广东省汕头市潮南区博崇实验学校2024年数学九上开学统考试题【含答案】

这是一份广东省汕头市潮南区博崇实验学校2024年数学九上开学统考试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列四幅图形中,表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
A．B．C．D．
2、（4分）以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cmB． cm， cm，5cmC．6cm，8cm，10cmD．5cm，12cm，18cm
3、（4分）如图，菱形ABCD中，，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ）
A．14B．15C．16D．17
4、（4分）某超市今年二月份的营业额为82万元，四月份的营业额比三月份的营业额多20万元，若二月份到四月份每个月的月销售额增长率都相同，若设增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．82（1+x）2＝82（1+x）+20B．82（1+x）2＝82（1+x）
C．82（1+x）2＝82+20D．82（1+x）＝82+20
5、（4分）若分式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
6、（4分）的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
7、（4分）下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．四条边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．四个角都相等的四边形是矩形
8、（4分）计算×的结果是( )
A．B．8C．4D．±4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，四边形为正方形，点分别为的中点，其中，则四边形的面积为________________________．
10、（4分）如图，矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，点A的对应点为，折痕EF的长为________.
11、（4分）如图，在周长为26cm的▱ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E．则△CDE的周长为_____cm．
12、（4分）关于一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________．
13、（4分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某商场销售A,B两种品牌的教学设备,这两种教学设备的进价和售价如表所示
该商场计划购进两种教学设备若干套,共需66万元,全部销售后可获毛利润9万元.
(1)该商场计划购进A,B两种品牌的教学设备各多少套?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少A种设备的购进数量,增加B种设备的购进数量,已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍.若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元,问A种设备购进数量至多减少多少套?
15、（8分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
16、（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝1．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是5，求k的值．
17、（10分）用适当的方法解方程.
（1） （2）
18、（10分）已知：如图，在中，点A、C在对角线EF所在的直线上，且．求证：四边形ABCD是平行四边形。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD＝10cm，则OE的长为_____．
20、（4分）如图，在宽为10m，长为30m的矩形地块上修建两条同样宽为1m的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据计算，耕地的面积为 m1．
21、（4分）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
22、（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么的取值范围是__________．
23、（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式． 但对于二次三项式，就不能直接运用公式了． 此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：______；
（2）若△ABC的三边长是a，b，c，且满足，c边的长为奇数，求△ABC的周长的最小值；
（3）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
25、（10分）如图,已知点A．B在双曲线y= (x>0)上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点.
(1)设A的横坐标为m，试用m、k表示B的坐标.
(2)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
(3)若△ABP的面积为3，求该双曲线的解析式.
26、（12分）贵成高铁开通后极大地方便了人们的出行，甲、乙两个城市相距450千米，加开高铁列车后，高铁列车行驶时间比原特快列车行驶时间缩短了3小时，已知高铁列车平均行驶速度是原特快列车平均行驶速度的3倍，求高铁列车的平均行驶速度．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
试题分析：根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例，依次分析各选项即得结果．
A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确；
B、影子的方向不相同，故本选项错误；
C、影子的方向不相同，故本选项错误；
D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误．
故选A．
考点：本题考查了平行投影特点
点评：解答本题的关键是掌握平行投影的特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．
2、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
【详解】
A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形；
B、∵，∴不能构成直角三角形；
C、∵62+82=102，∴能构成直角三角形；
D、∵52+122≠182，∴不能构成直角三角形，
故选C．
本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，通常是看较小的两边的平方和是否等于最长边的平方，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
3、C
【解析】
根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=1，求出即可：
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC．
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=1．
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=1×1=2．故选C．
4、A
【解析】
根据题意找出等量关系：，列出方程即可.
【详解】
由二月份到四月份每个月的月营业额增长率都相同，二月份的营业额为82
万元，若设增长率为，则三月份的营业额为，四月份的营业额为， 四月份的营业额比三月份的营业额多20万元，
则，
故选A
考查一元二次方程的应用，增长率问题，明确等量关系正确列出方程是解题关键.
5、D
【解析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
解：由分式有意义的条件可知：，
，
故选：．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.
6、C
【解析】
判定直角三角形的方法有两个:一是有一个角是的三角形是直角三角形;二是根据勾股逆定理判断，即三角形的三边满足，其中边c为斜边.
【详解】
解：由三角形内角和定理可知，
①中，，
，
，能判断是直角三角形，①正确，
③中, ,,不是直角三角形，③错误；
②中化简得 即 ，边b是斜边，由勾股逆定理是直角三角形，②正确；
④中经计算满足，其中边c为斜边，由勾股逆定理是直角三角形，④正确，所以能判断是直角三角形的个数有3个.
故答案为：C
本题考查了直角三角形的判定，主要从边和角两方面去考虑，即有一个角是直角或三边满足,灵活运用直角三角形边角的特殊性质取判定直角三角形是解题的关键.
