人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义优秀综合训练题

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一、选择题
1．函数f (x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．4
B [由已知得：eq \f(m2－1－12－1,m－1)＝3，∵m－1≠0，∴m＋1＝3，∴m＝2.]
2．已知一直线运动的物体，当时间从t变到t＋Δt时物体的位移为Δs，那么eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)为( )
A．时间从t变到t＋Δt时物体的速度
B．在t时刻该物体的瞬时速度
C．当时间为Δt时物体的速度
D．时间从t变到t＋Δt时物体的平均速度
B
[eq \f(Δs,Δt)表示从时间t到t＋Δt时物体的平均速度，从而eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)表示在t时刻该物体的瞬时速度．选B.]
3．若函数f (x)在x0处有定义，则eq \(lim,\s\DO6(h→0)) eq \f(fx0＋h－fx0,h)的结果( )
A．与x0，h均无关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h均有关
B [根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x0有关，而与h没有关系．]
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝eq \f(1,x)中，平均变化率最大的是( )
A．④ B．③ C．② D．①
B [Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝eq \f(1,x)在x＝1附近的平均变化率k4＝－eq \f(1,1＋Δx)＝－eq \f(10,13).∴k3＞k2＞k1＞k4，故应选B.]
5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( )
A．800 m/sB．600 m/s
C．200 m/sD．400 m/s
A [位移公式为s＝eq \f(1,2)at2，∵Δs＝eq \f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq \f(1,2)ateq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))＝at0Δt＋eq \f(1,2)a(Δt)2，∴eq \f(Δs,Δt)＝at0＋eq \f(1,2)aΔt，
∴eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d6(Δt→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(at0＋\f(1,2)aΔt))＝at0，已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，∴at0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.]
二、填空题
6．已知函数y＝eq \f(2,x)＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
eq \f(1,3) [Δy＝f (1.5)－f (2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1.5)＋3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)＋3))＝eq \f(4,3)－1＝eq \f(1,3).]
7．已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \x\t(v1)，eq \x\t(v2)，eq \x\t(v3)，则三者的大小关系为________．(由大到小排列)
eq \x\t(v3)＞eq \x\t(v2)＞eq \x\t(v1) [∵eq \x\t(v1)＝eq \f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq \x\t(v2)＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，
eq \x\t(v3)＝eq \f(st3－st2,t3－t2)＝kBC.又∵由图象得kOA＜kAB＜kBC∴eq \x\t(v3)＞eq \x\t(v2)＞eq \x\t(v1).]
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
2 [物体的速度为v＝s′(t)，∴s′(t)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(st＋Δt－st,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(2t＋Δt－3t＋Δt2－2t＋3t2,Δt)
＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(2Δt－6tΔt－3Δt2,Δt)＝2－6t.即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.]
三、解答题
9．若函数f (x)＝ax2＋c，且f ′(1)＝2，求a的值．
[解] ∵f (1＋Δx)－f (1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f ′(1)＝eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) eq \f(aΔx2＋2aΔx,Δx)＝eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10．若一物体的运动时间t(单位：s)与位移s(单位：m)的函数关系式为s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3t2＋2， 0≤t＜3，,29＋3t－32，t≥3，))求此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度．
[解] 当t＝1时，s＝3t2＋2，
∴v＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(31＋Δt2＋2－3×12＋2,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) (6＋3Δt)＝6.
当t＝5时，s＝29＋3(t－3)2，
∴v＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(29＋3Δt＋22－29－3×22,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) (3Δt＋12)＝12.
故此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度分别是6 m/s和12 m/s.
11．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是（ ）
A．此物体的初速度是3 m/s
B．此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反
C．t＝0到t＝2时平均速度1 m/s
D．t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s
ABC [A中，初速度v0＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq \(lim,\s\d6(Δt→0)) eq \f(3Δt－Δt2,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.即A正确；
B中，v＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(32＋Δt－2＋Δt2－3×2－4,Δt)
＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) eq \f(－Δt2－Δt,Δt)＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) (－Δt－1)＝－1(m/s)．即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，
方向与初速度相反．即B正确．
C中，eq \x\t(v)＝eq \f(s2－s0,2－0)＝eq \f(6－4－0,2)＝1(m/s)．即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.即C正确．
D中，v＝eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) eq \f(33＋Δx－3＋Δx2－3×3－32,Δx)＝eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) (－3－Δx)＝－3.故D错误，故应选ABC.]
12．已知函数f (x)在x0处的导数为1，则eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)等于( )
A．2B．－2
C．1D．－1
A [eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝2eq \(lim,\s\DO6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝2f ′(x0)＝2×1＝2，故选A.]
13．(一题两空)一质点按照运动规律s＝2t2－t运动，其中s表示位移，t表示时间，则质点在[2，2＋Δt]这段时间内的平均速度是________，在t＝2时的瞬时速度是________．
7＋2Δt 7
[eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(22＋Δt2－2＋Δt－2×22－2,Δt)＝eq \f(2Δt2＋7Δt,Δt)＝7＋2Δt，v＝eq \(lim,\s\DO6(Δt→0)) (7＋2Δt)＝7.]
