广东省汕尾市海丰县2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份广东省汕尾市海丰县2024-2025学年数学九年级第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列函数中，是的正比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为（2，2）；②当x>2时，；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．则其中正确结论的序号是( )
A．①②B．①③C．②④D．①③④
3、（4分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
4、（4分）在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≤0C．x＞0D．x＜0
5、（4分）某校随机抽查了10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生的体育成绩，得到的结果如表：
下列说法正确的是（ ）
A．这10名同学的体育成绩的众数为50
B．这10名同学的体育成绩的中位数为48
C．这10名同学的体育成绩的方差为50
D．这10名同学的体育成绩的平均数为48
6、（4分）计算的值为( )
A．2B．3C．4D．1
7、（4分）上复习课时李老师叫小聪举出一些分式的例子，他举出了: ，，其中正确的个数为( ).
A．2B．3C．4D．5
8、（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点、DE＝3，那么BC的长为( )
A．4B．5C．6D．7
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知：如图，平行四边形中，平分交于，平分交于，若，，则___．
10、（4分）已知直线与x轴的交点在、之间（包括、两点），则的取值范围是__________.
11、（4分）在一次数学单元考试中，某小组6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，100，70。则这组数据的中位数分别是_________________________分。
12、（4分）已知A（﹣1，1），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为_____
13、（4分） 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，BP＝．下列结论：
①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；
③S△APD+S△APB＝+；④S正方形ABCD＝4+．
其中正确结论的序号是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）己知：，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
15、（8分）如图，在梯形,,过点，垂足为，并延长，使，联结.
（1）求证：四边形是平行四边形。
（2）联结，如果
16、（8分）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C、D两乡，C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，其运往C、D两乡的运费如下表：
设从A城运往C乡的肥料为xt，从A城运往两乡的总运费为y1元，从B城运往两乡的总运费为y2元．
（1）分别写出y1、y2与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）试比较A、B两城总运费的大小；
（3）若B城的总运费不得超过3800元，怎样调运使两城总费用的和最少？并求出最小值．
17、（10分）（1）如图1，平行四边形纸片ABCD中，AD=5，S甲行四边形纸片ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D．
求证：四边形AFF′D是菱形．
18、（10分）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图（1），连接AF、CE．
①四边形AFCE是什么特殊四边形？说明理由；
②求AF的长；
（2）如图（2），动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是_________．
20、（4分）_____．
21、（4分）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC,E是AB的中点，若AC=6，则DE的长为 _____________
22、（4分）一组数据：3，0，，3，，1．这组数据的众数是_____________．
23、（4分）如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）先化简，再求值: 其中a＝
25、（10分）计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
26、（12分）某学校八年级学生举行朗诵比赛，全年级学生都参加，学校对表现优异的学生进行表彰，设置—、二、三等奖和进步奖共四个奖项，赛后将八年级（1）班的获奖情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请报据图中的信息，解答下列问题：

(1)八年级（1）班共有 名学生；
(2)将条形图补充完整；在扇形统计图中，“二等奖”对应的扇形的圆心角度数 ；
(3)如果该八年级共有800名学生，请估计荣获一、二、三等奖的学生共有多少名.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断即可.
【详解】
A. 是正比例函数,故A符合题意;
B. 不是正比例函数,故B不符合题意;
C. 不是正比例函数,故C不符合题意;
D. 不是正比例函数,故D不符合题意.
故选A.
此题考查的是正比例函数,掌握正比例函数的定义是解决此题的关键.
2、D
【解析】
一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解；根据图象可求得x＞2时y1＞y2；根据x＝1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；根据图像可确定一次函数和反比例函数在第一象限的增减性．
【详解】
解：①联立一次函数与反比例函数的解析式，
解得，，
∴A（2，2），故①正确；
②由图象得x＞2时，y1＞y2，故②错误；
③当x＝1时，B（1，4），C（1，1），∴BC＝3，故③正确；
④一次函数y随x的增大而增大，反比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确．
∴①③④正确．
故选D．
本题主要是考查学生对两个函数图象性质的理解．这是一道常见的一次函数与反比例函数结合的题目，需要学生充分掌握一次函数和反比例函数的图象特征．理解一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解．
3、B
【解析】
先根据角平分线及矩形的性质得出∠BAE＝∠AEB，再由等角对等边得出BE＝AB，从而求出EC的长．
【详解】
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2，
故选：B．
本题主要考查角平分线的定义和等腰三角形的判定定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键.
4、A
【解析】
由题意得，x≥0 .
故选A.
