广东省新朗实验学校2025届数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份广东省新朗实验学校2025届数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各表达式不是表示与x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）
A．仅甲正确B．仅乙正确C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误
3、（4分）对于正比例函数 y  3x ，下列说法正确的是( )
A．y 随 x 的增大而减小 B．y 随 x 的增大而增大
C．y 随 x 的减小而增大 D．y 有最小值
4、（4分）如图，已知直线经过二，一，四象限，且与两坐标轴交于A，B两点，若，是该直线上不重合的两点．则下列结论：①；②的面积为；③当时，；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．②③C．②④D．②③④
5、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
B．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行另一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
6、（4分）如图，在▱ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是( )
A．2B．1C．D．
7、（4分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=﹣x图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．当x1＜x2时，y1＞y2
D．当x1＜x2时，y1＜y2
8、（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）张老师对同学们的打字能力进行测试，他将全班同学分成五组．经统计，这五个小组平均每分钟打字个数如下：100，80，x，90，90，已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 ．
10、（4分）若与最简二次根式能合并成一项，则a=______．
11、（4分）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为 _____________.
12、（4分）大型古装历史剧《那年花开月正圆》火了“晋商”一词，带动了晋商文化旅游的发展．图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积和是49cm2，则其中最大的正方形S的边长为________cm．
13、（4分）如图，经过点B（－2，0）的直线与直线相交于点A（－1，－2），则不等式的解集为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点.
（1）求，的值；
（2）根据图象判断，当不等式成立时，的取值范围是什么？
15、（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值
16、（8分）已知y是x的一次函数，如表列出了部分y与x的对应值，求m的值．
17、（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=30cm，BC=40cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．
（1）PQ=______；（用含t的代数式表示）
（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；①点C，N，M在同一条直线上；②点N落在BC边上；
（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．
18、（10分）阅读材料I:
教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为，根据这一性质，我们可以求出己知方程关于的代数式的值．
问题解决:
（1）已知为方程的两根，则: __ _，__ _，那么_ (请你完成以上的填空)
阅读材料:II
已知，且．求的值．
解:由可知
又且，即
是方程的两根．
问题解决:
（2）若且则 ；
（3）已知且．求的值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，菱形的两个顶点坐标为，，若将菱形绕点以每秒的速度逆时针旋转，则第秒时，菱形两对角线交点的坐标为__________．
20、（4分）命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是_____．
21、（4分）将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有公共点，则的取值范围是________________．
22、（4分）一组数据中，9出现1次，14出现4次，15出现5次，则这组数据的平均数是_____．
23、（4分）人体中红细胞的直径约为0.0000077 m，数据0.0000077用科学记数法表示为________
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD＝21，求：
（1）S△BOC
（2）k的值．
25、（10分）阅读下列材料：
关于x的方程：的解是，；即的解是；的解是，；的解是，；
请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．
26、（12分）如图，菱形ABCD中，AB=1，∠A=60°，EFGH是矩形，矩形的顶点都在菱形的边上．设AE=AH=x（0＜x＜1），矩形的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当EFGH是正方形时，求S的值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据函数的概念进行判断。满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案．
【详解】
解：A、y=3x2对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，所以y是x的函数，不符合题意；
B、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值是，所以y是x的函数，不符合题意；
C、对于x的每一个取值，y都有两个值，所以y不是x的函数，符合题意；
D、y=3x+1对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，所以y是x的函数，不符合题意．
故选：C．
主要考查了函数的概念．函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
2、C
【解析】
试题解析：根据甲的作法作出图形，如下图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，

∵EF是AC的垂直平分线，

在和中，

∴≌，

又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.

∴四边形AECF是菱形.
故甲的作法正确.
根据乙的作法作出图形，如下图所示.
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7.
∵BF平分，AE平分
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，


