新高考数学概率统计分章节特训专题19概率最值问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份新高考数学概率统计分章节特训专题19概率最值问题专题练习(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了 绿水青山就是金山银山等内容，欢迎下载使用。
(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？
(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为，且相互独立．
①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为，求的最大值点；
②若以①中的作为的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润（单位：元）的期望．

例2． 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
例3． 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．
例4． 为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．
（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
例5． 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
例6． 已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量和.根据市场分析， 和的分布列如下.
（1）在A，B两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求和；
（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和.求的最小值，并指出为何值时，取到最小值.
例7． 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种水果一天需求量（单位：公斤）的分布列和数学期望；
（2）设9月份一天销售特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？
例8． 长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于，需求量为600桶；如果最高气温（单位：）位于区间，需求量为400桶；如果最高气温低于，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列；
（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为（单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量（单位：桶）为多少时，的均值取得最大值？
例9． 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．
例10．将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围(单位：立方米)
5%
10%
0.8
0.2
2%
8%
12%
0.2
0.5
0.3
气温范围
天数
4
14
36
21
15
最高气温（）
天数
2
16
36
25
7
4
市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4
中
0.4
差
0.2
专题19 概率最值问题
例1． 某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？
(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为，且相互独立．
①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为，求的最大值点；
②若以①中的作为的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润（单位：元）的期望．
【解析】（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A
则
答：该盒芯片可出厂的概率为．
(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率

当且仅当，即时取“”号
故的最大值点．
②由题设知，
设这箱芯片不合格品个数为
则
故
则
这箱芯片最终利润的期望是72元．
例2． 绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
【解析】解：（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的概率为0.7，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
（元，
则5000个游客的平均利润为5000元，
当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的概率为0.2，
设每个游客的利润为，则是随机变量，其分布列为：
（元，
则5000个游客的平均利润为（元，
该项目每天的平均利润比调整前多10000元．
（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，
不被带走的可能性为，
设每个游客的利润为元，则是随机变量，其分布列为：
，
当时，有最大值3.45元，
当定价为13元时，日平均利润取最大值为元．
例3． 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．
【解析】解：（1）对于一个坑而言，要补种的概率为．
有3个坑需要补种的概率为：，
要使最大，只须，解得，
，故，6，7．
，
所以当为5或6时，有3个坑要补播种的概率最大．最大概率为．
（2）时，要补播种的坑的个数的所有的取值分别为0，1，2，3，4，，
，，，
，．
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望．
例4． 为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8，鱼苗乙、丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立．
（1）试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为，求的分布列和数学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响，使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了．若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
【解析】解：（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．
故的分布列为：
．
（2）根据已知乙种鱼苗自然成活的概率为0.9，
依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为，
一尾乙种鱼苗的平均收益为元．
设购买尾乙种鱼苗，为购买尾乙种鱼苗最终可获得的利润，
则，解得．
所以需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于37.6万元．
例5． 为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
【解析】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
的数学期望.
（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，
，
由，解得，又，所以当时概率最大．
即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.
例6． 已知A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量和.根据市场分析， 和的分布列如下.
（1）在A，B两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目A和B所获得的利润，求和；
（2）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差之和.求的最小值，并指出为何值时，取到最小值.
【解析】（1）
（2）
,
当时，取最小值3.
例7． 某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表
以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．
（1）求今年9月份这种水果一天需求量（单位：公斤）的分布列和数学期望；
（2）设9月份一天销售特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？
【解析】解析：（1）今年9月份这种水果一天的需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤，
，，

于是的分布列为：
的数学期望为：．
（2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑，
当时，
若气温不低于30度，则；
若气温位于[25,30)，则；
若气温低于25度，则；
此时
当时，
若气温不低于25度，则；
若气温低于25度，则；
此时；
所以时，的数学期望达到最大值，最大值为11900．
例8． 长沙某超市计划按月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶5元，售价为每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部处理完毕.根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于，需求量为600桶；如果最高气温（单位：）位于区间，需求量为400桶；如果最高气温低于，需求量为200桶.为了确定今年九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求九月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列；
（2）设九月份一天销售这种冰激凌的利润为（单位：元），当九月份这种冰激凌一天的进货量（单位：桶）为多少时，的均值取得最大值？
【解析】（1）由已知得，的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件，最高气温位于区间，为事件，最高气温不低于25为事件，
根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，
可知，
故六月份这种冰激凌一天的需求量（单位：桶）的分布列为：
（2）结合题意得当时，，
当时，，
当时，
，
当时，
，
所以当时，的数学期望取得最大值640．
例9． 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．
【解析】解:由题意可得
L1=
(q＞0).
同理可得 (q＞0)
(q＞0)4分
(Ⅱ) 解:由期望定义可知
(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)可知是产量q的函数,设
(q＞0)
得0解得
(舍去).
当0＜q＜10时,＞0;当q＞10时,＜0
可知,当q=10时, f(q)取得最大值,即最大时的产量q为10.
例10．将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数（如时，此数为，共有15个数字，），现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
（1）求；
（2）当时，求的表达式；
（3）令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
【解析】（1）解：当时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，
所以恰好取到0的概率为
（2）
（3）当
当
当即同理有
由可知所以当时，,
当时，
当时，，
当时，
由关于k单调递增，故当，最大值为
又，所以当时，最大值为

15

0.3
0.7

5

0.8
0.2





0
1
2
3
4




0
1
2
3
0.002
0.044
0.306
0.648
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围(单位：立方米)
0
1
2
3
5%
10%
0.8
0.2
2%
8%
12%
0.2
0.5
0.3
气温范围
天数
4
14
36
21
15
2000
3500
5000
0.2
0.4
0.4
最高气温（）
天数
2
16
36
25
7
4

200
400
600




市场情形
概率
价格与产量的函数关系式
好
0.4
中
0.4
差
0.2