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    高考数学母题题源解密(全国通用)专题15离散型随机变量及其分布(理科)专题练习(原卷版+解析)

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    高考数学母题题源解密(全国通用)专题15离散型随机变量及其分布(理科)专题练习(原卷版+解析)

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    这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题15离散型随机变量及其分布(理科)专题练习(原卷版+解析),共18页。试卷主要包含了离散型随机变量分布列与期望等内容,欢迎下载使用。



    【母题来源】2022年高考全国甲卷(理科)
    【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
    (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
    【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,所以甲学校获得冠军的概率为

    【小问2详解】依题可知,的可能取值为,所以,
    ,


    .
    即的分布列为
    期望.
    【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值,再分别计算出对应的概率,列出分布列,即可求出期望.
    【命题方向】这类试题在考查题型上选择、填空、解答题都有可能出现,题型多样,思路灵活,试题难度不大,是历年高考的热点.
    常见的命题角度有:
    (1)离散型随机变量分布列;(2)离散型随机变量期望;(3)离散型随机变量方差.
    【得分要点】
    (1)正确写出离散型随机变量的所有取值;
    (2)正确利用相应的概率模型求出各自的概率;
    (3)根据期望公式求出数学期望.
    一、单选题
    1.(2022·河南洛阳·模拟预测(理))已知随机变量,若,则( )
    A.0.36B.0.18C.0.64D.0.82
    2.(2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策,某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量,发现该站近几天车辆通行数量,若,则当时下列说法正确的是( )
    A.B.C.D.
    3.(2022·浙江·三模)设,随机变量的分布列是
    则当p在区间内增大时,( )A.减小B.增大
    C.先减小后增大D.先增大后减小
    4.(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))已知随机变量服从正态分布,若,则( )
    A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023
    5.(2022·山东潍坊·模拟预测)Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出,Pissn分布的概率分布列为,其中为自然对数的底数,是Pissn分布的均值.当二项分布的n很大而p很小时,Pissn分布可作为二项分布的近似.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对,采用紫外线照射大肠杆菌时,每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003,已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死,则致死率是( )
    A.B.C.D.
    6.(2022·浙江省春晖中学模拟预测)盒中有大小相同的5个红球和3个白球,从中随机摸出3个小球,记摸到白球的个数为,则随机变量的数学期望 ( )
    A.B.C.D.
    7.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)小明班的语文老师昨天报了一次听写,语文老师给了小明满分分,但实际上小明有一处写了个错别字,告诉了小王和小丁,错一处扣分,但小明自己不会给老师说,小王有的可能告诉老师,小丁有的可能告诉老师,他们都不会告诉其他同学,老师知道后就会把分扣下来,则最后小明的听写本上的得分期望( )
    A.B.C.D.
    8.(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”.“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,体现了冰雪运动和现代科技特点.冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作,顶部的如意造型象征吉祥幸福.小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”,随机选了3个寄给他的好朋友小华,则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为( )
    A.1B.2C.3D.1.5
    二、填空题
    9.(2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测)柯西分布(Cauchydistributin)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量服从柯西分布为,其中当,时的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为.已知,,,则________.
    10.(2022·江苏南通·模拟预测)小强对重力加速度做n次实验,若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值.已知估值的误差,为使误差在内的概率不小于0.6827,至少要实验___________次.(参考数据:若,则).
    三、解答题
    11.(2022·四川成都·模拟预测(理))成都高中为了锻炼高三年级同学的身体,同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感,调节学习状态,特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果,“命中”加10分,“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为,“不命中”的概率为,每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.
    (1)求且的概率;
    (2)记,求的分布列与数学期望.
    12.(2022·河南安阳·模拟预测(理))产品开发是企业改进老产品、开发新产品,使其具有新的特征或用途,以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段,需要对5个样品进行性能测试,现有甲、乙两种不同的测试方案,每个样品随机选择其中的一种进行测试,已知选择甲方案测试合格的概率为,选择乙方案测试合格的概率为,且每次测试的结果互不影响.
    (1)若3个样品选择甲方案,2个样品选择乙方案.
    (i)求5个样品全部测试合格的概率;
    (ii)求4个样品测试合格的概率.
    13.(2022·湖北·黄冈中学三模)2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来,乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一.今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军,比赛采用三局两胜制,即某选手率先获得两局胜利时比赛结束.根据以往经验, 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、,且每局比赛相互独立.
    (1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率;
    (2)比赛开始前,工作人员买来两盒新球,分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛,且局中不换球,该局比赛后,直接丢弃.裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致,且第一局从白盒中取球.记甲、乙决出冠军后,两盒内白球剩余的总数为,求随机变量的分布列与数学期望.
    14.(2022·全国·模拟预测)经过全国上下的共同努力,我国的新冠疫情得到很好的控制,但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制,疫情防控形势仍然比较严峻,为扎紧疫情防控的篱笆,提高疫情防控意识,某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛,现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析,他们的得分(满分100分)情况如下表:
    (1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值代替),求,的值;(结果保留整数)
    (2)在(1)的条件下,为感谢市民的积极参与,对参与者制定如下奖励方案:得分不超过79分的可获得1次抽奖机会,得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖,抽到10元红包的概率为,抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者,估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.(结果保留整数)
    参考数据:;;,.
    0
    10
    20
    30
    0.16
    0.44
    0.34
    0.06
    0
    p
    1
    P
    得分
    频数
    25
    150
    200
    250
    225
    100
    50
    专题15 离散型随机变量及其分布(理科)
    考向一 离散型随机变量分布列与期望
    【母题来源】2022年高考全国甲卷(理科)
    【母题题文】甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
    (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
    【试题解析】【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,所以甲学校获得冠军的概率为

