海南省海口市某校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份海南省海口市某校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．2
3．已知，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．2
4．在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
5．设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为（ ）
A．0.01B．0.1C．1D．10
6．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件“出现3点或4点”，则事件与的关系为（ ）
A．相互独立事件B．相互互斥事件
C．即相互独立又相互互斥事件D．既不互斥又不相互独立事件
7．已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四面体中，，点在上，且为的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减B．在上单调递增
C．在区间上的最大值为3，最小值为D．在上有最大值3，有最小值
10．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为B．
C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量共面
三、填空题
12．已知空间向量，且，则______．
13．已知，其中，则______．
14．如图，三棱锥中，平面，且．若是棱上的点，满足，且，则______．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
16．某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数、平均数和分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
17．已知的三个内角所对的边分别是，且．
（1）求；
（2）若，求外接圆的半径．
18．如图，已知三棱柱中，平面为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
2024年10月校考数学
参考答案
1．C
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【详解】先由补集的定义求出，然后根据交集的定义可得，故选C．
考点：集合交集、并集和补集．
2．C
【难度】0.94
【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】计算出，利用复数模长公式求出答案．
【详解】，故．
故选：C
3．C
【难度】0.94
【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示
【分析】利用两个向量垂直的性质，数量积公式即求得的值．
【详解】向量
若，
则，
．
故选：C．
4．A
【难度】0.94
【知识点】判断线面平行
【分析】根据线线平行证明线面平行．
【详解】A选项：
如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意；
B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；
C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；
D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，
故选：A．
5．C
【难度】0.85
【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果．
【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，所以所求数据方差为
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题．
6．A
【难度】0.85
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断
【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项．
【详解】由于表示“出现的点数为4”，所以事件与不是互斥事件，
由，有，
所以事件与是相互独立事件，不是互斥事件．
故选：A
7．D
【难度】0.85
【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示
【分析】由题意且与不共线，利用向量共线和数量积的坐标运算求解．
【详解】，
当时，有，解得，此时与夹角为，
所以与夹角不可能为，
与夹角为锐角时，有，解得，
则实数的取值范围是．
故选：D．
8．B
【难度】0.65
【知识点】用空间基底表示向量
【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】
因为为中点，所以，
因为在线段上，且，
所以，
所以，
故选：B
9．BD
【难度】0.94
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用
【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果．
【详解】对于选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；
对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为3，无最小值，故C错误；
对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值3，有最小值-2，故D正确；
故选：BD．
10．AC
【难度】0.85
【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示
【分析】根据向量平行，垂直及模长的坐标表示可得解．
【详解】A，B选项：，则，即，A选项正确，B选项错误；
C选项：由已知，又，即，即，C选项正确；
D选项：，解得，D选项错误；
故选：AC．
11．ABD
【难度】0.65
【知识点】判定空间向量共面、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D．
【详解】因为，所以，
可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；
因为，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以C错误；
由向量，可知，向量与向量共面，所以D正确．
故选：ABD
12．
【难度】0.85
【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示及模长公式计算即可．
【详解】由题意可知，所以．
故答案为：．
13．1
【难度】0.85
【知识点】诱导公式二、三、四、坐标计算向量的模
【分析】结合诱导公式及向量的平方等于模的平方即可求．
【详解】，
则．
故答案为：1
14．
【难度】0.85
【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间位置关系的向量证明
【分析】证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，设，从而由垂直关系得到方程，求出的值．
【详解】因为平面平面，
所以，又，
故两两垂直，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，
平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
故，
因为，所以，
因为，
所以，
解得，负值舍去．
故答案为：
15．（1）；
（2）最小正周期为，递增区间为．
【难度】0.85
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、求型三角函数的单调性
【分析】（1）利用倍角公式化简函数式，将自变量代入求值即可；
（2）根据（1）所得解析式及正弦型函数性质求周期，整体法求递增区间即可．
【详解】（1）由与，
得，
所以；
（2）的最小正周期是
由，解得，
所以的单调递增区间是．
16．（1）
（2）众数为70，平均数为分位数为71.7
（3）
【难度】0.85
【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计
【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求的值；
（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；
（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题．
【详解】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
（2）众数为70，
平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为．
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，
则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为A，
则从这5人中选出2人，有共10种结果，
两人来自不同组有共4种结果，
所以两人来自不同组的概率为．
17．（1） （2）2
【难度】0.85
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理求外接圆半径、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据题意由三角恒等变换化简即可得，所以；
（2）利用余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圆半径．
【详解】（1）由题意得，
又，
，
化简得，
又，
（2）在中由余弦定理得，
，
设的外接圆半径为，故，
∴外接圆的半径为2．
18．（1）证明见解析 （2）
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行判断．
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦．
【详解】（1）平面，
又平面，
为的中点，，
又平面，
平面．
（2）以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设平面的一个法向量为，
则即，令，则．
由（1）知是平面的一个法向量，
．
平面与平面所成角的余弦值为．
19．（1）证明见解析 （2）
（3）存在；的长为或
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量、面面角的向量求法
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角；
（3）假设棱PB存在一点F使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可．
【详解】（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以平面平面，
所以平面；
（2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
（3）由（2）知，
，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或，
故当时，；当时，
则的长为或．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
C
A
C
A
D
B
BD
AC
ABD