B．f(x)为R上的减函数
C．f(x)＋为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
【答案】AC
【分析】
取，，得出，，的值进而判断A；由判断B；令结合奇偶性的定义判断C；令，结合g(x)为奇函数，得出，从而判断D.
【详解】
由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A正确；，不是上的减函数，B错误；令，得，，故C正确；令，由C可知g(x)为奇函数，，即，，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于取特殊值结合奇偶性的定义判断奇偶性.
24．（2021·重庆·高三月考）定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】
根据题意构造函数，利用导数判断单调性，即可求解.
【详解】
由题意，构造函数，则，
由可知，
所以在R上单调递增，且，
故，即，，A错误；
由可得，故B正确；
当时，，所以，，
所以，，
令，则，
所以单调递增，，即，
所以，，
故C正确；
由可得，故D正确；
故选：BCD.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数对任意的实数，满足，且，并且当时，，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数是奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数是以2为周期的周期函数
D．
【答案】ABC
【分析】
利用赋值法，对4个命题分别进行判断，即可得出结论.
【详解】
令，可得，
，函数是奇函数，故A正确；
设，则当时，，
，
，函数在上单调递增，故B正确；
（1），可得，
函数是以2为周期的周期函数，故C正确；
④，故D不正确．
故选：ABC．
第II卷（非选择题）
三、填空题
26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．
【答案】
【分析】
构造，由已知结合导数判断函数的单调性，利用函数的单调性解不等式.
【详解】
构造，则，
函数满足，则，故在上单调递增．
又∵，则，
则不等式⇔，即，
根据在上单调递增，可知．
故答案为：.
27．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，若a､b､c互不相等，且，则的取值范围是___________.
【答案】/
【分析】
根据题意，作出函数图象，数形结合即可求解.
【详解】
根据题意，作出函数图象，令，可知函数图象与的图象有三个不同交点，由图可知.
因a､b､c互不相等，故不妨设，由图可知.
当，时，因，所以，即，故；
当时，，故.
综上所述，.
故答案为：.
28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【分析】
求出函数的表达式，构造函数，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
∵，
∴ ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，
∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，
，
作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，
，
结合图象可知，
故答案为:.
29．（2021·广东·大埔县虎山中学高三月考）已知函数，若任意的正数，满足.则的最小值_____.
【答案】
【分析】
根据奇偶性定义和单调性的性质可确定为定义在上的奇函数且在上单调递减，由此可得，根据，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
，
为定义在上的奇函数，
与在上均单调递增，在上单调递增，
又在上单调递增，
在上单调递减，
由奇函数性质知：在上单调递减，
又，，
，即；
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
30．（2021·上海·格致中学高三月考）已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】
根据给定条件探求出函数在上的单调性，再利用单调性解即得.
【详解】
，且，则，而当时，，于是得，
因对任意，恒有，因此，，
从而得在上的单调递减，由得：，
解得：，解，即得，则有，
所以的取值范围是.
故答案为：
任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用，构造出，会得到在上单调递增，再将待解不等式的形式变成和相关的形式即可.
【详解】
设，因为为上奇函数，所以，
即为上奇函数对求导，得，
而当时，有，
故时，，即单调递增，所以在上单调递增
不等式
，又是奇函数，则，即
所以，解得，即.
故选：A.
2．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））设函数是定义在上的奇函数，为的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先构造新函数，通过求导，再结合已知条件可判断出当时，，当时，，最后分情况解不等式可得答案.
【详解】
令，，
当时，，，原函数单调递增，
又因为，所以当时，，
此时，，所以，
当时，，此时，，所以，
所以当时，，
又因为是奇函数，当时，，
求，分两种情况求解，
当时，，只需，解得，
当时，，只需，解得
所以的范围是
故选：A.
3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已知是定的奇函数，是的导函数，，且满足：，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令对函数求导可得到函数单调递减，再结合，和的奇偶性，通过分析得到当，，，，故不等式等价于或，求解即可.
【详解】
令，则，
故函数单调递减，定义域为，
（1），
时，；时，．
时，；时，．
当，时，，又（1）．
当，，又为奇函数，
当，．
不等式等价于或
解得或者
故答案为：D.
