广东省肇庆市端州区地质中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份广东省肇庆市端州区地质中学2024-2025学年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列选项中的计算，正确的是( )
A．=±3B．2-=2C．=-5D．
2、（4分）小颖同学准备用26元买笔和笔记本，已知一支笔2元，一本笔记本3元，他买了5本笔记本，最多还能买多少支笔？设他还能买支笔，则列出的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）八（1）班名同学一天的生活费用统计如下表：
则这名同学一天的生活费用中，平均数是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A．1B．1.3C．1.2D．1.5
6、（4分）如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B’），若，则折痕AE的长为（ ）
A．B．C．2D．
7、（4分）对于一次函数y=kx+b(k，b为常数)，下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
A．5B．8C．12D．14
8、（4分）如图，正方形中，点、、分别足、，的中点，、交于，连接、.下列论：①；②；③；④.其中正确的有( )
A．个B．个C．个D．个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）使根式有意义的x的取值范围是___．
10、（4分）计算：－＝________．
11、（4分）分解因式：9x2y﹣6xy+y＝_____．
12、（4分）如图，平行四边形的对角线相交于点，且，平行四边形的周长为8，则的周长为______.
13、（4分）若分式的值为零，则x=______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？
（注：利润=售价-成本）
15、（8分）正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.试证明：无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.
16、（8分）某市教委为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，其中有一项是短跑运动，短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此张明和李亮在课外活动中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
成绩统计分析表
（1）张明第2次的成绩为__________秒；
（2）请补充完整上面的成绩统计分析表；
（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？ 请说明理由.
17、（10分）如图，在正方形网格中，△TAB 的顶点坐标分别为 T(1，1)、A(2，3)、B(4，2)．
(1)以点 T(1，1)为位似中心，在位似中心的 同侧将△TAB 放大为原来的 3 倍，放大 后点 A、B 的对应点分别为 A'、B'，画出△TA'B'：
(2)写出点 A'、B'的坐标：A'( )、B'（ ）；
(3)在(1)中，若 C(a，b)为线段 AB 上任一 点，则变化后点 C 的对应点 C'的坐标为 ( )．
18、（10分）如图是一块四边形的草坪ABCD，经测量得到以下数据：CD=AC=2BC=20m，AB=10m，∠ACD=90°．
(1)求AD的长；
(2)求∠ABC的度数；
(3)求四边形ABCD的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
20、（4分）如图，点关于原点中心对称，且点在反比例函数的图象上，轴，连接，则的面积为______.
21、（4分）_____．
22、（4分）将50个数据分成5组，第1、2、3、4组的频数分别是2、8、10、15，则第5组的频率为_________
23、（4分）如图，函数y1=ax和y2=-x+b的图象交于点P，则根据图象可得，二元一次方程组的解是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某班级为奖励参加校运动会的运动员，分别用160元和120元购买了相同数量的甲、乙两种奖品，其中每件甲种奖品比每件乙种奖品贵4元.
请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程.
25、（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝1．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于1且小于1，求k的取值范围．
26、（12分）化简求值：，其中x=．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据算术平方根的定义，开方运算是求算术平方根，结果是非负数，同类根式相加减， 把同类二次根式的系数相加减, 做为结果的系数, 根号及根号内部都不变.
【详解】
解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意.
故答案为：D
本题考查了算术平方根的计算、二次根式的计算，熟练掌握数的开方、同类二次根式的合并及二次根式商的性质是解题的关键.
2、A
【解析】
设买x支笔，然后根据最多有26元钱列出不等式即可.
【详解】
设可买x支笔
则有：2x+3×5≤26，
故选A.
本题考查的是列一元一次不等式，解此类题目时要注意找出题目中不等关系即为解答本题的关键．
3、D
【解析】
先求出一次函数的关系式，再根据函数图象与坐标轴的交点及函数图象的性质解答即可．
【详解】
由题意知，函数关系为一次函数y=-1x+4，由k=-1＜0可知，y随x的增大而减小，且当x=0时，y=4，
当y=0时，x=1．
故选D．
本题考查学生对计算程序及函数性质的理解．根据计算程序可知此计算程序所反映的函数关系为一次函数y=-1x+4，然后根据一次函数的图象的性质求解．
4、C
【解析】
根据加权平均数公式列出算式求解即可.
【详解】
解：这名同学一天的生活费用的平均数=.
故答案为C.
本题考查了加权平均数的计算，读懂题意，正确的运用公式是解题的关键
5、C
【解析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM.
【详解】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，
又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由，可得AP=，
AM=AP=
故本题正确答案为C.