    【小问2详解】依题可知,的可能取值为,所以,
    ,


    .
    即的分布列为
    期望.
    【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的可能取值,再分别计算出对应的概率,列出分布列,即可求出期望.
    【命题方向】这类试题在考查题型上选择、填空、解答题都有可能出现,题型多样,思路灵活,试题难度不大,是历年高考的热点.
    常见的命题角度有:
    (1)离散型随机变量分布列;(2)离散型随机变量期望;(3)离散型随机变量方差.
    【得分要点】
    (1)正确写出离散型随机变量的所有取值;
    (2)正确利用相应的概率模型求出各自的概率;
    (3)根据期望公式求出数学期望.
    一、单选题
    1.(2022·河南洛阳·模拟预测(理))已知随机变量,若,则( )
    A.0.36B.0.18C.0.64D.0.82
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据正态分布的对称性即可求解.
    【详解】
    因为,所以,所以.
    故选:C.
    2.(2022·江苏省木渎高级中学模拟预测)2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策,某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量,发现该站近几天车辆通行数量,若,则当时下列说法正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】
    根据给定条件,利用正态分布的对称性列式,再结合不等式求解作答.
    【详解】
    因,且,则有,即,
    不等式为:,则,,
    所以,,A,B,D均不正确,C正确.
    故选:C
    【点睛】
    关键点睛:涉及正态分布概率问题,运用正态密度函数曲线的对称性是解题的关键.
    3.(2022·浙江·三模)设,随机变量的分布列是
    则当p在区间内增大时,( )
    A.减小B.增大
    C.先减小后增大D.先增大后减小
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    先求出,令,求导确定单调性即可.
    【详解】

