高考数学母题题源解密(全国通用)专题16圆锥曲线专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题16圆锥曲线专题练习(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了椭圆，双曲线，抛物线等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【试题解析】【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
【小问2详解】
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【命题意图】
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力.
【命题方向】
这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
【得分要点】
求定点、定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
考向二 双曲线
【母题来源】2022年高考浙江卷
【母题题文】 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【试题解析】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
【命题意图】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算求解能力.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
【得分要点】
第一问主要利用圆锥曲线的简单性质解答；
第二问联立直线和圆锥曲线并消元；
考向三 抛物线
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【试题解析】小问1详解】
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，所以抛物线C的方程为；
【小问2详解】
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，
所以，所以直线.
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的交点问题，考查学生的数学运算能力，是一道较难的题目.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题的形式出现．试题难度较大，多为高档题，重点考查抛物线的定义、性质及直线与抛物线的交点等.
【得分要点】
利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.
一、单选题
1．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西九江·三模（理））双曲线的左右焦点分别为，，为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点之间距离的最小值为4，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
6．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A．B．C．或D．或
7．（2022·北京市第十二中学三模）已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（ ）
A．4B．C．5D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线，其左、右焦点分别为，．点到的一条渐近线的距离为1，若双曲线的焦点在轴上且与具有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题
9．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
10．（2022·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
11．（2022·四川成都·模拟预测（文））某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．
12．（2022·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点． 若，则双曲线的渐近线方程为________．
三、解答题
13．（2022·四川成都·模拟预测（理））平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，过焦点的最短弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点，求的面积的最大值.
14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
15．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C：，圆O：.
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求的最小值及相应p的值.
16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.
17．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过的两直线交抛物线于，，且的平分线平行于y轴，试判断的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.
18．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
专题16 圆锥曲线
考向一 椭圆
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
（1）求E的方程；
（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【试题解析】【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
【小问2详解】
，所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【命题意图】
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力.
【命题方向】
这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
【得分要点】
求定点、定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
考向二 双曲线
【母题来源】2022年高考浙江卷
【母题题文】 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．
【试题解析】过且斜率为的直线，渐近线，
联立，得，由，得
而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.
故答案为：．
【命题意图】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查学生的运算求解能力.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以解答题的形式出现，属于中档题，当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
【得分要点】
第一问主要利用圆锥曲线的简单性质解答；
第二问联立直线和圆锥曲线并消元；
考向三 抛物线
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
（1）求C的方程；
（2）设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
【试题解析】小问1详解】
抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，所以抛物线C的方程为；
【小问2详解】
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，
所以，所以直线.
【命题意图】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的交点问题，考查学生的数学运算能力，是一道较难的题目.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题的形式出现．试题难度较大，多为高档题，重点考查抛物线的定义、性质及直线与抛物线的交点等.
【得分要点】
利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.
一、单选题
1．（2022·湖南·周南中学高二期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义求解即可
【详解】
由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将代入C中，求得AB坐标，利用三角形AOB是等腰直角三角形，求得a，b的关系，从而求得离心率.
【详解】
将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
3．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，
由于点P在第一象限，所以点P坐标为，
双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．
Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．
故选：B．
4．（2022·江西九江·三模（理））双曲线的左右焦点分别为，，为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线定义得到，且，进而求出，求出的面积.
【详解】
由双曲线方程知，，
恰好为圆的直径，所以，如图所示：
由双曲线定义知，，
∴，∴，
故选：A.
5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，且与圆上的点之间距离的最小值为4，则的值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线方程得焦点坐标，由几何关系求解
【详解】
由题意知，点与圆上的点之间的最小距离为，所以．
故选：D
6．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件结合抛物线的定义，解三角形求直线l的斜率.
【详解】
当在轴上方时，过分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，过作于，设，则，所以，
所以，同理可得当在轴下方时，的值为，
故选：C.
7．（2022·北京市第十二中学三模）已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（ ）
A．4B．C．5D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，由条件结合直线与圆的位置关系结论列方程求其坐标值即可.
【详解】
设，设圆的半径为，
因为点在抛物线上，所以，
以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以,
圆与x轴相交的弦长为6，所以，所以，又，
所以，故，,所以点P到y轴的距离为4，
故选： A.
8．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线，其左、右焦点分别为，．点到的一条渐近线的距离为1，若双曲线的焦点在轴上且与具有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先写出 的渐近线方程，根据点到直线距离公式求出b，再根据两双曲线渐近线相同，
求出 实轴与虚轴的关系即可求出其离心率.
【详解】
设双曲线的半焦距为，则右焦点，其一条渐近线为，
根据点到直线距离公式有：，由于 ，解得 ；
设，其半焦距为，其渐近线方程为： ，
由题意知，所以，即，所以的离心率
；
故选：A.
二、填空题
9．（2022·上海普陀·二模）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果.
【详解】
由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，
所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；
又、对应的直角三角形各有2个；
综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.
