高考数学母题题源解密(全国通用)专题08平面向量专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题08平面向量专题练习(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了平面向量数量积，平面向量的坐标运算等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】11
【试题解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．故答案为：．
【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，多为低档题，是历年高考的必考题型．
常见的命题角度有：
（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量数量积；（4）平面向量坐标运算.
【得分要点】
（1）确定两个平面向量的夹角；
（2）掌握平面向量的数量积公式；
（3）利用平面向量的数量积的几何意义及数形结合，巧妙解题.
考向二 平面向量的坐标运算
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】已知向量，则（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【试题解析】因为，所以.故选：D
【命题意图】利用平面向量坐标运算公式求值.
【命题方向】这类试题在通常以选择题、填空题的形式考查，属于低档题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
平面向量模的坐标运算；（2）平面向量数量积的坐标公式；（3）平面向量平行垂直的坐标表示.
【得分要点】
熟练平面向量坐标表示；
利用平面向量坐标运算求值；
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河南南阳·高一期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．且
4．（湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－B．C．－6D．6
5．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．－1B．C．－2D．1
6．（2022·广西贺州·高一期末）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
9．（山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2022·全国·模拟预测）已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为___________.
12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是____________．
13．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．
14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知O为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则最小值是________.
15．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
16．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .
专题08 平面向量
考向一 平面向量数量积
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】11
【试题解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．故答案为：．
【命题意图】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，多为低档题，是历年高考的必考题型．
常见的命题角度有：
（1）平面向量概念；（2）平面向量的基本定理；（3）平面向量数量积；（4）平面向量坐标运算.
【得分要点】
（1）确定两个平面向量的夹角；
（2）掌握平面向量的数量积公式；
（3）利用平面向量的数量积的几何意义及数形结合，巧妙解题.
考向二 平面向量的坐标运算
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】已知向量，则（ ）
A 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【试题解析】因为，所以.故选：D
【命题意图】利用平面向量坐标运算公式求值.
【命题方向】这类试题在通常以选择题、填空题的形式考查，属于低档题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
平面向量模的坐标运算；（2）平面向量数量积的坐标公式；（3）平面向量平行垂直的坐标表示.
【得分要点】
熟练平面向量坐标表示；
利用平面向量坐标运算求值；
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量数量积和向量相等去判断二者之间的逻辑关系即可.
【详解】
若，则，则或时，故充分性不成立；
若，则，，故必要性成立，
故“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
2．（2022·河南南阳·高一期末）已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示求出，再根据即可得解.
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，
又因为是与同向的单位向量，所以.
故选：D.
3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）设，都是非零向量，成立的充分条件是（ ）
A．B．
C．D．且
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，利用、上的单位向量相等的条件，得出结论．
【详解】
解：因为表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
所以要使成立，即、方向上的单位向量相等，则必需保证、的方向相同，
故成立的充分条件可以是；
故选：B．
4．（湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．－B．C．－6D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共线定理，列方程求即可.
【详解】
因为A，B，C三点共线，所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，所以，所以，
故选：C.
5．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．－1B．C．－2D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据数量积的运算求解即可
【详解】
故选：A
6．（2022·广西贺州·高一期末）如图，在中，D为BC的中点，点E在AD上，且，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：在中，为的中点，所以，
又，所以，
所以；
故选：C
7．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知即可求m的值.
【详解】
由题意，
又与的夹角为且为单位向量，
所以，可得.
故选：A
8．（山西省大同市2023届高三上学期第一次学情调研数学试题）在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．12
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．
【详解】
解：，
，
三点共线，，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值是12.
故选：D．
9．（山东省青岛市2021-2022学年高一下学期期末数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.
【详解】
，
由题意得：且，解得：且，
故选：D
10．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得，再分析求解即可.
【详解】
如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，
所以为三角形的重心，所以.
故选：B.
二、填空题
11．（2022·全国·模拟预测）已知非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为___________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】
利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.
【详解】
由题意得，所以，
所以.
故答案为：
12．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知，则向量的范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出，利用向量数量积运算法则得到，利用求出取值范围.
【详解】
设，
所以①,
一方面，，
当且仅当与同向，与同向时取得最大值，
另一方面，，
其中，当且仅当与反向时取得最小值．
故．
故答案为：
13．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】
因为，，所以，
又，所以，解得．
故答案为：
14．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知O为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则最小值是________.
【答案】##
【解析】
【分析】
先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合求出的取值范围.
【详解】
作不等式组对应的平面区域如下：
，设，
如图直线过点时，直线在轴上的截距最小，
所以当时取最小值，最小值为，
所以最小值为，
15．（2022·全国·模拟预测（文））在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后根据三点共线得出，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
如图，结合题意绘出图象，
因为，为边的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即、时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
16．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6 的可移动的线段，，， ，则的取值范围为 ________________ .
【答案】
【解析】
【分析】
首先在上取一点，使得，取的中点，连接，，根据题意得到，再根据的最值求解即可.
【详解】
在上取一点，使得，取的中点，连接，，
如图所示：
则，，，
，即.
，
当时，取得最小值，此时，
所以.
当与重合时，，，
则，
当与重合时，，，
则，
所以，即的取值范围为.
故答案为：