高考数学母题题源解密(全国通用)专题12三角函数专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题12三角函数专题练习(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了三角函数的图像，三角函数的性质等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国I卷
【母题题文】 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【试题解析】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题.
常见题型：
平移变换、辅助角公式、诱导公式.
【得分要点】
利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简；
利用三角函数的一些性质解题.
考向二 三角函数的性质
【母题来源】2022年高考北京卷
【母题题文】 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递增
C. 在上单调递减D. 在上单调递增
【答案】C
【试题解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等；
【得分要点】
利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简；
利用三角函数的一些性质解题.
一、单选题
1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则表达式（ ）
A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．1B．C．D．2
4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若，则＝（ ）
A．－B．C．－D．
5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·上海闵行·二模）“角的终边关于轴对称”是“"的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条许D．既不充分也不必要各件
7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在区间单调递减
C．在区间上的最大值为2D．为偶函数，则
8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数的图像，则函数可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
二、填空题
11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知，则_________．
12．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为的函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的一个对称中心为___________
13．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．
14．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数给出下列四个结论：
①f(x)的值域是；
②f(x)在上单调递减：
③f(x)是周期为的周期函数
④将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图象
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题
15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
(1)求的最小正周期及的值； (2)若，求A的值．
16．（2022·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
专题12 三角函数
考向一 三角函数的图像
【母题来源】2022年高考全国I卷
【母题题文】 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【试题解析】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题．
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题.
常见题型：
平移变换、辅助角公式、诱导公式.
【得分要点】
利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简；
利用三角函数的一些性质解题.
考向二 三角函数的性质
【母题来源】2022年高考北京卷
【母题题文】 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 在上单调递增
C. 在上单调递减D. 在上单调递增
【答案】C
【试题解析】因为.
对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；
对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；
对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.
故选：C.
【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性.
【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等；
【得分要点】
利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简；
利用三角函数的一些性质解题.
一、单选题
1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的周期计算公式即可求解.
【详解】
由，∴.故选：A.
2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，则表达式（ ）
A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值
【答案】D
【解析】
【分析】
结合余弦函数，可分别得到，，的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断.
【详解】
由，，易知.
同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号.
补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值，从而该式无最值.
①取，（），则.
对任意，由抽屉原理，存在，使得.
再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）.
则时，，从而，，即证.
②取，（），则.
对任意，由抽屉原理，存在，使得.
再考虑，使得（不取等的理由同上）.
则时，，从而，，即证.
故选：D
【点睛】
易错点点睛：，，均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数（a，b，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
整理，且，由图中最值可得，利用相邻对称轴的距离求得，根据对称轴求得，进而可得，即，即可求解.
【详解】
由题，，，
由图可知，，，所以，，
又，所以，则，
因为对称轴为，所以，，则，
所以，即，
所以，
故选：B
4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若，则＝（ ）
A．－B．C．－D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.
【详解】
依题意，，所以.
故选：C
5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数的最小正周期为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.
【详解】
，
所以，函数的最小正周期为.
故选：A.
6．（2022·上海闵行·二模）“角的终边关于轴对称”是“"的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条许D．既不充分也不必要各件
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案.
【详解】
由角的终边关于轴对称，则，可知，即成立，充分性成立；
当时，角的终边关于轴对称或，
所以“角的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件，
故选：B.
7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数，直线为图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在区间单调递减
C．在区间上的最大值为2D．为偶函数，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得，由可求得，可判断A选项，由此有；对于B，由得，由正弦函数的单调性可判断；对于C，由得，由此得在区间上的最大值为；对于D，，由，解得.
【详解】
解：因为函数，直线为图象的一条对称轴，
所以，所以，
又，所以，故A不正确；
所以，
对于B，当时，，所以在区间单调递增，故B不正确；
对于C，当时，，在区间上的最大值为，故C不正确；
对于D，若为偶函数，且，
所以，解得，故D正确，
故选：D.
8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可.
【详解】
函数，
由函数f(x)在上单调递减，且，
得，，解，.
又因为ω>0，，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是.
故选：B
9．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数的图像，则函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可.
【详解】
由图可知：是非奇非偶函数，且在y轴右侧，先正后负．
若，则，所以函数为偶函数，
与条件矛盾，A错，
若，则，所以函数为奇函数，与条件矛盾，B错，
若，则，
当时，，与所给函数图象不一致，D错，
若，则，
当时，，
又， ，所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，
故选：C．
10．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形，沿对折使得点与边上的点重合，则的长度可以用含的式子表示，那么长度的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，由三角比的定义可得，，继而求得，令和，求导可得的最大值为：，继而求得长度的最小值.
【详解】
设，，，，则，则有和，
代入，解得：，
令和，
导函数，即可得的最大值在时取得，
此时，求得此时，
故选：D.
二、填空题
11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用同角间的三角函数关系，把待求式化为关于的式子，然后代入已知计算．
【详解】
．
故答案为：．
12．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为的函数的图像向左平移个单位长度，得到的图像，则函数的一个对称中心为___________
【答案】，不唯一
【解析】
【分析】
根据最小正周期求出 ，再根据函数平移规则即可求出 的解析式.
【详解】
由题意， ， ，即 ，
向左平移 得 ，
，
令 ，∴ 的一个对称中心为 ；
故答案为： .
13．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数，且方程在内有实数根，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得在内有实数根，a的取值范围即为函数的值域.
【详解】
，
方程在内有实数根，即在内有实数根，
，，得，即a的取值范围是，
故答案为：
14．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数给出下列四个结论：
①f(x)的值域是；
②f(x)在上单调递减：
③f(x)是周期为的周期函数
④将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得一个奇函数的图象
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】②③
【解析】
【分析】
先将化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可
【详解】




所以的值域为 ，故①错误；
令 ，
当时，的一个单调递减区间为，故②正确；
的周期 ,故③正确
的图像向左平移个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为 ，是偶函数，故④错误
故答案为：②③
三、解答题
15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数（其中）部分图象如图所示，是该图象的最高点，M，N是图象与x轴的交点．
(1)求的最小正周期及的值； (2)若，求A的值．
【答案】(1)2；；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用的解析式求出周期，再由给定的最高点P求出作答.
（2）由（1）求出点M，N的坐标，结合图形求出和的正切，再利用和角公式计算作答.
(1)函数的最小正周期，
因是函数图象的最高点，则，而，有，，
所以函数的最小正周期为2，.
(2)由（1）知，，由得，即点，由得，即点，
于是得，，而，
则，又，解得，
所以.
16．（2022·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
【答案】(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【解析】
【分析】
（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
(1)
矩形中，km，km，
，，
则，
则
(2)令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km