7、C
【解析】
根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定分别进行分析即可．
【详解】
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确；
B、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误；
D、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；
故选C．
本题考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法．
8、C
【解析】
根据二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】
原式=
=
=4，
故选C.
本题考查了二次根式的乘法，正确把握二次根式乘法的运算法则是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4.
【解析】
先判定四边形EFGH为矩形，再根据中位线的定理分别求出EF、EH的长度，即可求出四边形EFGH的面积.
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AEH、△BEF、△CFG、△DGH都为等腰直角三角形，
∴∠HEF、∠EFG、∠FGH、∠GHE都为直角，
∴四边形EFGH是矩形，
边接AC，则AC=BD=4，
又∵EH是△ABD的中位线，
∴EH=BD=2，
同理EF=AC=2，
∴四边形EFGH的面积为2×2=4.
故答案为4.
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理.
10、
【解析】
过点F作FH⊥AD于H，先利用矩形的性质及轴对称的性质证明DE=DF=BF，在Rt△DCF中通过勾股定理求出DF的长，再求出HE的长，再在Rt△HFE中利用勾股定理即可求出EF的长．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥AD于H，

∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，∠C=90°，DC=AB=4，四边形DCFH为矩形，
∴∠BFE=∠DEF，
由折叠可知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=BF，
在Rt△DCF中
设DF=x，则CF=BC-BF=6-x，
∵DC2+CF2=DF2，
∴42+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴DE=DF=BF=，
∴CF=BC-BF=6-=，
∵四边形DCFH为矩形，
∴HF=CD=4，DH=CF=，
∴HE=DE-DH=，
∴在Rt△HFE中，
故答案为
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是能够灵活运用矩形的性质及轴对称的性质．
11、13.
【解析】
利用垂直平分线性质得到AE=EC，△CDE的周长为ED+DC+EC=AE+ED+DC，为平行四边形周长的一半，故得到答案
【详解】
利用平行四边形性质得到O为AC中点，又有OE⊥AC，所以EO为AC的垂直平分线，故AE=EC，所以△CDE的周长为ED+DC+EC=AE+ED+DC=AD+CD，即为平行四边形周长的一半，得到△CDE周长为26÷2=13cm，故填13
本题主要考查垂直平分性性质，平行四边形性质等知识点，本题关键在于能够找到OE为垂直平分线
12、1
【解析】
利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为-1，结合方程的一个根为-1，可求出方程的另一个根，此题得解．
【详解】
∵a=1，b=m，c=-1，
∴x1•x2==-1．
∵关于x一元二次方程x2+mx-1=0的一个根为x=-1，
∴另一个根为-1÷（-1）=1．
故答案为：1．
此题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．
13、10
【解析】
由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) A,B两种品牌的教学设备分别为20套,30套; (2) 至多减少1套.
【解析】
（1）设A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，根据题意可得方程组，解方程组即可求得商场计划购进A，B两种品牌的教学设备的套数；
(2)设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由题意得不等式1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，解不等式即可求得答案.
【详解】
（1）设A品牌的教学设备x套，B品牌的教学设备y套，由题意，得
，
解得：．
答：该商场计划购进A品牌的教学设备20套，B品牌的教学设备30套；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，由题意，得
1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：a≤1．
答：A种设备购进数量至多减少1套．
15、（1）甲商场：y=0.8x，乙商场：y=x（0≤x≤200），y=0.7x+60（x＞200）；（2）详见解析；（3）x＜600时，甲商场购物更省钱，x=600时，甲、乙两商场购物更花钱相同，x＞600时，乙商场购物更省钱．
【解析】
（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
（2）利用两点法作出函数图象即可；
（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后根据函数图象作出判断即可．
【详解】
解：（1）甲商场：y=0.8x，
乙商场：y=x（0≤x≤200），
y=0.7（x-200）+200=0.7x+60，
即y=0.7x+60（x＞200）；
（2）如图所示；
（3）当0.8x=0.7x+60时，x=600，
所以，x＜600时，甲商场购物更省钱，
x=600时，甲、乙两商场购物更花钱相同，
x＞600时，乙商场购物更省钱．
本题考查了一次函数的应用，一次函数图象，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
16、（1）证明见解析；（2）k=4或k=2．
【解析】
（1）根据根的判别式为1，得出方程有两个不相等的实数根；（2）将x=2代入方程得出关于k的一元二次方程，从而得出k的值．
【详解】
（1）∵△=
=
=，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有一个根为2，
∴，
，
∴，．
本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17、（1）；（2），
【解析】
（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
解：（1）.
∴.
∴.
（2）
∴
，.
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
18、见解析.
【解析】
如图，连接BD，交AC于点O．由平行四边形的对角线互相平分可得，,结合已知条件证得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD是平行四边形.
【详解】
如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴，即，
∴四边形ABCD是平行四边形.
