高考数学母题题源解密(全国通用)专题17导数及其应用专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题17导数及其应用专题练习(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了切线方程，利用导数求函数的极值点与极值，利用导数求函数的最值等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【试题解析】【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为：
【命题意图】本题主要考查设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，属于基础题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）已知切点求斜率；（2）已知斜率求切点；（3）切点、斜率均未知.
【得分要点】
设切点为(x0,y0)；（2）求出原函数的导函数，将x0代入导函数得切线的斜率k；（3）由斜率k和切点(x0,y0)求参数的值.
考向二 利用导数求函数的极值点与极值
【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）
【母题题文】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【试题解析】【详解】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，
又，所以，综上所述，的范围为.
【命题意图】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度较大，多为中挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）求函数的极值点；（2）求函数的极值；（3）由函数的极值点极值解参数范围.
【得分要点】
（1）求函数的定义域、求导；
（2）列表分析,确定函数的单调区间；
（3）从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)；
（4）最后求出所有极值点处的函数值,即得所求函数的极值.
考向三 利用导数求函数的最值
【母题来源】2022年高全国乙卷（文科）
【母题题文】函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【试题解析】【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D
【命题意图】利用导数求得的单调区间，从而判断出的最小值和最大值.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度不大，多为中挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）求函数的最值；（2）利用最值求参数范围.
【得分要点】
（1）求函数的定义域、求导；
（2）列表分析，确定函数的单调区间；
（3）从表中找出单调性发生变化的交界点，进而求出最值.
一、单选题
1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
5．（2022·四川内江·模拟预测（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
8．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．
A．0B．1C．2D．e
二、填空题
9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
10．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.
11．（2022·湖北·黄冈中学二模）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.
12．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．
三、解答题
13．（2022·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．
14．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
15．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
16．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
17．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知函数的最小值为．
(1)求的值；
(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（参考数据：，）
18．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数零点的个数．
专题17导数及其应用
考向一 切线方程
【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【试题解析】【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,故答案为：
【命题意图】本题主要考查设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，属于基础题.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）已知切点求斜率；（2）已知斜率求切点；（3）切点、斜率均未知.
【得分要点】
设切点为(x0,y0)；（2）求出原函数的导函数，将x0代入导函数得切线的斜率k；（3）由斜率k和切点(x0,y0)求参数的值.
考向二 利用导数求函数的极值点与极值
【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）
【母题题文】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【试题解析】【详解】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
则有，解得，则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，
又，所以，综上所述，的范围为.
【命题意图】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度较大，多为中挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）求函数的极值点；（2）求函数的极值；（3）由函数的极值点极值解参数范围.
【得分要点】
（1）求函数的定义域、求导；
（2）列表分析,确定函数的单调区间；
（3）从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)；
（4）最后求出所有极值点处的函数值,即得所求函数的极值.
考向三 利用导数求函数的最值
【母题来源】2022年高全国乙卷（文科）
【母题题文】函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A. B. C. D.
【试题解析】【详解】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D
【命题意图】利用导数求得的单调区间，从而判断出的最小值和最大值.
【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题、填空题和解答题形式出现，试题难度不大，多为中挡题目，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）求函数的最值；（2）利用最值求参数范围.
【得分要点】
（1）求函数的定义域、求导；
（2）列表分析，确定函数的单调区间；
（3）从表中找出单调性发生变化的交界点，进而求出最值.
一、单选题
1．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义去求曲线在处的切线方程
【详解】
，则，
当时，，，
所以切线方程为，即．
故选：D．
2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
求导，利用切线方程，得到方程组，求出，，求出答案.
【详解】
由，则，所以
解得：，，所以
.故选：D.
3．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（ ）
A．B．±C．D．±
【答案】C
【解析】
【分析】
先求导，通过导数的几何意义得到函数在处的切线斜率，再利用同角三角函数的关系得到sin2的值．
【详解】
因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．13
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得,再由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值．
【详解】
设切点为 ，
的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，则，
当且仅当，时，取得最小值9，故选：B
5．（2022·四川内江·模拟预测（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求导，解不等式可得.
【详解】
的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.故选：B．
6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知函数，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性，利用导数证明函数的单调性，将化为，比较的大小关系即可得答案.
【详解】
函数的定义域为，
，故为偶函数，
当时，，则，
即单调递增，故，
所以，则在时单调递增，
由于
因为，
而，，
即 ，则，
故选：B
7．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知是函数的一个极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知，可得，由二倍角公式可算得，进而有，所以.
【详解】
，
∴，∴，∴
故选：D
8．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．
A．0B．1C．2D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到或，再次构造关于的函数，研究其单调性，解出不等式，求出数a的最大值.
【详解】
令，得到，
函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，
即函数与至多有2个不同的交点
令，则，
当时，，单调递增，
当或时，，单调递减，
所以与为函数的极值点，且，
且在R上恒成立，画出的图象如下：
有图可知：或时，符合题意，
其中，解得：，设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由可得：，所以，综上：实数a的最大值为2故选：C
【点睛】
对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.
