高考数学母题题源解密(全国通用)专题13解三角形专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题13解三角形专题练习(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了正余弦定理及三角形面积公式，正余弦定理的综合应用等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考北京卷
【母题题文】 在中，．
（1）求； （2）若，且的面积为，求的周长．
【试题解析】【小问1详解】
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
【小问2详解】
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等.
【得分要点】
一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；
应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；
注意边或角的限制范围.
考向二 正余弦定理的综合应用
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C； （2）证明：
【试题解析】【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【命题意图】本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式.
【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）正弦定理及其变形；（2）余弦定理及其变形；（3）三角形面积公式；（4）正余弦定理的综合应用.
【得分要点】
（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；
（2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；
（3）注意边或角的限制范围.
一、单选题
1．（北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在中，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．3D．
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（ ）
A．B．5C．8D．
4．（2022·甘肃白银·三模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2022·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为_____________．
10．（2022·全国·模拟预测（文））若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，，且，则________．
11．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为__________.
三、解答题
13．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设，.
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求面积的最大值.
14．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角的值； (2)若，求的面积.
15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
16．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
专题13 解三角形
考向一 正余弦定理及三角形面积公式
【母题来源】2022年高考北京卷
【母题题文】 在中，．
（1）求； （2）若，且的面积为，求的周长．
【试题解析】【小问1详解】
解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
【小问2详解】
解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
【命题意图】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，重点考查正余弦定理、三角恒等变形及三角形面积公式等.
【得分要点】
一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；
应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；
注意边或角的限制范围.
考向二 正余弦定理的综合应用
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C； （2）证明：
【试题解析】【小问1详解】
由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
【小问2详解】
由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
【命题意图】本题考查三角形内角和定理及两角差的正弦公式.
【命题方向】这类试题在考查题型多以解答题形式出现，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）正弦定理及其变形；（2）余弦定理及其变形；（3）三角形面积公式；（4）正余弦定理的综合应用.
【得分要点】
（1）一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；
（2）应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用；
（3）注意边或角的限制范围.
一、单选题
1．（北京市西城区2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题）在中，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围.
【详解】
由，故.
故选：A
2．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得B的余弦值，再根据余弦定理可求得b的值.
【详解】
，∴，
∴.
故选：A.
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（ ）
A．B．5C．8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案
【详解】
由题意可知， ，得
，
由余弦定理可得：
整理得： ，
故选：A
4．（2022·甘肃白银·三模（文））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理可求得，再根据三角形的面积公式，即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，所以，
所以的面积为.
故选：C.
5．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））在△ABC中，“”是“△ABC是锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由不能得到是锐角三角形，但是锐角三角形,则，根据必要不充分条件的定义，即可求解.
【详解】
由正弦定理可知，，
不能得到是锐角三角形,但是锐角三角形,则.
故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件，
故选:B．
6．（2022·江西·赣州市第三中学模拟预测（理））已知三边a，b，c及对角A，B，C，周长为5，且满足，若，则的面积（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理化边为角，得出，结合已知求出，然后求出等腰三角形底边上的高，由面积公式计算面积．
【详解】
因为，由正弦定理得，所以（舍去），
三角形周长为5，，则，，
由等腰三角形性质知边上的高为，
所以三角形面积为．
故选：A．
7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.
【详解】
因为为锐角三角形，，设边上的高为，
所以，解得
由正弦定理可得，，
所以，，，因为，
所以
因为，所以，所以，
所以，所以高的取值范围为.
故选：C.
8．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.
【详解】
连接FD，并延长交AB于M点，如图，
因为在中，
所以；又因为在中，
所以，所以，
所以，即，
故选：A．
二、填空题
9．（2022·浙江湖州·模拟预测）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为_____________．
【答案】．
【解析】
【分析】
将三边长分别代入公式即可求解.
【详解】
解：由题意得
故答案为：
10．（2022·全国·模拟预测（文））若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，，且，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出或，即得解.
【详解】
解：由正弦定理及，可得，因为，
所以，又，
所以，所以或，
所以或．
故答案为：或
11．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理角化边，即可得到，从而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】
解：因为，即，由正弦定理可得，
又，即，即，
由余弦定理，即，
所以，
所以；
故答案为：
12．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得，进而可得，即得.
【详解】
，则，
由正弦定理，得，故，
展开化简得：，，，
故，，即，
∴外接圆直径，故外接圆半径为.故答案为：.
三、解答题
13．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设，.
(1)求的单调递增区间；
(2)在锐角中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求面积的最大值.
【答案】(1)和
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合与正弦函数的单调性令或，求解即可；
（2）结合锐角三角形及可得，利用余弦定理可得，再根据基本不等式求得的范围，进而由三角形面积公式求解.
(1)由题意，，
因为，所以，
由正弦函数的单调性可知，当或，
即或时，函数递增，
所以的单调递增区间是和.
(2)由题意，，所以，
因为锐角，则，故，
由余弦定理，，故，
由基本不等式，，故，当b=c时等号成立
因此，，当时，面积取得最大值.
14．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角的值； (2)若，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和结合二倍角公式可得出答案.
（2）由正弦定理可得，再由余弦定理代入可求出的值，最后由三角形的面积公式可求出答案.
(1)由得: ，
解得：或.
又因为，所以，则.
(2)由正弦定理及已知条件可得，，即，
由余弦定理：，
得：，
所以，所以，
所以.
15．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的值；
(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.
【答案】(1) (2)6或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．
(1)∵，则
∵
∴，即
∵，则
∴
(2)∵△ABC的面积为，则，∴
根据题意得，则或
若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；
若，则，即，的周长为
∴的周长为6或
16．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.
(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理可得的大小，再根据正弦定理可得，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积
（2）设，根据直角三角形中的关系可得关于的表达式，从而得到平行四边形的面积表达式，从而根据三角函数的最值求解即可
(1)由余弦定理，，故，又由正弦定理有，故，所以扇形的半径，故种植花卉区域的面积
(2)设，则，故，，故平行四边形绿地占地面积，因为，故要面积最小，则当，即，时面积取得最小值，即多大时，平行四边形绿地占地面积最小