北京市第十二中学2024-2025学年高二上学期10月练习数学试题(无答案)

这是一份北京市第十二中学2024-2025学年高二上学期10月练习数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了10等内容，欢迎下载使用。

2024.10
本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回．
第一部分 选择题（共60分）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．过两点的直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线经过点，平面的一个法向量为，则（ ）
A．B．C．D．与相交，但不垂直
3．如图，平行六面体为的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
4．设点在平面上的射影为，则等于（ ）
A．B．5C．D．
5．在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（ ）
①若，则；②若三个向量两两共面，则向量共面；
③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知向量，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分B．充分而不必要C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，若四点共面，则（ ）
A．9B．C．D．3
8．设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图①），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图③所示的几何体、若图③中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是（ ）
A．B．C．D．
10．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如上图，已知正八面体的棱长为分别为棱的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．在棱长为1的正方体中，点和分别是正方形和的中心，点为正方体表面上及内部的点，若点满足，其中，且，则满足条件的所有点构成的图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
12．菱形的边长为为的中点，将（如图1）沿直线翻折至处（如图2），连接，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．已知向量，且，则______．
14．已知为空间两两垂直的单位向量，且，则______．
15．已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．
16．已知直线的斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是______．
17．长方体中，分别是棱的中点，是该长方体的面内的一个动点（不包括边界），若直线与平面平行，则的最小值为______．
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）．给出下列四个结论：
①直线与所成角的大小为；
②；
③的最小值为；
④若，则点的轨迹所围成图形的面积是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（本小题10分）已知空间中三点，设．
（1）求；
（2）求向量与向量夹角的大小．
20．（本小题12分）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点．设．
（1）用表示，并求的值；
（2）求的值．
21．（本小题12分）如图，正方体棱长为2，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
23．（本小题12分）设是元集合的子集，集合元素的个数记为，若集合组同时满足以下2个条件，则称集合组具有性质：
①为奇数，其中；②为偶数，其中．
（1）当时，集合组具有性质P，求的最大值，并写出相应集合组；
（2）当时，集合组具有性质P，求的最大值；
（3）是元集合的子集，若集合组具有性质P，求的最大值．