∵AF∥BE，且
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵
∴平行四边形ABEF是菱形.
故乙的作法正确.
故选C.
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的平行四边形是菱形.
3、B
【解析】
正比例函数中，k＞0:y随x的增大而增大;k＜0:y随x的增大而减小.
【详解】
∵正比例函数y  3x中，k=3＞0，
∴y随x的增大而增大，
故选：B.
本题考查了正比例函数的性质，确定k值，判断出其增减性是解题的关键.
4、B
【解析】
根据直线经过的象限即可判定①结论错误；求出点A、B坐标，即可求出的面积，可判定②结论正确；直接观察图像，即可判定③结论正确；将两点坐标代入，进行消元，即可判定④结论错误.
【详解】
∵直线经过二，一，四象限，
∴
∴，①结论错误；
点A，B
∴OA=，OB=
，②结论正确；
直接观察图像，当时，，③结论正确；
将，代入直线解析式，得
∴，④结论错误；
故答案为B.
此题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握，即可解题.
5、C
【解析】
根据平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定进行判断即可．
【详解】
解：选项A中，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项错误；
选项B中，当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误；
选项C中，由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确；
选项D中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项错误；
故选：C．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，掌握平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．
6、B
【解析】
证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB＝DE，证出CE＝2AB，求出∠CEF＝30°，得出CE＝2CF＝2，即可得出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝2，
∴AB＝1；
故选：B．
本题考查平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
7、C
【解析】
试题分析：根据正比例函数图象的性质可知．
解：根据k＜0，得y随x的增大而减小．
①当x1＜x1时，y1＞y1，
②当x1＞x1时，y1＜y1．
故选C．
考点：正比例函数的性质．
8、C
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质可得AO=6，则根据Rt△AOB的勾股定理得出BO=10，则BD=2BO=20.
考点：平行四边形的性质
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
∵100，80，x，1，1，这组数据的众数与平均数相等，
∴这组数据的众数只能是1，否则，x=80或x=100时，出现两个众数，无法与平均数相等．
∴（100＋80＋x＋1＋1）÷5=1，解得，x=1．
∵当x=1时，数据为80，1，1，1，100，
∴中位数是1．
10、2
【解析】
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：=2，
由最简二次根式与能合并成一项，得
a-1=1．
解得a=2．
故答案为：2．
本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
11、
【解析】
根据菱形性质，得到∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE，又因为AD∥BC，得到∠DAE=∠AEB，进而求出 ∠ADE=∠AED=55°，从而得到∠EDC
【详解】
∵四边形ABCD为菱形，∴∠ADC=∠B=70°，AD∥BC，AD=AB
∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)÷2=55°
∴∠EDC=70°-∠ADE=70°-55°=15°
本题主要考查菱形的基本性质，在计算过程中综合运用了等边对等角，三角形内角和定理等知识点
12、7
【解析】
根据勾股定理的几何意义可得正方形S的面积，继而根据正方形面积公式进行求解即可.
【详解】
根据勾股定理的几何意义，可知
S=SE+SF
=SA+SB+SC+SD
=49 cm2，
所以正方形S的边长为=7cm，
故答案为7.
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
13、
【解析】
分析：不等式的解集就是在x下方，直线在直线上方时x的取值范围．
由图象可知，此时．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）， ;（2）或.
【解析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出反比例函数图象在一次函数的图象上方的x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）把A（1，1）代入中，得到m＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，1）代入y＝中，得到n＝1；
（2）∵A（1，1），B（1，1），
观察图象可知：不等式成立时，x的取值范围是0＜x≤1或x≥1．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法解决取值范围问题，属于中考常考题型．
15、【解析】
试题分析：（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；
（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；
（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB=BP时；②当AB=AP时；③当BP=AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．
试题解析：（1）在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16，
∴BC=4（cm）；
（2）由题意知BP=tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，即t=4；
②当∠BAP为直角时，BP=tcm，CP=（t-4）cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，
AP2=32+（t-4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
即：52+[32+（t-4）2]=t2，
解得：t=，
故当△ABP为直角三角形时，t=4或t=；
（3）①当AB=BP时，t=5；
②当AB=AP时，BP=2BC=8cm，t=8；
③当BP=AP时，AP=BP=tcm，CP=|t-4|cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=AC2+CP2，
所以t2=32+（t-4）2，
解得：t=，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t=5或t=8或t=．
考点：勾股定理
16、m＝﹣1．
【解析】
利用待定系数法即可解决问题；
【详解】
解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣3，
当x＝﹣1时，m＝﹣1．
本题考查一次函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
17、（1）4t；（2）①，②；（3）秒或秒或秒．
【解析】
（1）先求出AB=50，sinA==，csA==，进而求出AQ=3t，PQ=4t，即可得出结论；
（2）先判断出PN=QM=PQ=4t，