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
6、C
【解析】
先作辅助线，然后根据折叠的性质和解直角三角形计算．
【详解】
延长EB′与AD交于点F，
∵∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕，
∴EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F，
在△AEB′和△AFB′中，，
∴△AEB′≌△AFB′，
∴AE=AF，
∴∠B′AE=∠B′AD（等腰三角形三线合一），
故根据题意，易得∠BAE=∠B′AE=∠B′AD；
故∠EAB=30°，
∴EB=EA，
设EB=x，AE=2x，
∴（2x）2=x2+AB2，x=1，
∴AE=2，
则折痕AE=2，
故选C．
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
7、C
【解析】
经过观察5组自变量和相应的函数值得（-1，2），（0，5），（1，8），（3，14）符合解析式y=3x+5，（2，12）不符合，即可判定．
【详解】
∵（-1，2），（0，5），（1，8），（3，14）符合解析式y=3x+5，当x=2时，y=11≠12
∴这个计算有误的函数值是12，
故选C．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式是解决本题的关键．
8、C
【解析】
连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG=∠DAG．则问题得解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴BE=CF，
在△BCE与△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠ECB=∠CDF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
在Rt△CGD中，H是CD边的中点，
∴HG=CD=AD，故④错误；
连接AH，如图：
同理可证得：AH⊥DF，
∵HG=HD=CD，
∴DK=GK，
∴AH垂直平分DG，
∴AG=AD，GH=DH，故②正确；
∴∠DAG=2∠DAH，
在△ADH与△CDF中，，
∴△ADH≌△DCF，
∴∠DAH=∠CDF，
∵GH=DH，
∴∠HDG=∠HGD，
∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，
又∵AH垂直平分DG，
∴∠DAH=∠GAH，∠DAG=2∠DAH，
∴∠CHG=∠DAG．故③正确；
故选：C．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，
必须
解得：
故答案为：．
10、1
【解析】
根据算术平方根和立方根定义，分别求出各项的值，再相加即可．
【详解】
解：因为，所以.
故答案为1．
本题考核知识点：算术平方根和立方根. 解题关键点：熟记算术平方根和立方根定义，仔细求出算术平方根和立方根．
11、y（3x﹣1）1．
【解析】
首先提公因式y，再利用完全平方公式进行二次分解．
【详解】
解：原式＝y（9x1﹣6x+1）＝y（3x﹣1）1，
故答案为：y（3x﹣1）1．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12、4
【解析】
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=CM，又由平行四边形ABCD的周长为8，可得AD+CD的长，继而可得△CDE的周长等于AD+CD.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC
∵平行四边形ABCD的周长为8
∴AD+CD=4
∵
∴AM=CM
∴△CDE的周长为：CD+CM+DM=CD+AM+DM=AD+CD=4.
故答案为：4
本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质。
13、-1
【解析】
分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【详解】
依题意，得
|x|-1=2且x-1≠2，
解得，x=-1．
故答案是:-1.
考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）三种建房方案（2）A型住房48套，B型住房32套获得利润最大（3）当O<a<l时， x=48，W最大，当a=l时，a-1=O，三种建房方案获得利润相等，当a>1时，x=1，W最大.
【解析】
解：（1）设公司建A户型x套，则建B户型（80-x）套，
由题意得： 209025x+28(80-x )2096
解得：48x1 经检验，符合题意．
x取整数，x=48、49、1．
该公司有以下三种建房方案：
①A户型：48套，B户型32套；② A户型：49套，B户型31套；
③A户型：1套，B户型30套．
（2）每套A户型获利：30—25=5万元，
每套B户型获利：34—28=6万元．
每套B户型获利﹥每套A户型获利，方案一获利最大．
即建48套A户型，32套B户型时获利最大．
（3）由题意得：A户型住房的售价提高a万元后：
每套A户型获利（5+a）万元，每套B户型仍获利6万元．
当5+a﹤6，即a﹤1时，方案一获利最大；
当5+a=6， 即a=1时，三种方案获利一样多；
当5+a﹥6，即a﹥1时，方案三获利最大．
（1）首先设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套，然后根据题意列方程组，解方程组可求得x的取值范围，又由x取非负整数，即可求得x的可能取值，则可得到三种建房方案；
（2）求出每套户型的获利，进行比较
（3）因为a是不确定的值了，所以要根据a的取值判断该公司又将如何建房获得利润最大．
15、见解析.
【解析】
分两种情况讨论：（1）当正方形边与正方形的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积，得出结论.
【详解】
（1）当正方形绕点转动到其边，分别于正方形的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然；
（2）当正方形绕点转动到如图位置时，
∵四边形为正方形，
∴，，，即
又∵四边形为正方形，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
又，
∴.
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点.