4．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））定义在上的函数，满足对于任意总有成立，且当时，函数.设两函数图像交点坐标为，当时，实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
取，由求得函数在R上的解析式，然后由无解排除选项即可.
【详解】
当时，，
当时，，则，
由得，无解；
当时，，则，
由得，无解；
当时，由得，无解；
当时，由得，
即，无解；
故排除BCD
故选：A.
5．（2021·四川·高三月考（理））函数在上的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
令可得，根据为偶函数，只需求在上的解的个数，等价于或的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.
【详解】
令可得，
设，则，
所以是偶函数，
故只需要讨论在上的解得个数，
当时，由可得或，
解方程可得或（舍），
此时在上，有两解，
解方程可得或，
此时在上，有三解，有三解，
所以在上，有解，
根据对称性可得在上有解，
所以函数在上的零点个数为，
故选：C.
6．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（1，+∞）C．（∞，1）D．（∞，1）
【答案】A
【分析】
根据的图像关于点（，1）对称，得到是奇函数，构造函数，由得到在上递增，然后将转化为求解.
【详解】
因为的图像关于点（，1）对称，
所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，
则 ，
所以 在上递增，
因为，
又，
所以，
故选：A.
7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
令，根据因为，得到，得出函数为上的单调递增函数，由题设条件，令，求得，把不等式转化为，结合单调性，即可求解.
【详解】
令，可得，
因为，可得，
所以，所以函数为上的单调递增函数，
由不等式，可得，
所以，即
因为，令，可得，
又因为，可得，所以
所以不等式等价于，
由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.
故选：A.
8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在上的函数和都是奇函数，当时，，若函数在区间上有且仅有个零点，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据函数的奇偶性确定函数的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值.
【详解】
因为是奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称，
即．又因为函数为奇函数，所以，
即，所以函数是周期为的周期函数．
由于函数为定义在上的奇函数，则，得．
又因为当时，，
所以，，
于是得出，．作出函数与函数的图象如下图所示，由图象可知，函数与函数在区间上从左到右个交点的横坐标分别为，，，，，，，，，，第个交点的横坐标为．因此，实数的取值范围是，
故实数的最小值为．
故选：B．
9．（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））设，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
令，求导函数，分析导函数的符号，得出所令函数的单调性，再由，得出，利用对数的运算性质可得答案.
【详解】
解：令，则，令，得，
所以当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
又，所以，
又，，，
所以.
故选：A.
10．（2021·山西太原·高三期中）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可.
【详解】
由分段函数知：时且递减；时且递增；
时，且递减；时，且递增；
∴的图象如下：有四个实数根，，，且，
由图知：时有四个实数根，且，又，
由对数函数的性质：，可得，
∴令，且，
由在上单增，可知，
所以
故选：A.
11．（2021·吉林吉林·高三月考（理）），若存在互不相等的实数，，，使得，则下列结论中正确的为（ ）
①；
②，其中为自然对数的底数；
③函数恰有三个零点.
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】
①将问题转化为直线与函数图像有4个交点，观察图像可得答案；
②设，则可得， ，根据关系代入求值域即可；
③函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，关注和时的交点个数即可得答案
根据图像可得答案.
【详解】
解：函数的图像如图：
，
即直线与函数图像有4个交点，故，①正确；
，
不妨设，
则必有， ，
，则，且
，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，
，
，②正确；
函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，如图
当时，函数与的图像有3个交点，
当时，研究与是否相切即可，
，令，则，则切点为，此时切线方程为，即，
所以与图像相切，此时函数与的图像有3个交点，
因为，故函数与的图像恒有3个交点，
即函数恰有三个零点，③正确.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并方便解答.
12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数在上的导函数为，若，，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
构造函数得到也是上的单调递增函数.，分析得到函数关于点对称.由得到，即得解.
【详解】
构造函数，
所以也是上的单调递增函数.
因为，所以关于直线对称，
所以，（为常数），
，令，所以.
因为，所以
所以，所以函数关于点对称.
由得到，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
二、多选题
13．（2021·江苏如皋·高三月考）已知函数满足：对于任意实数，都有，且，则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．D．在上是增函数
【答案】AB
【分析】
利用赋值法以及特殊函数即可得出答案.
