湘教版（2024）八年级下册2.4 三角形的中位线课文内容课件ppt

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1. 三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线 .
一个三角形有三条中位线
数学语言： 如图 2.4－1，∵ AD=BD， AE=EC，∴ DE 是△ ABC 的中位线 .
特别提醒1. 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三个面积相等的平行四边形；2.三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连接两边中点的线段；3.三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 .
3. 三角形的中位线的应用：(1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系 .(2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线；若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到 .
如图 2.4 － 2，已知E 为 ▱ABCD 中DC 边的延长线上一点，且 CE=DC，连接 AE，分别交 BC、BD 于点 F、 G，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF. 求证： AB=2OF.
解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，将证明线段的倍数关系转化为证明OF 是△ ABC 的中位线．
证明如下：如图 2.4－2，连接 BE.∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD， AB=CD．又∵ CE=DC，∴ AB=CE，∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴点 F 是 BC 的中点 .又∵点 O 是 AC 的中点，∴ OF 是△ ABC 的中位线，∴ AB=2OF.
方法点拨证明线段倍分关系的方法：由于三角形的中位线等于三角形第三边的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点时，常先证明较短线段是三角形的中位线， 再用三角形的中位线定理证明 .
如图 2.4－3，在△ ABC 中， BC>AC，点 D 在 BC上，且 DC=AC，∠ ACB 的平分线 CE 交 AD 于点 E，点 F 是AB 的中点，连接 EF，求证： EF ∥ BC.
解题秘方：紧扣“三角形中位线定理”的位置关系， 将证明线段的位置关系转化为证明三角形的中位线问题来解 .
技巧点拨由于三角形的中位线平行于第三边，因此当证明两线段平行且题中含中点条件时，常考虑用三角形中位线定理证明；而等腰三角形的 “三线合一”、平行四边形的对角线“互相平分”是证明一点是线段中点的常用方法.
证明： ∵ CE 平分∠ ACB， DC=AC，∴ CE 是△ ACD 的中线，∴点 E 是 AD 的中点 .∵点 F 是 AB 的中点，∴ EF ∥ BD，即 EF ∥ BC.