14．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(1,10)t))eq \s\UP10(3) (H为常数)其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为eq \x\t(v)(m3/h)．那么t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于eq \x\t(v)(m3/h)的时刻是图中的________．
t3 [eq \x\t(V)＝eq \f(V100－V0,100－0)，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)与平均速度一致．]
15．试比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝eq \f(π,2)附近的平均变化率哪一个大．
[解] 当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝eq \f(sin Δx－sin 0,Δx)＝eq \f(sin Δx,Δx).
当自变量从eq \f(π,2)变到Δx＋eq \f(π,2)时，函数的平均变化率为k2＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq \f(cs Δx－1,Δx).
由于是在x＝0和x＝eq \f(π,2)附近的平均变化率，故可知Δx较小，但Δx即可为正，又可为负．
当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，即k1＞k2；
当Δx＜0时，k1－k2＝eq \f(sin Δx,Δx)－eq \f(cs Δx－1,Δx)＝eq \f(sin Δx－cs Δx＋1,Δx)＝eq \f(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx－\f(π,4)))＋1,Δx).
∵Δx＜0，∴Δx－eq \f(π,4)＜－eq \f(π,4)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx－\f(π,4)))＜－eq \f(\r(2),2)，从而有eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx－\f(π,4)))＜－1，
eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Δx－\f(π,4)))＋1＜0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.
综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝eq \f(π,2)附近的平均变化率．
导数的概念及其几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直
B [由导数的几何意义可知选项B正确．]
2．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝1，则f ′(x0)＝( )
A．2 B．1 C．eq \f(1,2) D．0
C [∵eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝1∴eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝eq \f(1,2)，
即f (x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)＝eq \f(1,2).故选C.]
3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3D．y＝－2x－2
B [由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )
A．(1，1)B．(－1，1)
C．(1，1)或(－1，－1)D．(2，8)或(－2，－8)
C [因为y＝x3，所以y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C.]
5．如图，函数y＝f (x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f (2)＋f ′(2)等于( )
A．－4B．3
C．－2D．1
D [直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1，即x＋y－4＝0.又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1，
∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.]
二、填空题
6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq \f(b,a)＝________.
2 [∵f ′(1)＝2，又eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (aΔx＋2a)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴eq \f(b,a)＝2.]
7．(一题两空)已知f (x)＝mx2＋n，且f (1)＝－1，f (x)的导函数f ′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.
2 －3 [eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \f(mx＋Δx2＋n－mx2＋n,Δx)＝mΔx＋2mx，
故f ′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.所以m＝2.
又f (1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.]
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
(0，0)
[设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(x0＋Δx2＋2x0＋Δx－x\\al(\s\up1(2),\s\d1(0))－2x0,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．]
三、解答题
9．若曲线y＝f (x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为eq \f(1,6)，求a的值．
[解] ∵f ′(a)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(a＋Δx3－a3,Δx)＝3a2，
∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，0)).
∴三角形的面积为eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)a))·|a3|＝eq \f(1,6)，得a＝±1.
10．在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线：
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
分别求出满足上述条件的点的坐标．
[解] 设y＝f (x)，则f ′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.
设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝4，即P(2，4)．
(2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为eq \f(1,3)，
所以2x0·eq \f(1,3)＝－1，解得x0＝－eq \f(3,2)，所以y0＝eq \f(9,4)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,4))).
(3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，
即2x0＝－1，解得x0＝－eq \f(1,2)，所以y0＝eq \f(1,4)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4))).
11．(多选题)过点(2，0)作曲线f (x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为( )
A．y＝0B．x＝0
C．12x－y－24＝0D．27x－y－54＝0
AD [∵f (x)＝x3，设切点(x0，xeq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0)))．则k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))[3xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))，
∴在x＝x0处的切线方程为y－xeq \\al(\s\up1(3),\s\d1(0))＝3xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))(x－x0)，把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.故选AD]
12．已知函数f (x)的图象如图所示，f ′(x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0B．0C．0D．0B [由函数的图象可知函数f (x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f ′(2)>f ′(3)．记A(2，f (2))，B(3，f (3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝eq \f(f3－f2,3－2)＝f (3)－f (2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f ′(2)>f (3)－f (2)>f ′(3)>0.故选B.]
13．(一题两空)已知曲线y＝f (x)＝eq \r(x)，y＝g(x)＝eq \f(1,x)，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f (x)在交点处的切线方程为________．
(1，1) x－2y＋1＝0 [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(x)，,y＝\f(1,x)))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
由f (x)＝eq \r(x)，得f ′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2)，
∴y＝f (x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.]
14．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则eq \f(f1,f′0)的最小值为________．
2
[由导数的定义，得f ′(0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(fΔx－f0,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) (a·Δx＋b)＝b.
因为对于任意实数x，有f (x)≥0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝b2－4ac≤0，,a＞0，))所以ac≥eq \f(b2,4)，所以c＞0，
所以eq \f(f1,f′0)＝eq \f(a＋b＋c,b)≥eq \f(b＋2\r(ac),b)≥eq \f(2b,b)＝2.]
15．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解] ∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)
＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)
＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴eq \f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f ′(x)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,3)))eq \s\UP10(2)－9－eq \f(a2,3)≥－9－eq \f(a2,3).
由题意知f ′(x)的最小值是－12，
∴－9－eq \f(a2,3)＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.