16、（1）13.4；（2）13.3 ，13.3；（3）选择张明
【解析】
根据折线统计图写出答案即可
根据已知条件求得中位数及平均线即可，中数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
根据平均线一样，而张明的方差较稳定，所以选择张明.
【详解】
（1）根据折线统计图写出答案即可，即13.4；
（2）中数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，即是13.3 ，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.即（13.2+13.4+13.1+13.5+13.3）5=13.3；
（3）选择张明参加比赛.理由如下：
因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明的成绩较稳定，所以应该选择张明参加比赛．
本题考查平均数、中位数和方差，熟练掌握计算法则和它们的性质是解题关键.
17、（1）详见解析；（1）A′（4，7），B′（10，4）（3）(3a-1,3b-1)
【解析】
（1）根据题目的叙述，在位似中心的同侧将△TAB放大为原来的3倍，得到对应点坐标，正确地作出图形即可，
（1）根据图象确定各点的坐标即可．
（3）根据（1）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C′的坐标．
【详解】
解：（1）如图所示：
（1）点A′，B′的坐标分别为：A′（4，7），B′（10，4）；
故答案为：(4，7)；(10，4)；
（3）变化后点C的对应点C′的坐标为：C′（3a-1，3b-1）
故答案为：3a-1，3b-1．
本题考查了位似变换作图的问题，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关键．
18、 (1)40m;(2) ∠ABC=90°;(3)cm2
【解析】
(1)直接利用勾股定理计算即可;(2) 由勾股定理得逆定理可得结果;(3) 利用四边形ABCD的面积=即可得出结果.
【详解】
(1)解：在RtΔACD中，∠ACD=90°，根据勾股定理得：
=
=40m
(2)解：在ΔABC中，，，
∴
由勾股定理得逆定理得
∴ΔABC是直角三角形，且∠ABC=90°
(3)解：四边形ABCD的面积=(m2)
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、10
【解析】
由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
20、1
【解析】
根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△BOC=|k|=1，然后根据等底同高的三角形相等，得到S△AOC=S△BOC=1，即可求得△ABC的面积为1．
【详解】
解：∵BC⊥x轴，
∴S△BOC=|k|=1，
∵点A，B关于原点中心对称，
∴OA=OB，
∴S△AOC=S△BOC=1，
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=1，
故答案为：1．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
21、
【解析】
原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】
解：原式＝+2＝3．
故答案为3
此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22、0.3
【解析】
根据所有数据的频数和为总数量，可用减法求解第五组的评数，用频数除以总数即可.
【详解】
解：∵第1、2、3、4组的频数分别是2、8、10、15，
∴50-2-8-10-15=15
∴15÷50=0.3
故答案为0.3.
此题主要考查了频率的求法，明确用频数除以总数求取频率是解题关键.
23、
【解析】
先根据函数图象确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】
解：由图可得，函数y1=ax和y2=-x+b的图象交于点P（2，3），
∴二元一次方程组的解是，
故答案为：．
本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题时注意：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、问题：甲、乙两种奖品的单价分别是多少元？
每件甲种奖品为16元，每件乙种奖品为12元.
【解析】
首先提出问题，例如：甲、乙两种奖品的单价分别是多少元？然后根据本题的等量关系列出方程并求解。
【详解】
问题：甲、乙两种奖品的单价分别是多少元？
解：设每件乙种奖品为x元，则每件甲种奖品为（x+4）元，列方程得：
160x=120(x+4)
x=12
经检验，x=12是原分式方程的解。
则：x+4=16
答：每件甲种奖品为16元，每件乙种奖品为12元.
本题考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
25、（3）证明见解析；（2）3＜k＜2．
【解析】
（3）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式恒成立，因此得证；
（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于3且小于3，列出关于的不等式组，解之即可.
【详解】
（3）证明：△=b2-4ac=[-（k+3）]2-4×（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2，
∵（k-3）2≥3，即△≥3，
∴此方程总有两个实数根，
（2）解：
解得 x3=k-3，x2=2，
∵此方程有一个根大于3且小于3，
而x2＞3，
∴3＜x3＜3，
即3＜k-3＜3．
∴3＜k＜2，
即k的取值范围为：3＜k＜2．
本题考查了根的判别式，解题的关键是：（3）牢记“当时，方程总有两个实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组.
26、
【解析】
首先按照乘法分配律将原式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，再去括号，合并同类项即可进行化简，然后将x的值代入化简后的式子中即可求解．
【详解】
原式=


当时，原式．
本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
生活费（元）
学生人数（人）
x
-1
0
1
2
3
y
2
5
8
12
14
A
B
成本(万元/套)
25
28
售价(万元/套)
30
34