故答案为：6
10．（2022·上海静安·二模）已知椭圆的一个焦点坐标为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程直接求解即可.
【详解】
由焦点坐标知焦点在轴上，且，解得.
故答案为：.
11．（2022·四川成都·模拟预测（文））某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别设出焦点在轴和轴上的双曲线的标准方程，代入点的坐标，求出双曲线方程，即可得到离心率.
【详解】
由题意知，故双曲线的标准方程为或，分别将代入，得双曲线的标准方程为，故离心率为．
12．（2022·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于点． 若，则双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算可得，再根据焦点三角形中的关系可得，再根据等腰三角形的性质可列式求得离心率，进而求得渐近线的方程.
【详解】
因为，故，即，故，根据双曲线的定义有，故，又直线斜率为，故，所以，根据等腰三角形的性质有，即，解得，故.
故双曲线的渐近线方程为
故答案为：
三、解答题
13．（2022·四川成都·模拟预测（理））平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，过焦点的最短弦长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的点，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件列方程求，可得椭圆方程；(2) 设直线的方程为，利用设而不求法求出的面积的解析式，再求其最值.
(1)
由题意得，故椭圆的标准方程为；
(2)设直线的方程为，则
，，
，设，
，
当时，
当到的距离最大时，点在第二象限且过点的切线正好与平行，
设切线方程为，，，
由得，此时，
到的距离最大为，
故的面积，
则，
故，当且仅当时取等号.
当时，
当到的距离最大时，点在第四象限且过点的切线正好与平行，
设切线方程为，，
，由得，此时，
到的距离最大为，
故的面积，
则，
故，当且仅当时取等号. 所以的面积的最大值为.
【点睛】
解决直线与椭圆的三角形面积问题的关键在于利用设而不求法表示三角形的面积，再利用基本不等式或导数求其最值.
14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.
（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.
(1)不妨设 , 因为,
从而 故由 ,
又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
(2)设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且
, 化简得 ,
故由 , 同理可求,,
所以
又因为原点到直线的距离,
所以,又由，所以,
故的面积是为定值,定值为
15．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C：，圆O：.
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求的最小值及相应p的值.
【答案】(1)
(2)最小值为，
【解析】
【分析】
（1）由得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出，最后由抛物线定义得出；
（2）由导数的几何意义得出切线l的方程，由点到切线的距离等于结合勾股定理得出，再由基本不等式得出的最小值及相应p的值.
(1)由题意，得，从而C：.
解方程组，整理得，，解得
所以.
(2)设，由得，故切线l的方程为，
注意到，故整理得
由且，即点到切线的距离等于得
所以，
整理，得且，
所以
，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为，此时.
16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）由题意求出，即可求出椭圆M的方程.
（2）设直线l的方程为m(x－2)+ny＝1，，，联立直线l的方程与椭圆方程，得，则，化简得，即可求出直线l恒过的定点.
(1)因为（a>b>0）的离心率为，过椭圆右焦点的弦长的最小值为，
所以a＝2，，，所以椭圆M的方程为.
(2)设直线l的方程为m(x－2)+ny＝1，，，
由椭圆的方程，得.
联立直线l的方程与椭圆方程，得，
即，，
所以，
化简得，代入直线l的方程得，
即，解得x＝－2，y＝－4，即直线l恒过定点.
17．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过的两直线交抛物线于，，且的平分线平行于y轴，试判断的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.
【答案】(1)
(2)的面积有最大值，最大值为6
【解析】
【分析】
小问1：由抛物线的焦半径公式及抛物线上的一点坐标，列出方程组即可求解；
小问2：由的平分线平行于y轴，可以推出，整理可得出直线的斜率，设出直线的方程，表示出到的距离，以及的长度，即可表示出，最后结合函数的性质即可求出的最值.
(1)因为为抛物线上一点，所以.因为，
所以，即，解得，所以抛物线C的标准方程为.
(2)由（1）得，.设，.
因为的平分线平行于y轴，所以，得，
即，整理得，
，则设直线，即，
点M到直线的距离为：
，
令，由，，，得，所以.
因为是偶函数，所以只需讨论的情况.
当时，令，则，
所以在上单调递增，所以的最大值为，
即的最大值为.
综上可知，的面积有最大值，最大值为6.
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的面积问题，结合函数性质求出最值.
18．（2022·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，且．
【解析】
【分析】
利用三角形内切圆的性质与双曲线的定义相结合，即可求出双曲线方程；（2）设出切线l的方程，并利用切线的性质求得与的关系，联立切线l与双曲线C的方程，并利用韦达定理及平面向量的线性运算、数量积，即可求解．
(1)
如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，
则
，
所以，则，
则双曲线C的方程为．
(2)
由题意得，切线l的斜率存在．
设切线l的方程为，，．
因为l与圆相切，所以，即．
联立消去y并整理得，
所以，．
又
．
又
，
将代入上式得．
综上所述，为定值，且．