【详解】
解：对A，由
令，得 ，
，
为奇函数，故A正确；
对B，令，得
是周期函数，故B正确；
对C，当时，符合题意，但是，故C错误；
对D，当时，符合题意，但是在上是减函数，故D错误.
故选：AB.
【点睛】
关键点睛：对于抽象函数，常用赋值法求解函数相关性质.
14．（2021·海南·高三月考）已知偶函数的定义域为R，且当时，，当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．是周期函数B．任意
C．D．在区间上单调递增
【答案】BCD
【分析】
根据已知条件，求出时，；时，，再结合时，及偶函数的性质，对各选项逐一分析即可求解.
【详解】
解：因为为R上的偶函数，所以，
又时，，
所以时，，
所以，，
当时，，
由题意，，
所以时，，，
因为时，，所以不是周期函数，故选项A错误；
因为为R上的偶函数，且时，，
所以任意，故选项B正确；
因为，
所以选项C正确；
因为，，所以，，
又当时，，，
所以由二次函数性质知在区间上单调递增，所以选项D正确，
故选：BCD.
15．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数，若关于的方程恰有三个不同实数解，则关于的方程的正整数解取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】
在同一平面直角坐标系中作出的函数图象，根据图象有个交点确定出的关系，所以可将方程转化为，然后构造函数并分析的单调性确定出其值域，由此可求解出的取值范围，则的值可确定.
【详解】
在同一平面直角坐标系中作出的函数图象如下图所示：
当时，，当时，，
所以由图象可知：时关于的方程恰有三个不同实数解，
又，
所以，
又因为，所以，所以 ，
设，所以，
显然在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，
所以可取
故选：ABC.
16．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．B．在区间上是增函数
C．是奇函数D．在区间上有唯一极值点
【答案】BCD
【分析】
对于A. ，所以该选项错误；
对于B. ，在区间上是增函数，故该选项正确；
对于C. 利用奇函数的定义证明是奇函数，故该选项正确；
对于D. 令，可得，方程的根，即为函数与图象的交点，利用导数证明函数与的图象只有一个交点，分析判断得解.
【详解】
对于A. ，所以该选项错误；
对于B. ，当时，，所以在区间上是增函数，故该选项正确；
对于C. ，令，
则，所以是奇函数，故该选项正确；
对于D. 由B知，，令，可得，
方程的根，即为函数与图象的交点，
，
对于函数，，，
由复合函数的性质可知函数为增函数，，
函数在，内存在唯一零点，
所以当，时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
当，时，恒成立，故单调递增，
作出函数与图象，如图所示：
由图象可知函数与的图象只有一个交点，
即存在唯一，，使，
所以只有一个极值点，故D正确．
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
17．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】
设，则根据题意得必有两个不相等的实根，不妨设，故，，再结合的图象可得，，，进而，再构造函数，分析函数的单调性，求得最大值.
【详解】
由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
方程或有三个不等实根，且，
作出图象如图所示：
那么，可得，，
所以，
构造新函数，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以的最大值为.
故答案为：.
18．（2021·全国·高三专题练习）设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
【答案】．
【分析】
令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数，采用数形结合法即求．
【详解】
函数的零点即为方程的解，令，
则原方程的解变为方程组的解，
作出函数的图象，
由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应．
由方程组有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个，一个，
结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求，
综上，实数a的取值范围为．
故答案为：.
19．（2021·湖北·襄阳四中高三月考）已知，若恒成立，则实数的取值范围___．
【答案】
【分析】
先分析的奇偶性和单调性，则等价于，所以，可转化为，即，求即得解
【详解】
因为，
所以是上的奇函数，
，
，
所以是上的增函数，
等价于，
所以，所以，
令，则，
因为且定义域为，
所以是上的偶函数，
所以只需求在上的最大值即可.
当时，，，
则当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
可得：，即.
故答案为：.
20．（2021·浙江·模拟预测）已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】
不等式化为，令，，可得，分别讨论，，和时，求最值可得出.
【详解】
不等式两边同时除以得，
整理得，
令，，则，则，
由于对任意都成立，则有对任意恒成立，
（1）当时，不成立，不符合题意；
（2）当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则，解得，与矛盾，不符合；
（3）当时，
①当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则，解得，；
②当时，有，即，则当时，取得最大值为，则，；
③当时，恒成立，满足题意，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为在恒成立，再讨论的范围即可.