高考数学母题题源解密(全国通用)专题19不等式选讲专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学母题题源解密(全国通用)专题19不等式选讲专题练习(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了不等式的证明，含绝对值的不等式等内容，欢迎下载使用。

【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）； （2）；
【试题解析】【小问1详解】
证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
【小问2详解】
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
【命题意图】本题考查基本不等式及不等式的性质.
【命题方向】这类试题在考查题型为解答题，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）基本不等式；（2）柯西不等式；（3）不等式的性质.
【得分要点】
（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
考向二 含绝对值的不等式
【母题来源】2021年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】 2021年全国高考甲卷（理）
1. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【试题解析】【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【命题意图】本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题形式出现，多为中低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）绝对值不等式的解法；（2）利用绝对值三角不等式求最值；（3）由不等式恒成立求参数范围；
【得分要点】
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；
（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；
（3）零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；
（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即
①定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
②定理2:如果a，b，c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立.
③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.
④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.
（5）图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)求不等式的解；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为m，且对任意正数a，b满足a＋b=m，求的最小值．
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设时，的最小值为M.若正实数a，b，满足，求的最小值.
4．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，且不等式的解集为．
(1)求的取值范围；
(2)若不等式的解集为，且取任意值时，都有，求实数的取值范围．
6．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数．
(1)求不等式的解集M；
(2)若，证明：．
7．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求不等式的解集：
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)求证：R，．
9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正数x，y满足．证明：
(1)； (2)．
10．（2022·江西赣州·二模（理））不等式对于恒成立．
(1)求证：；(2)求证：
11．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知正数a，b，c满足．
(1)求证：； (2)求证：．
12．（2022·全国·模拟预测（文））已知，，均为正实数，且．证明：
(1)； (2)．
13．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知a，b，c为正数，且满足．
(1)证明：； (2)证明：
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知，，是不全相等的正实数，且有．
(1)求证：； (2)求证：．
15．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a，b，c均为正数，且．
(1)求的最小值；(2)证明：．
专题19 不等式选讲
考向一 不等式的证明
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）； （2）；
【试题解析】【小问1详解】
证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
【小问2详解】
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
当且仅当时取等号．
【命题意图】本题考查基本不等式及不等式的性质.
【命题方向】这类试题在考查题型为解答题，多为中档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）基本不等式；（2）柯西不等式；（3）不等式的性质.
【得分要点】
（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.
（2）基本不等式:如果a，b>0，那么，当且仅当a=b时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.
（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.
考向二 含绝对值的不等式
【母题来源】2021年高考全国甲卷（理科）
【母题题文】 2021年全国高考甲卷（理）
1. 已知函数．
（1）画出和的图像；
（2）若，求a的取值范围．
【试题解析】【详解】（1）可得，画出图像如下：
，画出函数图像如下：
（2），
如图，在同一个坐标系里画出图像，
是平移了个单位得到，
则要使，需将向左平移，即，
当过时，，解得或（舍去），
则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.
【命题意图】本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.
【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题形式出现，多为中低档题，是历年高考的热点．
常见的命题角度有：
（1）绝对值不等式的解法；（2）利用绝对值三角不等式求最值；（3）由不等式恒成立求参数范围；
【得分要点】
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；
（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；
（3）零点分段法：对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a，|f(x)|±|g(x)|≤a，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；
（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c，|x±a|±|x±b|≥c，利用绝对值三角不等式的性质求解，即
①定理1:如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
②定理2:如果a，b，c是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b)(b−c)≥0时，等号成立.
③推论1:||a|−|b||≤|a+b|.
④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.
（5）图象法：对于形如|f(x)|+|g(x)|≥a可构造y=|f(x)|+|g(x)|−a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a，在直角坐标系中作出不等式两边所对应两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数.
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数．
(1)求不等式的解；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
（1）讨论，，，写出的解析式，分段讨论解不等式即可.
（2）当时，恒成立，所以，当时，恒成立，由绝对值三角不等式求出的最小值即可求出答案.
(1)当时，等价于，
该不等式恒成立，所以；
当时，等价于，
解得，此时不等式无解；
当时，等价于，解得，所以．
综上所述，不等式的解为．
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，恒成立，
因为，
当且仅当时取等号，所以．综上所述，的取值范围是．
2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为m，且对任意正数a，b满足a＋b=m，求的最小值．
【答案】(1)或(2)
【解析】
【分析】
（1）分类讨论x的取值范围，即可求得答案；
（2）求出的最小值，可得 ，即，将变为，结合基本不等式，即可求得答案.
(1)由题意，，
当时，， 解得 ，
当时， ，无解，
当时， ，解得，
故不等式的解集为或；
(2)由（1）可知：
当时，，
当时， ，
当时， ，
故 的最小值为3，即 ，则 ，即
则，
当且仅当 时取等号，
故的最小值为.
3．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设时，的最小值为M.若正实数a，b，满足，求的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式，即可求出不等式的解集；
（2）利用绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值.
(1)
，
当时，不等式化为，解得，此时；
当时，不等式化为，恒成立，此时；
当时，不等式化为，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
(2).所以，即.