    ,令,则,易得单调递减,
    又,故存在,使得,则在单增,在单减,即先增大后减小.
    故选:D.
    4.(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))已知随机变量服从正态分布,若,则( )
    A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    随机变量服从正态分布,依据正态曲线的性质去求即可
    【详解】
    随机变量服从正态分布,
    若,则依据正态曲线的性质有
    故选:B
    5.(2022·山东潍坊·模拟预测)Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出,Pissn分布的概率分布列为,其中为自然对数的底数,是Pissn分布的均值.当二项分布的n很大而p很小时,Pissn分布可作为二项分布的近似.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对,采用紫外线照射大肠杆菌时,每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003,已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死,则致死率是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】
    结合题意,,此时Pissn分布满足二项分布的近似条件,再计算二项分布的均值为Pissn分布的均值,再代入公式先求不致死的概率,再用对立事件的概率和为1计算即可
    【详解】
    由题, ,,此时Pissn分布满足二项分布的近似的条件,此时,故不致死的概率为,故致死的概率为
    故选:A
    6.(2022·浙江省春晖中学模拟预测)盒中有大小相同的5个红球和3个白球,从中随机摸出3个小球,记摸到白球的个数为,则随机变量的数学期望 ( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    依题意的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列与数学期望.
    【详解】
    解:盒中有大小相同的5个红球和3个白球,
    从中随机摸出3个球,记摸到白球的个数为,
    的可能取值为0,1,2,3,
    所以,,
    ,,
    的分布列为:
    .故选:B.
    7.(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)小明班的语文老师昨天报了一次听写,语文老师给了小明满分分,但实际上小明有一处写了个错别字,告诉了小王和小丁,错一处扣分,但小明自己不会给老师说,小王有的可能告诉老师,小丁有的可能告诉老师,他们都不会告诉其他同学,老师知道后就会把分扣下来,则最后小明的听写本上的得分期望( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    分析可知的可能取值为:、,计算出随机变量在不同取值下的概率,进而可求得的值.
    【详解】
    由题意可知的可能取值为:、,
    则,,
    因此,.
    故选:D.
    8.(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”.“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,体现了冰雪运动和现代科技特点.冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作,顶部的如意造型象征吉祥幸福.小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”,随机选了3个寄给他的好朋友小华,则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为( )
    A.1B.2C.3D.1.5
    【答案】B
    【解析】
    【分析】
    设小华收到的“冰墩墩”的个数为,则,求出对应的概率即得解.
    【详解】
    解:设小华收到的“冰墩墩”的个数为,则.
    则;;;.
    所以.
    故选:B
    二、填空题
    9.(2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测)柯西分布(Cauchydistributin)是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量服从柯西分布为,其中当,时的特例称为标准柯西分布,其概率密度函数为.已知,,,则________.
    【答案】##0.25
    【解析】
    【分析】
    由概率密度函数得其关于对称,由对称性求得概率.
    【详解】
    由已知,概率密度函数图象关于对称,

    又,
    ,,
    故答案为:.
    10.(2022·江苏南通·模拟预测)小强对重力加速度做n次实验,若以每次实验结果的平均值作为重力加速度的估值.已知估值的误差,为使误差在内的概率不小于0.6827,至少要实验___________次.(参考数据:若,则).
    【答案】6
    【解析】
    【分析】
    直接由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.
    【详解】
    ,∴,∴,至少要实验6次.
    故答案为:6.
    三、解答题
    11.(2022·四川成都·模拟预测(理))成都高中为了锻炼高三年级同学的身体,同时也为了放松持续不断的考试带来的紧张感,调节学习状态,特组织学生进行投篮游戏.投篮只有“命中”和“不命中”两种结果,“命中”加10分,“不命中”减10分.某班同学投篮“命中”的概率为,“不命中”的概率为,每次投篮命中与否相互独立.记该班同学次投篮后的总得分为.
    (1)求且的概率;
    (2)记,求的分布列与数学期望.
    【答案】(1)(2)分布列见解析,
    【解析】
    【分析】
    (1),则投篮6次,4次命中,2次不命中,然后根据可知第1次和第2次命中,则其余4次可任意命中两次;或者第1次命中,第2次不命中,第3次命中,则其余3次可任意命中2次,根据相互独立事件的乘法公式即可求解.
    (2)根据随机变量的取值以及对应事件的概率,即可求解.
    (1),即投篮6次,4次命中,2次不命中,若第1次和第2次命中,则其余4次可任意命中两次;若第1次命中,第2次不命中,第3次命中,则其余3次可任意命中2次,故所求概率为.
    (2)的可能取值为



