新高考数学之圆锥曲线综合讲义第21讲一类中点连线过定点问题(原卷版+解析)

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1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．
（1）求动点的轨迹方程；
（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；
①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形面积的最小值．
2．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
3．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.
4．已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
5．椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
6．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．
7．设圆过点，且在轴上截得的弦的长为4.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）过点，作轨迹的两条互相垂直的弦，，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由.
8．已知抛物线，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.
（1）若，求；
（2）过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点，且分别是线段的中点，若，证明：直线过定点.
第21讲 一类中点连线过定点问题
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线的长度之和等于．
（1）求动点的轨迹方程；
（2过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；
①证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
②求四边形面积的最小值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析，定点坐标为；②.
【分析】
（1）设点的坐标为，根据已知条件得出，结合椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆的焦点位置可得出点的轨迹方程，并求出的取值范围；
（2）①分析出直线的斜率存在且不为零，可设直线的方程为，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与点的轨迹方程联立，求出点的坐标，同理求出点的坐标，求出直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标；
②求得、，利用基本不等式可求得四边形面积的最小值．
【详解】
（1）设点，依题意，
，
所以动点的轨迹为椭圆（左、右顶点除外），则，，，
动点的轨迹方程是；
（2）①若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；
若与轴重合，则直线与动点的轨迹没有交点，不合乎题意；
设直线的方程为，则直线的方程为，
直线、均过椭圆的焦点（椭圆内一点），、与椭圆必有交点．
设、，由，
由韦达定理可得，则，
所以点的坐标为，同理可得点，
直线的斜率为，
直线的方程是，
即，
当时，直线的方程为，直线过定点．
综上，直线过定点；
②由①可得，，
，
同理可得，
所以，四边形的面积为，
当且仅当取等号．
因此，四边形的面积的最小值为.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
2．在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，，与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析；．
【解析】
试题分析：（1）设圆心坐标，利用圆心的半径相等可建立等式，求得曲线的方程；（2）易知两直线的斜率都存在，设直线斜率可得直线方程，与抛物线方程联立可得点坐标，同理可得的坐标，得直线的方程，得其过定点，且得出定点坐标．
试题解析：（1）设圆心，依题意有
，即得，
∴曲线的方程为．
（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，，，
则直线：，，
由得，
，
∴，，
∴．
同理得．
当或时，直线的方程为；
当且时，直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴直线过定点，其坐标为．
考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．
【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当不含参数时，可通过解不等式直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是不恒等于的参数的范围．
3．已知斜率为的的直线与椭圆交于点，线段中点为，直线在轴上的截距为椭圆的长轴长的倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且都经过椭圆的右焦点，设直线的斜率分别为，，线段的中点分别为，判断直线是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，.
【分析】
（1）利用点差法可得，再由直线的方程为，求出轴上的截距，结合题意即可求解.
（2）设直线的方程分别为，分别将直线与椭圆方程联立，分别求出，，求出直线方程，化简整理即可求解.
【详解】
本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.
（1）设，
则，
且
两式相减得
即，
即，
所以
又直线的方程为，
令，得
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意得，直线的方程分别为，
设，联立，
得，
所以，
则
同理
所以
由
得，
所以直线的方程为
整理得，
所以直线过定点.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线方程，求出点、以及直线的方程为，考查了运算求解能力，综合性比较强.
4．已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为的椭圆的动弦，设分别为线段的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）；（2）（0，）
【解析】
试题分析：（1）由焦距为2，得，可得其焦点坐标为，又点在椭圆上，根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为，即可求出椭圆的标准方程；
（2）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及探究直线过哪个定点．
试题解析：（1）由题意知设右焦点


椭圆方程为
（2）由题意，设
直线，即 代入椭圆方程并化简得

同理
当时， 直线的斜率
直线的方程为
又 化简得 此时直线过定点（0，）
当时，直线即为轴，也过点
综上，直线过定点
考点：圆锥曲线中的最值与范围问题
5．椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1) (2)见解析， 经过定点为
【解析】
试题分析：（1）根据题意，列出方程，求解的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线：，联立椭圆方程，求得的坐标，
由题设若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，得该定点一定是直线与的交点，进而求得直线过定点．
试题解析：
（1）设，由题，整理得，
，整理得，
结合，得，，
所求椭圆方程为．
（2）设直线：，联立椭圆方程，得，
得，，
∴，，
由题，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上．
设该点为，，，
由，得，代入，坐标化简得，
经过定点为．
点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
6．已知椭圆的标准方程为，该椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆长轴上一点作两条互相垂直的弦．若弦的中点分别为，证明：直线恒过定点．
【答案】（1）;（2）．
【分析】
(1)根据已知得到方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先求直线MN的方程，，即得直线MN经过的定点，再讨论当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．当时，过定点．
【详解】
（1）解：∵点在椭圆上，∴，
又∵离心率为，∴，∴，
∴，解得，，
∴椭圆方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，则直线的方程为，
联立，得，
设，，则，，
∴，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
∴直线的方程为，，
令得，∴直线经过定点，
当时，直线也经过定点，综上所述，直线经过定点．
当时，过定点．
【点睛】
（1）本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中直线的定点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出直线的方程为，，其二是讨论当时，直线也经过定点.
7．设圆过点，且在轴上截得的弦的长为4.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）过点，作轨迹的两条互相垂直的弦，，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
分析：（1）设圆心的坐标为，由题意结合几何关系可得圆心的轨迹方程为；
（2）设，，，，联立直线与轨迹的方程可得点的坐标为，点的坐标为，则直线MN的方程为，直线恒过定点.
详解：（1）设圆心的坐标为，如图过圆心作轴于，
则为的中点，在中，，
∵ ，，∴ 即；
（2）设，，，，
直线的方程为，联立有：，
∴ ，，
∴ 点的坐标为，
同理可得：点的坐标为，
直线的斜率为，
其方程为，整理得，
不论为何值，点均满足方程，∴ 直线恒过定点.
点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
8．已知抛物线，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点.
（1）若，求；
（2）过焦点再作斜率为的直线交抛物线于两点，且分别是线段的中点，若，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）设，，联立直线的方程和抛物线方程可得，然后利用即可求出
（2）根据（1）中结果可得到，同理，由可推出，然后写出直线的方程化简即可.
【详解】
（1），
设，
由得
，，解得
（2），
同理，，
所以
化简得：
直线过定点
【点睛】
涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.