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号.
即的最小值为.
4．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2).
【解析】
【分析】
（1）将函数去绝对值，转为分段函数，即可求解.
（2）不等式，即转化为，利用绝对值三角不等式化简，求得函数的最小值即可求解.
(1)解：当时，，
当时，由，解得，当时，由，解得.
故的解集为.
(2)解：当时，恒成立，故，又，即，故，
所以的取值范围为.
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，且不等式的解集为．
(1)求的取值范围；
(2)若不等式的解集为，且取任意值时，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值三角不等式确定，结合不等式的解集为可得，即可求得答案.
（2）不等式可化为，分别作出函数与的大致图象，结合题意可得到 对于任意的恒成立，即可解得答案.
(1)因为，即，
由不等式的解集为可得，，即，
解得 ，即的取值范围为.
(2)不等式可化为，
令 ，
作出函数与的大致图象，如图示，
因为不等式的解集为，且取任意值时，都有，
故 对于任意的恒成立，故，故 ，
故实数的取值范围是.
6．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知函数．
(1)求不等式的解集M；
(2)若，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）解绝对值不等式去绝对值的时候分段讨论；
（2）作差法比较两式大小即可.
(1)因为，即，所以，即
所以不等式的解集M为；
(2)∵，∴．
∵，∴．
法二：∵，∴．
∵，∴．
7．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知函数
(1)当时，求不等式的解集：
(2)若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)（-3，1） (2)
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去绝对值解不等式即可得解；
（2）将原不等式化为，再利用绝对值不等式求出的最小值，然后解不等式可得结果.
(1)当时，化为
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，无解，
综上所述：当时，不等式的解集为（—3，1）
(2)由得，
因为|（当且仅当时，等号成立），又因为对任意的恒成立，所以，
当，即时，有，即，此不等式无解：
当，即时，有，田，解得
综上所述：a的取值范围为.
8．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)求证：R，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等关系，可得，然后根据基本不等式即可求解.
(1)时， ，
故当时，，所以；
当时，显然成立，
当时，，解得：
综上，不等式的解集为
(2)．
9．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正数x，y满足．证明：
(1)； (2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式可得答案；
（2）利用柯西不等式可得答案．
(1)正数x，y满足，所以，
所以，
当且仅当等号成立，
即得证.
(2)正数x，y满足，由柯西不等式可得
，
当且仅当即等号成立.，
即得证.
10．（2022·江西赣州·二模（理））不等式对于恒成立．
(1)求证：；(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式可得出，再利用基本不等式可证得结论成立；
（2）利用基本不等式可得出，，，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.
(1)证明：因为对于恒成立，
又因为，所以，
由基本不等式可得，，，
所以，，
所以，所以.
(2)证明：因为，所以，所以，
同理可得：，，
所以，
所以.
11．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知正数a，b，c满足．
(1)求证：； (2)求证：．
【答案】(1)证明详见解析；
(2)证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解；
（2）结合（1）的结论，以及基本不等式的公式，即可求解.
(1)证明：∵，
当且仅当a=b=c时，等号成立，
设，∴，
即，解得，
∵a，b，c为正数，∴，∴.
(2)∵
由（1）可得，∴
∴，
∵，当且仅当时，等号成立.
∴，当且仅当时，等号成立.
12．（2022·全国·模拟预测（文））已知，，均为正实数，且．证明：
(1)； (2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据，，都为正整数，且，利用基本不等式证明；
（2）法一：利用基本不等式得到，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy不等式证明.
(1)∵，，都为正整数，且．
∴，
当且仅当时“=”成立．
(2)法一：由题意得
①+②+③，得，
当且仅当时“=”成立．
法二：由Cauchy不等式，得．
令，
则．
令，则在上单调递增．
∴，即．
13．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知a，b，c为正数，且满足．
(1)证明：； (2)证明：
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）运用分析法，结合基本不等式进行证明即可；
（2）运用分析法，结合柯西不等式进行证明即可.
(1)∵a，b，c为正数，要证，∵
只需证，即证，即证，
∵a，b，c为正数，∴，∴，
∴∴，
∴当且仅当时取等；
(2)要证，只需证，即证，
根据柯西不等式可，
当且仅当取等号．从而.
14．（2022·全国·模拟预测（理））已知，，是不全相等的正实数，且有．
(1)求证：； (2)求证：．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）（2）利用基本不等式证明即可；
(1)证明：因为，，均为正数，
所以当且仅当时取等号，
当且仅当时取等号，
当且仅当时取等号，
所以
因为，所以
所以，
即，
解得，当且仅当时取等号，
又，，是不全相等的正实数，所以；
(2)证明：因为，，均为正数，
所以当且仅当时取等号，
当且仅当时取等号，
当且仅当时取等号；
所以，
即当且仅当时取等号，
又，，是不全相等的正实数，所以
15．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a，b，c均为正数，且．
(1)求的最小值；(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
（2）利用柯西不等式证明即可；
(1)解：，，都是正数，且，，
当且仅当即时等号，
即的最小值为；
(2)证明：由柯西不等式得
即，
故不等式成立，
当且仅当时等号成立；