    的分布列为

    12.(2022·河南安阳·模拟预测(理))产品开发是企业改进老产品、开发新产品,使其具有新的特征或用途,以满足市场需求的流程.某企业开发的新产品已经进入到样品试制阶段,需要对5个样品进行性能测试,现有甲、乙两种不同的测试方案,每个样品随机选择其中的一种进行测试,已知选择甲方案测试合格的概率为,选择乙方案测试合格的概率为,且每次测试的结果互不影响.
    (1)若3个样品选择甲方案,2个样品选择乙方案.
    (i)求5个样品全部测试合格的概率;
    (ii)求4个样品测试合格的概率.
    (2)若测试合格的样品个数的期望不小于3,求选择甲方案进行测试的样品个数.
    【答案】(1)(i)(ii)
    (2)选择甲方案测试的样品个数为,或者
    【解析】
    【分析】
    (1)(i)利用乘法公式即可求解(ii)4个样品测试合格分两种情况,第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格, 第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,利用互斥的加法公式即可求解(2)设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案测试合格的样品个数为,则,分类讨论即可求解
    (1)(i)因为3个样品选择甲方案, 2个样品选择乙方案,
    所以5个样品全部测试合格的概率为
    (ii)4个样品测试合格分两种情况,
    第一种情况, 3个样品甲方案测试合格和1个样品乙方案测试合格,
    此时概率为
    第二种情况, 2个样品甲方案测试合格和2个样品乙方案测试合格,
    此时概率为
    所以 4 个样品测试合格的概率为
    (2)设选择甲方案测试的样品个数为, 则选择乙方案测试的样品个数为,并设通过甲方案测试合格的样品个数为, 通过乙方案测试合格的样品个数为,
    当时, 此时所有样品均选择方案乙测试, 则,
    所以, 不符合题意;
    当时, 此时所有样品均选择方案甲测试, 则
    所以,符合题意;
    当时, ,
    所以
    若使, , 则,
    由于, 故时符合题意,
    综上, 选择甲方案测试的样品个数为 3,4 或者5时, 测试合格的样品个数的期望不小于3 .
    13.(2022·湖北·黄冈中学三模)2022世界乒乓球团体锦标赛将于2022年9月30日至10月9日在成都举行.近年来,乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一.今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军,比赛采用三局两胜制,即某选手率先获得两局胜利时比赛结束.根据以往经验, 甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为、,且每局比赛相互独立.
    (1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率;
    (2)比赛开始前,工作人员买来两盒新球,分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛,且局中不换球,该局比赛后,直接丢弃.裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致,且第一局从白盒中取球.记甲、乙决出冠军后,两盒内白球剩余的总数为,求随机变量的分布列与数学期望.
    【答案】(1)(2)分布列见解析,
    【解析】
    【分析】
    (1)甲获得乒兵球比赛冠军这个事件为前两局甲全获胜,或前两局中甲胜一局第三局甲胜,由独立事件与互斥事件概率公式计算;
    (2)甲乙决出冠军共进行了局比赛,易知或,记表示第局从白盒中抽取的白色球,表示第局从黄盒中抽取的黄色球,的所有可能取值为,根据和分类讨论确定事件,,的情形,求出概率得分布列,再由期望公式计算期望.
    (1)记事件:“甲在第局比赛中获胜”,,事件:“甲在第局比赛中末胜” .
    .记事件“甲夺得冠军",
    则.
    (2)设甲乙决出冠军共进行了局比赛,易知或.
    则,故.
    记表示第局从白盒中抽取的白色球,表示第局从黄盒中抽取的黄色球,
    的所有可能取值为;
    ;
    ;
    .
    综上可得,的分布列如下:
    数学期望为
    14.(2022·全国·模拟预测)经过全国上下的共同努力,我国的新冠疫情得到很好的控制,但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制,疫情防控形势仍然比较严峻,为扎紧疫情防控的篱笆,提高疫情防控意识,某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛,现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析,他们的得分(满分100分)情况如下表:
    (1)若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布,用样本来估计总体,设,分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值代替),求,的值;(结果保留整数)
    (2)在(1)的条件下,为感谢市民的积极参与,对参与者制定如下奖励方案:得分不超过79分的可获得1次抽奖机会,得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖,抽到10元红包的概率为,抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者,估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.(结果保留整数)
    参考数据:;;,.
    【答案】(1),(2)(元)
    【解析】
    【分析】
    (1)利用平均数和标准差公式直接计算即可.
    (2)先计算胡老师抽奖次数的期望,然后计算一次抽奖获得红包金额的期望,从而得到在此次活动中所获得红包的数学期望.
    (1),

    所以.
    (2)设随机变量N表示胡老师的抽奖次数,则N的可能取值为1,2.


    其分布列为
    所以.
    设随机变量T为胡老师一次抽奖获得的红包金额,则T的可能取值为10,20,
    由题意知,,
    所以随机变量T的分布列为
    .
    所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为(元).
    0
    10
    20
    30
    0.16
    0.44
    0.34
    0.06
    0
    p
    1
    P

    0
    1
    2
    3





    X
    10
    30
    50
    P
    X
    1
    2
    3
    得分
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