5、A
【解析】
结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解即可．
【详解】
解：1 0名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，
中位数为49；
平均数为48.6，
方差为[（46-48.6）2+2×（47-48.6）2+（48-48.6）2+2×（49-48.6）2+4×（50-48.6）2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误
故选：A
本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
6、D
【解析】
根据平方差公式计算即可．
【详解】
原式=x-（x-1）=1．
故选D．
本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，注意平方差公式的灵活运用．
7、B
【解析】
根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【详解】
解：在，中，是分式，只有3个，
故选：B．
本题考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
8、C
【解析】
根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC．
【详解】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∵DE=3，
∴BC=2×3=1．
故选：C．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF-AD即可计算．
【详解】
四边形是平行四边形，
，，，
平分交于，平分交于，
，，
，，
．
故答案为1．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
10、
【解析】
根据题意得到的取值范围是，则通过解关于的方程求得的值，由的取值范围来求的取值范围．
【详解】
解：直线与轴的交点在、之间（包括、两点），
，
令，则，
解得，
则，
解得．
故答案是：．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得的值是解题的突破口．
11、75
【解析】
根据中位数的定义即可求解.
【详解】
先将数据从小到大排序为65，70，70，80，90，100，
故中位数为(70+80)=75
此题主要考查中位数的求解，解题的关键是熟知中位数的定义.
12、
【解析】
点A（﹣1，1）关于x轴对称的点A'（﹣1，﹣1），求得直线A'B的解析式，令y＝0可求点P的横坐标．
【详解】
解：点A（﹣1，1）关于x轴对称的点A'（﹣1，﹣1），
设直线A'B的解析式为y＝kx+b，
把A'（﹣1，﹣1），B（2，3）代入，可得
，解得，
∴直线A'B的解析式为，
令y＝0，则，
解得x＝，
∴点P的坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短等知识点．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
13、①③④
【解析】
由题意可得△ABE≌△APD，故①正确，可得∠APD＝∠AEB＝135°，则∠PEB＝90°，由勾股定理可得BE，作BM⊥AE于M，可得△BEM是等腰直角三角形，
可得BM＝EM＝，故②错误，根据面积公式即可求S△APD+S△APB，S正方形ABCD，根据计算结果可判断．
【详解】
解：∵正方形ABCD
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
又∵∠EAP＝90°
∴∠BAE＝∠PAD，AE＝AP，AB＝AD
∴△AEB≌△APD故①正确
作BM⊥AE于M，
∵AE＝AP＝1，∠EAP＝90°
∴EP＝，∠APE＝45°＝∠AEP
∴∠APD＝135°
∵△AEP≌△APD，
∴∠AEB＝135°
∴∠BEP＝90°
∴BE
∵∠M＝90°，∠BEM＝45°
∴∠BEM＝∠EBM＝45°
∴BE＝MB 且BE＝,
∴BM＝ME＝,故②错误
∵S△APD+S△APB＝S四边形AMBP﹣S△BEM
故③正确
∵S正方形ABCD＝AB2＝AE2+BE2
∴S正方形ABCD 故④正确
∴正确的有①③④
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是构造直角三角形求出点B到直线AE的距离．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1);(2)
【解析】
（1）首先将代数式进行通分，然后根据已知式子，即可得解；
（2）首先根据完全平方差公式，将代数式展开，然后将已知式子转换形式，代入即可得解.
【详解】
∵，，
∴，
（1）
（2）
此题主要考查二次根式的运算，熟练掌握，即可解题.
15、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）连接BD,证△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠DBC.由中垂线性质得BD=BF，∠DBC=∠FBC，
再证得AC=BF，∠ACB=∠CBF，由AC,BF平行且相等可证得四边形是平行四边形.
(2)由BF=DF=BD证得三角形BDF是等边三角形，可得，再由平行线性质和等腰三角形性质证,可得，由（1）可得
【详解】证明：(1)连结BD.
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，
∵△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴∠ACB=∠DBC.
又∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF，
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；
（2）
,
四边形ABFC是平行四边形
【点睛】本题考核知识点：梯形，平行四边形和矩形的判定.解题关键点：熟记平行四边形和矩形的判定条件.