二、填空题
9．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知抛物线在处的切线过点，则该抛物线的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题根据直线与抛物线的位置关系，利用导数解决直线与抛物线相切问题．
【详解】
解：由题意得：
由可得，求导可得，故切线斜率为故切线方程为
又因为该切线过点，所以，解得
抛物线方程为，焦点坐标为．故答案为：
10．（2022·北京市大兴区兴华中学三模）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
使用等价转化的思想，转化为在恒成立，然后利用分离参数的方法，结合辅助角公式，可得，简单计算和判断，可得结果.
【详解】
由题可知：
函数在区间上单调递减
等价于在恒成立
即在恒成立
则在恒成立，所以，
由，所以
故，则，所以，即
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到在恒成立，通过等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.
11．（2022·湖北·黄冈中学二模）函数的图象如图所示，记、、，则、、最大的是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义结合的图象分析判断即可
【详解】
根据导数的几何意义，、、分别为处的切线斜率，
又与处的切线单调递增，处的切线单调递减，且处的切线比处的切线更陡峭，
∴，故最大为.
故答案为：
12．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．
【答案】形如即可（答案不唯一）
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间从求出函数的极大值点，再代入计算可得；
【详解】
解：因为定义域为，且，
令即，解得，
令即，解得
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以在处取得极大值，
所以，，
故答案为：，（答案不唯一）
三、解答题
13．（2022·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若在区间内是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由得，，，所以在处的切线方程为：，即.
(2)记，则，显然可得 在单调递减.
当 时， ，从而 在上恒成立,故在上单调递增，又因为，所以即在上恒成立，
所以在区间上单调递减，符合题意；
当时，，，
所以，使得，又在上单调递减，
所以在上恒成立，在上恒成立．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，又．
令，则，所以在上单调递增，
所以，所以，所以．
所以存在，使得，所以在上，在上，
所以在上，在上．
所以在区间上既有减区间，也有增区间，不符合题意．
综上可知，实数的取值范围是．
14．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)， (2)
【解析】
【分析】
（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；
（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．
(1)，则．
因为函数在处取得极值4，
所以，解得
此时．
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极大值点，符合题意．故，．
(2)若存在，使成立，则．
由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
15．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.
(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据函数有两个极值点转化为导函数等于0有两不相等的根，分离参数后，转化为分析大致图象，根据数形结合求解即可;
（2）不等式可转化为，构造函数，求导后得到函数极小值，转化为求极小值大于0即可.
(1)的定义域为，，由题意在上有两解，
即，即有两解.
令，即的图象与直线有两个交点.
，得，当时，，递增；
当时，，递减，，，
时，；时，，
，，a的取值范围是.
(2)当时，，即证，即证，
令，，令，则，
当时，，在递增.，，
存在唯一的，使得，
当时，，递减；
当时，，递增，.
又，，，
，，.
16．（2022·北京市第九中学模拟预测）已知．
(1)当时，判断函数零点的个数；
(2)求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把代入，求导得函数的单调性，再由作答.
（2）构造函数，利用导数借助单调性证明作答.
(1)当时，，，当且仅当时取“=”，
所以在R上单调递增，而，即0是的唯一零点，
所以函数零点的个数是1.
(2)，令，则，因，则，
因此，函数在上单调递增，，，
所以当时，成立.
17．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知函数的最小值为．
(1)求的值；
(2)已知，，在上恒成立，求的最大值．（参考数据：，）
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）求导求单调性，再求最值即可；（2）根据题意得对恒成立，令，再求导求最值即可.
(1)由题可知．令，解得；
令，解得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得．
(2)由可得对恒成立．
令，则，令，
则
因为在上单调递增，，，
且的图象在上不间断，所以存在，使得，
即，则．
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
则的最小值为，，
由对勾函数性质得，，
所以，
所以，即在区间上单调递增，
所以．
所以存在整数满足题意，且整数的最大值为．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
18．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)讨论函数零点的个数．
【答案】(1)当时，函数的增区间为，没有减区间；当时，函数的增区间为，减区间为
(2)当，函数有且仅有一个零点；当时，函数有且仅有3个零点
【解析】
【分析】
（1）求导，再分，和分类讨论即可；（2）根据单调性及零点存在性定理分析即可.
(1)函数的定义域为，，
在一元二次方程中，，
①当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；
③当时，一元二次方程有两个不相等的根，
分别记为，有，，可得，
有，
可得此时函数的增区间为减区间为，
综上可知，当时，函数的增区间为，没有减区间；
当时，函数的增区间为，
减区间为；
(2)由（1）可知：
①当时，函数单调递增，又由，可得此时函数只有一个零点为；
②当时，由，可得，
又由，由函数的单调性可知，
当且时，可得，有，
可得，
当时，
可知此时函数有且仅有3个零点，
由上知，当时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数有且仅有3个零点．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．