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    新高考数学专题复习专题17情境问题的探究之数列部分专题练习(学生版+解析)

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    这是一份新高考数学专题复习专题17情境问题的探究之数列部分专题练习(学生版+解析),共11页。试卷主要包含了题型选讲,数列的基本量问题等内容,欢迎下载使用。

    题型一 、数列额递推关系
    例1、(2020年西安三模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一“.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数,若a1=1.且an=,则解下5个环所需的最少移动次数为( )
    A.7B.13C.16D.22
    例2、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
    A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块
    例3、6、十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间均分为三段,去掉中间的区间段,记为第一次操作;再将剩下的两个区间,分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为
    (参考数据:,)
    A.4B.5C.6D.7
    例4、(2020年江苏南京雨花区期中模拟)九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环有九个相互连接的环组成,这九个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来,规则如下:如果要解下(或安上)第n号环,则第(n﹣1)号环必须解下(或安上),n﹣1往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为an,已知a1=1,a2=2,an=an﹣1+2an﹣2+1(n≥3),则解六连环最少需要移动圆环步数为( )
    A.42B.85C.256D.341
    题型二、数列的基本量问题
    例5、(2019·湖南衡阳市八中高三月考(理))公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米……,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为( )
    A.B.C.D.
    例6、(2020届山东省泰安市高三上期末)我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气唇(guǐ)长损益相同(暑是按照日影测定时刻的仪器,暑长即为所测量影子的长度),夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气,其日影子长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺,这十二节气的所有日影子长之和为84尺,则夏至的日影子长为________尺.
    例7、(2020•衡水模拟)有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?“在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为( )
    A.35B.75C.155D.315
    二、达标训练
    1、(2020届山东实验中学高三上期中)古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,己知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件,若要使织布的总尺数不少于30尺,则至少需要( )
    A.6天B.7天C.8天D.9天
    2、(2021年江苏徐州模拟)“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法,天干地支简称“干支”,天干指:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.如,农历1861年为辛酉年,农历1862年为壬戌年,农历1863年为癸亥年,则农历2068年为( )
    A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年
    3、(2020•广东四模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9=( )
    A.46B.69C.92D.138
    4、(2021年山东开学初模拟)《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,问立夏日影长为( )
    A.七尺五寸B.六尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
    5、(2021年山东开学初模拟)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题,现将1到1009这1009个数中,能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则该数列共有( )
    A. 100项B. 101项C. 102项D. 103项
    专题17 情境问题的探究之数列部分
    一、题型选讲
    题型一 、数列额递推关系
    例1、(2020年西安三模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载:“两环互相贯为一,得其关捩,解之为二,又合面为一“.在某种玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N*)个圆环所需的移动最少次数,若a1=1.且an=,则解下5个环所需的最少移动次数为( )
    A.7B.13C.16D.22
    【答案】C
    【解析】由于a1=1,所以a2=2a1﹣1=1,a3=2a2+2=4,a4=2a3﹣1=7,a5=2a4+2=16.
    故选:C.
    例2、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)
    A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块
    【答案】C
    【解析】设第n环天石心块数为,第一层共有n环,
    则是以9为首项,9为公差的等差数列,,
    设为的前n项和,则第一层、第二层、第三层的块数分
    别为,因为下层比中层多729块,
    所以,

    即,解得,
    所以.
    故选:C
    例3、6、十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间均分为三段,去掉中间的区间段,记为第一次操作;再将剩下的两个区间,分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为
    (参考数据:,)
    A.4B.5C.6D.7
    【答案】C
    【解析】第一次操作去掉的区间长度为
    第二次操作去掉两个长度为的区间,长度和为
    第三次操作去掉四个长度为的区间,长度和为
    --------
    第n次操作去掉个长度为的区间,长度和为
    所以最小值为6
    例4、(2020年江苏南京雨花区期中模拟)九连环是中国最杰出的益智游戏.九连环有九个相互连接的环组成,这九个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来,规则如下:如果要解下(或安上)第n号环,则第(n﹣1)号环必须解下(或安上),n﹣1往前的都要解下(或安上)才能实现.记解下n连环所需的最少移动步数为an,已知a1=1,a2=2,an=an﹣1+2an﹣2+1(n≥3),则解六连环最少需要移动圆环步数为( )
    A.42B.85C.256D.341
    【答案】A
    【解析】:由题意可得:a3=a2+2a1+1=2+2+1=5,a4=a3+2a2+1=5+4+1=10,
    a5=a4+2a3+1=10+10+1=21,a6=a5+2a4+1=21+20+1=42.
    故选:A.
    题型二、数列的基本量问题
    例5、(2019·湖南衡阳市八中高三月考(理))公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米……,所以,阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】根据条件,乌龟每次爬行的距离构成等比数列,公比为
    当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时,乌龟爬行的总距离为
    故选
    例6、(2020届山东省泰安市高三上期末)我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气唇(guǐ)长损益相同(暑是按照日影测定时刻的仪器,暑长即为所测量影子的长度),夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气,其日影子长依次成等差数列,经记录测算,夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺,这十二节气的所有日影子长之和为84尺,则夏至的日影子长为________尺.
    【答案】1.5
    【解析】设此等差数列的公差为,
    由题意即解得
    所以夏至的日影子长为
    故答案为:
    例7、(2020•衡水模拟)有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?“在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为( )
    A.35B.75C.155D.315
    【答案】C
    【解析】:由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,
    所以a1=5,q=2,
    ∴前5天所屠肉的总两数为:

    故选:C.
    二、达标训练
    1、(2020届山东实验中学高三上期中)古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,己知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件,若要使织布的总尺数不少于30尺,则至少需要( )
    A.6天B.7天C.8天D.9天
    【答案】C
    【解析】设该女子第一天织布尺,
    则,
    解得,
    前天织布的尺数为:,
    由,得,
    解得的最小值为8.
    故选:.
    2、(2021年江苏徐州模拟)“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法,天干地支简称“干支”,天干指:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.如,农历1861年为辛酉年,农历1862年为壬戌年,农历1863年为癸亥年,则农历2068年为( )
    A.丁亥年B.丁丑年C.戊寅年D.戊子年
    【答案】.D
    【解析】:记a1=辛,b1=酉(1861);a2=壬,b2=戌(1862);a3=癸,b3=亥(1863),
    由题意可知数列{an},{bn}的最小正周期分别为10和12,
    故a208=a8=戊,b208=b4=子(2068),
    故选:D.
    3、(2020•广东四模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9=( )
    A.46B.69C.92D.138
    【答案】.B
    【解析】根据题意,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则数列{an}为等差数列,
    又由S9=207,即S9==9a5=207,变形可得a5=23,
    a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9=a4+a5+a6=3a5=69;
    故选:B.
    4、(2021年山东开学初模拟)《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺,前七个节气日影之和为七丈三尺五寸,问立夏日影长为( )
    A.七尺五寸B.六尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸
    【答案】.D.
    【解析】:从冬至日起,日影长构成数列{an},则数列{an}是等差数列,
    则a5+a6+a7+a8=32,S7=73.5,
    所以
    解可得,a1=,d=﹣1.
    故a10==4.5.
    故选:D.
    5、(2021年山东开学初模拟)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题,现将1到1009这1009个数中,能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则该数列共有( )
    A. 100项B. 101项C. 102项D. 103项
    【答案】B
    【解析】因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1,
    所以按从小到大的顺序排成一列可得,
    由,得,故此数列的项数为101.
    故选:B.
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