16、（1）y1=−10x＋6000，y2＝5x＋1（2）x＝180时，y1＝y2；x＞180时，y1＜y2；x＜180时，y1＞y2；（3）当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为2元．
【解析】
（1）根据题意即可得出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程或列不等式解答即可；
（3）设两城总费用为y，根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系式，根据题意得出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
（1）根据题意得：y1＝20x＋30（200−x）＝−10x＋6000，
y2＝10（240−x）＋15（300−240＋x）＝5x＋1．
（2）若y1＝y2，则−10x＋6000＝5x＋1，解得x＝180，
A、B两城总费用一样；
若y1＜y2，则−10x＋6000＜5x＋1，解得x＞180，
A城总费用比B城总费用小；
若y1＞y2，则−10x＋6000＞5x＋1，解得0＜x＜180，
B城总费用比A城总费用小．
（3）依题意得：5x＋1≤3800，
解得x≤100，
设两城总费用为W，则W＝y1＋y2＝−5x＋9300，
∵−5＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝100时，W有最小值2．
200−100＝100（t），240−100＝140（t），100＋60＝160（t），
答：当从A城调往C乡肥料100t，调往D乡肥料100t，从B城调往C乡肥料140t，调往D乡肥料160t，两城总费用的和最少，最小值为2元．
本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．注意到（2）需分类讨论．
17、（1）C；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据矩形的判定可得答案；
（2）利用勾股定理求得AF=5，根据题意可得平行四边形AFF′D四边都相等，即可得证．
【详解】
解：(1)由题意可知AD与EE′平行且相等，
∵AE⊥BC，
∴四边形AEE′D为矩形
故选C；
(2) ∵AD＝5，S□ABCD＝15，∴AE＝3，
又∵在图2中，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF＝，
∴AF＝AD＝5，
又∵AF∥DF′，AF＝DF′，
∴四边形AFF′D是平行四边形，
又∵AF＝AD，
∴四边形AFF′D是菱形．
18、（1） ①菱形，理由见解析；②AF＝1；（2） 秒．
【解析】
（1）①先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；
②根据勾股定理即可求AF的长；
（2）分情况讨论可知，P点在BF上；Q点在ED上时；才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可．
【详解】
（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE＝OF(AAS)．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝(8﹣x)cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理，得
16+(8﹣x)2＝x2，
解得：x＝1，
∴AF＝1．
（2）由作图可以知道，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∴PC＝QA，
∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC＝1t，QA＝12﹣4t，
∴1t＝12﹣4t，
解得：t＝．
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝秒．
本题考查了矩形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时分析清楚动点在不同的位置所构成的图形的形状是解答本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、11.1
【解析】
根据平均数的公式求解即可，8个数的和加12个数的和除以20即可．
【详解】
解：根据平均数的求法：共8+12=20个数，这些数之和为8×11+12×12=232，
故这些数的平均数是=11.1．
故答案为：11.1．
本题考查的是样本平均数的求法，，熟练掌握加权平均数公式是解答本题的关键．
20、
【解析】
原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】
解：原式＝+2＝3．
故答案为3
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21、3
【解析】
∵AB=AC，AD平分∠BAC,
∴D是BC中点.
∵E是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
.
22、2
【解析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
解：数据：2，0，，2，，1中，2出现的次数最多，所以这组数据的众数是2．
故答案为：2．
本题考查了众数的定义，属于基础概念题型，熟知众数的概念是关键．
23、
【解析】
不等式的解集为直线在直线上方部分所对的x的范围.
【详解】
解：由图象可得，当时，直线在直线上方，所以不等式的解集是.
故答案为：
本题考查了一次函数与不等式的关系，合理利用图象信息是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、-2.
【解析】
先根据分式的运算法则进行计算化简，再把a＝代入化简后的式中求值即可。
【详解】
解：原式
当a=时, = = -2
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的化简．
25、（1）4+6（2）5-
【解析】
（1）根据二次根式的运算法则计算即可.（2）根据二次根式的运算法则计算即可.
【详解】
（1）原式=2+4+6﹣（5﹣3）
=2+4+6﹣2
=4+6.
（2）原式=2﹣﹣ +3
=5﹣.
本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
26、（1）50；（2）见解析；57.6°；（3）368.
【解析】
（1）根据“不得奖”人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数乘以一等奖所占百分比可得其人数，补全图形，根据各项目百分比之和等于1求得二等奖所占百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以荣获一、二、三等奖的学生占总人数的百分比即可．
【详解】
解：（1）八年级（1）班共有 =50
(2)获一等奖人数为：50×10%=5(人)，
补全图形如下：
∵获“二等奖”人数所长百分比为1−50%−10%−20%−4%=16%，
“二等奖”对应的扇形的圆心角度数是×16%=57.6，
（3）（名）
此题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键在于看懂图中数据
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
成绩（分）
46
47
48
49
50
人数（人）
1
2
1
2
4
C（元/t）
D（元/t）
A
20
30
B
10
15