云南省楚雄东兴中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份云南省楚雄东兴中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知m为实数，直线，已知，，，则点D到平面的距离为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点（1，-2），（3，0），则直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.已知空间向量，，则（ ）
A.B.19C.17D.
3.如果且，那么直线不经过（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.在空间直角坐标系中，点A的坐标为（1，2，3），则点A关于z轴的对称点坐标为（ ）
A.（-1，2，-3）B.（-1，-2，3）C.（1，-2，-3）D.（-1，-2，-3）
5.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点E在侧棱上，且，若，，，则（ ）
A.B.
C.D.
6.已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知，，，则点D到平面的距离为（ ）
A.B.C.D.
8.在正三棱柱中，，，，M为棱上的动点，N为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（ ）
A.2B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ）
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面
B.若，则，的夹角是锐角
C.不相等的两个空间向量的模可能相等
D.若，是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底
10.过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（ ）
A.B.C.D.
11.如图，在棱长为3的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，点到平面的距离为1
C.直线与所成的角可能是
D.若二面角的平面角的正弦值为，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线垂直，且它在y轴上的截距为4，则直线的方程为_______.
13.在直三棱柱中，，且，异面直线与所成的角为60°，则该三棱柱的侧面积为_______.
14.如图，在四棱锥中，，且，若，，则平面与平面夹角的余弦值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
求满足下列条件的直线的方程：
（1）直线过点（-2，1），且与直线平行；
（2）直线过点（-1，2），且与直线垂直.
16.（本小题满分15分）
在空间直角坐标系中，已知点，，.
（1）设，，若与互相垂直，求的值；
（2）若点P在直线上运动，求当的值最小时，P点的坐标.
17.（本小题满分15分）
如图，在长方体中，，，，求：
（1）点到直线的距离；
（2）平面与平面间的距离.
18.（本小题满分17分）
在菱形中，，，将菱形沿着翻折，得到三棱锥如图所示，此时.
（1）求证：平面平面；
（2）若点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）
如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，且.
（1）求证：D，E，F，G四点共面；
（2）在线段上是否存在一点M，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.?
楚雄东兴中学高二秋季第一次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A设直线的倾斜角为，则，所以.故选A.
2.D因为，，所以，故.故选D.
3.C由且，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号.令，得；令，得，所以直线不经过第三象限.故选C.
4.B因为点关于轴的对称点的坐标为，所以点A关于z轴的对称点坐标为（-1，-2，3）.故选B.
5.A因为，所以，
根据空间向量的运算法则，
可得
，
所以.故选A.
6.B易知两直线的斜率存在，当时，则解得，
由推不出，充分性不成立；
当时，可以推出，必要性成立.故选B.
7.C ，，，
设平面的法向量，则即
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.故选C.
8.D因为在正三棱柱中，为的中点，取的中点Q，连接，
如图，
以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
因为是棱上的动点，
设，且，
因为，所以，
于是令，，所以，..
又因为函数在上单调递增，
所以当时，，
即线段长度的最小值为.故选D.
9.AC选项A，由空间向量基本定理可知正确；
选项B，当且时，，故B错误；
选项C，由向量定义可知正确；
选项D，由平面向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误.故选AC.
10.ABD设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b，截距的绝对值相等，
即，则或.
当时，则直线设为，
将代入，解得，
此时直线方程为：，即.故A正确；
当时，则直线设为，即，
将代入，解得，，
此时直线方程为：，
即，故B正确；
当时，则直线设为，即，
将代入，解得，
此时直线方程为：，即，故D正确.故选ABD.
11.ABD建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，，
因为，所以，
所以，，，A正确；
，，
因为，所以，所以，
设平面的一个法向量为，
则即
设，则，
所以点到平面的距离为，B正确；
设，则，所以，
又，所以，
解得，所以直线与所成的角不可能是，C错误；
（，，
由知，
设平面，平面的一个法向量分别为，，
所以
即
分别令，，则，，
设二面角的平面角为，，
则，
解得或，D正确.故选ABD.
12. 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率，
又直线在y轴上的截距为4，即直线过点（0，4），
由点斜式可得直线：，化简得.
13. 以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
因为异面直线与所成的角为60°，
所以，即，解得，
所以该三棱柱的侧面积为.
14. 因为，所以，，
又，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以.
分别取，的中点O，E，
因为，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，所以，
又，以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，
可得平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则平面与平面夹角的余弦值.
15.解：（1）直线与直线平行，可得的斜率.
又过点（-2，1），
由点斜式可得：，即：.
（2）直线与直线垂直，所以直线的斜率，
又过点（-1，2），由点斜式可得：，即：.
16.解：（1）由题意知，
，
所以，
.
又与互相垂直，
所以，
解得.
（2）因为点在直线上移动，所以存在实数使得
所以，，
所以
，
当且仅当时，上式取得最小值，所以点坐标为.
17.解：（1）以点D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
所以点到直线的距离为.
（2）因为，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则即解得
取，得，
由题易得平面平面，
所以平面与平面间的距离即为点到平面的距离.
又，即平面与平面间的距离为.
18.（1）证明：因为四边形是菱形，，所以与均为正三角形，
取的中点O，连结，，则，
因为，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，
以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，，
设为平面的一个法向量，则
令，得，，所以.
，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）证明：因为平面，平面，所以，.
因为四边形是正方形，所以，
所以，，两两垂直，则以点为坐标原点，
以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
根据题意，得，，，.
所以，，.
因为，所以，，共面，
又，，有公共点D，所以D，E，F，G四点共面.
（2）解：，，则，，
设为平面的法向量，则即
令，得平面的一个法向量为.
假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
令，则，
设为平面的法向量，则，即，
令，得平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，则.
化简整理，得，
因为，所以，
所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时.