本题考查了平行四边形的性质及判定，作出辅助线，证明、是解决问题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5cm
【解析】
只要得出OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．
【详解】
解：∵OE∥DC，AO=CO，
∴OE是△ABC的中位线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10cm，
∴OE=5cm．
故答案为5cm．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，属于基础题，关键是得出OE是△ABC的中位线，难度一般．
20、2．
【解析】
试题分析：由图可得出两条路的宽度为：1m，长度分别为：10m，30m，这样可以求出小路的总面积，又知矩形的面积，耕地的面积=矩形的面积-小路的面积，由此计算耕地的面积．
由图可以看出两条路的宽度为：1m，长度分别为：10m，30m，
所以，可以得出路的总面积为：10×1+30×1-1×1=49m1，
又知该矩形的面积为：10×30=600m1，
所以，耕地的面积为：600-49=2m1．
故答案为2．
考点：矩形的性质．
21、且．
【解析】
试题分析：分式方程去分母得：.
∵分式方程解为负数，∴.
由得和
∴的取值范围是且．
考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．
22、3＜x＜1
【解析】
根据平行四边形的性质易知OA＝7，OB＝4，根据三角形三边关系确定范围．
【详解】
∵ABCD是平行四边形，AC＝14，BD＝8，
∴OA＝AC＝7，OB＝BD＝4，
∴7−4＜x＜7＋4，即3＜x＜1．
故答案为：3＜x＜1．
此题考查了平行四边形的性质及三角形三边关系定理，有关“对角线范围”的题，应联系“三角形两边之和、差与第三边关系”知识点来解决．
23、3
【解析】
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD＝；
故答案是：3．
考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）（a−3）（a−1）；（2）当a＝7，b＝4，c＝1时，△ABC的周长最小，最小值是：7＋4＋1＝16；（3）当x＝−1时，多项式−2x2−4x＋3有最大值，最大值是1．
【解析】
（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；
（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；
（3）根据配方法即可求出答案．
【详解】
解：（1）a2−8a＋11＝（a2−8a＋16）−1＝（a−4）2−12＝（a−3）（a−1），
故答案为：（a−3）（a−1）；
（2）∵a2＋b2−14a−8b＋61＝0，
∴（a2−14a＋49）＋（b2−8b＋16）＝0，
∴（a−7）2＋（b−4）2＝0，
∴a−7＝0，b−4＝0，
解得，a＝7，b＝4，
∵△ABC的三边长是a，b，c，
∴3＜c＜11，
又∵c边的长为奇数，
∴c＝1，7，9，
当a＝7，b＝4，c＝1时，△ABC的周长最小，最小值是：7＋4＋1＝16；
（3）−2x2−4x＋3，
＝−2（x2＋2x＋1−1）＋3，
＝−2（x＋1）2＋1，
∴当x＝−1时，多项式−2x2−4x＋3有最大值，最大值是1．
本题考查配方法，三角形三边关系，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题，本题属于基础题型．
25、（1）B(2m,)；（2）四边形ABCD是菱形，理由见解析；（3）y= .
【解析】
（1）根据点P是AC的中点得到点A的横坐标是m，结合反比例函数图象上点的坐标特征来求点B的坐标；
（2）根据点P的坐标得到点P是BD的中点，所以由“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得到四边形ABCD是菱形；
（3）由△ABP的面积为3，知BP•AP=1．根据反比例函数 y=中k的几何意义，知本题k=OC•AC，由反比例函数的性质，结合已知条件P是AC的中点，得出OC=BP，AC=2AP，进而求出k的值．
【详解】
(1)∵A的横坐标为m，AC⊥x轴于C，P是AC的中点，
∴点B的横坐标是2m.
又∵点B在双曲线y= (x>0)上，
∴B(2m,).
(2)连接AD、CD、BC；
∵AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于点D，
∴AC⊥BD；
∵A(m, ),B(2m, )，
∴P(m, )，
∴PD=PB，
又AP=PC，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)∵△ABP的面积为⋅BP⋅AP=3，
∴BP⋅AP=1，
∵P是AC的中点，
∴A点的纵坐标是B点纵坐标的2倍，
又∵点A. B都在双曲线y= (x>0)上，
∴B点的横坐标是A点横坐标的2倍，
∴OC=DP=BP，
∴k=OC⋅AC=BP⋅2AP=12.
∴该双曲线的解析式是：y= .
此题考查反比例函数综合题，解题关键在于作辅助线.
26、高铁列车平均速度为300km/h．
【解析】
设原特快列车平均速度为xkm/h，则高铁列车平均速度为2.8xkm/h，利用高铁列车行驶时间比原特快列车行驶时间缩短了3小时，这一等量关系列出方程解题即可
【详解】
设原特快列车平均速度为xkm/h，则高铁列车平均速度为2.8xkm/h，
由题意得： +3＝，
解得：x＝100，
经检验：x＝100是原方程的解，
则3×100＝300（km/h）；
答：高铁列车平均速度为300km/h．
本题考查分式方程的简单应用，本题关键在于读懂题意列出方程，特别注意分式方程求解之后需要检验
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
A
B
进价(万元/套)
1.5
1.2
售价(万元/套)
1.65
1.4