①求出CD=24，AD=18，进而判断出AQ+QM=AD=18，建立方程即可得出结论；
②判断出∠APQ=∠PNC，进而得出△AQP∽△PCN，建立方程即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=50，
∴sinA==，csA==
∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，
由运动知，AP=5t，
在Rt△AQP中，AQ=AP•csA=×5=3t，PQ=AP•sinA=4t，
故答案为：4t；
（2）由（1）知，AQ=3t，PQ=4t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=QM=PQ=4t，
①如图1，
由（1）知，AB=50，
过点C作CD⊥AB于D，
∴AB•CD=AC•BC，
∴CD=24，
在Rt△ADQ中，AD==18，
∵点C，N，M在同一条直线上，
∴点M落在点D，
∴AQ+QM=AD=18，
由（1）知，QM=PQ=4t，AQ=3t，
∴4t+3t=18，
∴t=；
②点N落在BC上时，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，
∴∠CPN+∠CNP=90°，
∵∠QPN=90°
∴∠CPN+∠APQ=90°，
∴∠APQ=∠PNC，
∵∠AQP=∠PCN，
∴△AQP∽△PCN，
∴，
∴，
∴t=；
（3）当PC=PN时，30-5t=4t，
∴t=，
当PC=NC时，如图2，过点C作CF⊥PN于F，延长CF交AB于D，
∴PF=PN=2t，
∴QD=2t，
根据勾股定理得，AQ==3t，
∴AD=AQ+QD=5t=18，
∴t=，
当PN=NC时，如图3，过点N作NG⊥AC于G，
∴PG=PC=，
易知，△PNG∽△APQ，
∴，
∴，
∴t=，
即：当△PCN是等腰三角形时，秒或秒或秒．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
18、（1）-3；-1；11；（2）；（3）．
【解析】
（1）根据根与系数的关系可求出x1+x2和x1x2的值，然后利用完全平方公式将变形为，再代值求解即可；
（2）利用加减法结合因式分解解方程组，然后求值即可；
（3）根据材料中的的解法将等式变形，然后将m和看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出m+和m•的值，然后再代值求解．
【详解】
解：（1）∵为方程的两根，
∴，
故答案为：-3；-1；11；
（2）
①×b得：
②×a得：
③-④得：
或
∴或
又∵
∴，即
故答案为：；
（3）由n2+3n-2=0可知n≠0；
∴
∴
又2m2-3m-1=0，且mn≠1，即m≠；
∴m、是方程2x2-3x-1=0的两根，
∴m+＝，m•＝；
∴．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，能够正确的理解材料的含义，并熟练地掌握根与系数的关系是解答此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（-，0）
【解析】
先计算得到点D的坐标，根据旋转的性质依次求出点D旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．
【详解】
∵菱形的两个顶点坐标为，，
∴对角线的交点D的坐标是（2,2），
∴，
将菱形绕点以每秒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0， ），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-），
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，，
由此得到点D旋转后的坐标是8次一个循环，
∵，
∴第秒时，菱形两对角线交点的坐标为（-，0）
故答案为：（-，0）．
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
20、矩形是两条对角线相等的平行四边形．
【解析】
把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】
命题”两条对角线相等的平行四边形是矩形“的逆命题是矩形是两条对角线相等的平行四边形，
故答案为矩形是两条对角线相等的平行四边形．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
21、≤k≤1．
【解析】
分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
【详解】
解：由题意得：点A的坐标为（1，1），点C的坐标为（1，1），
∵当正比例函数经过点A时，k=1，当经过点C时，k=，
∴直线y=kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，k的取值范围是≤k≤1，
故答案为：≤k≤1．
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标，难度不大．
22、1
【解析】
根据加权平均数的定义计算可得．
【详解】
解：这组数据的平均数为＝1，
故答案为：1．
本题考查了加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数．
23、
【解析】
根据科学记数法的一般形式进行解答即可.
【详解】
解：0.0000077=.
故答案为：.
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）S△BOC＝25；（2）k＝8
【解析】
（1）过点A作AE⊥OC于点E，交OD于点F,由平行线分线段成比例可得===,利用面积比是相似比的平方得==,根据反比例函数图象性质得S△AOE＝S△ODC，所以== ,进而△BOC的面积.(2) 设A（a，b）,由（1）可得S△OCD＝4 ，进而可得ab＝8，从而求出k的值.
【详解】
解：过点A作AE⊥OC于点E，交OD于点F，
∵AE∥BC, ,
∴===,
∴==,
∵ S△AOE＝S△ODC，
∴== ,
∴S△BOC＝25，
（2）设A（a，b）,
∵点A在第一象限，
∴k＝ab＞0，
∵S△BOC＝25，S△BOD＝21，
∴S△OCD＝4 即ab＝4，
∴ab＝8，
∴k＝8.
本题考查了反比例函数的图象和性质及相似三角形的性质.灵活运用反比例函数图象的几何意义是解题关键.
25、猜想的解是，．验证见解析；，．
【解析】
此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：的解为，．据规律解题即可．
【详解】
猜想的解是，．
验证：当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
当时，方程左边，方程右边，
方程成立；
的解是，；
由得，
，，
，．
考查解分式方程，通过观察，比较，猜想，验证，可以得出结论.解决此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律.
26、（1）矩形EFGH的面积为S=-x2+x（0＜x＜1）；（2）S=．
【解析】
（1）连接BD交EF于点M，根据菱形的性质得出AB=AD，BD⊥EF，求出△AEH是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，求出EM=BE，即可求出答案；
（2）根据正方形的性质求出x，再求出面积即可．
【详解】
（1）连接BD交EF于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵AE=AH，
∴EH∥BD∥FG，BD⊥EF，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，AE=AH，
∴△AEH是等边三角形，
∴∠AEH=∠ABD=60°，∠BEM=30°，BE=2BM，
∴EM=BE，
∴EF=BE，
∵AB=1，AE=x，
∴矩形EFGH的面积为S=EH×EF=x×（1-x）=-x2+x（0＜x＜1）；
（2）当矩形EFGH是正方形时，EH=EF，
即x=（1-x），
解得：x=，
所以S=x2=（）2=．
考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，二次函数的解析式，正方形的性质，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x
…
﹣1
1
2
…
y
…
m
﹣1
1
…