高考数学核心考点专题训练专题3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，单空题等内容，欢迎下载使用。

有下列四个命题：
p1：∀x∈R，sinx≤1．p2：∃n∈N，n2>2n
p3：a+b=0的充要条件是ab=−1．
p4：若p∨q是真命题，则p一定是真命题．
其中真命题是( )
A. p1，p2B. p2，p3C. p3，p4D. p1，p4
下列有关命题的说法中错误的是( )
A. 若p∨q为真命题，则p,q中至少有一个为真命题．
B. 命题：“若y=f(x)是幂函数，则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题．
C. 命题“∀n∈N∗，有f(n)∈N∗且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N∗，有f(n0)∈N∗且f(n0)>n0”.
D. ''a=−1''是“直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+a−1y+a2−1=0平行”的充要条件。
下列命题中的假命题是( )
A. ∃x0∈(0,+∞)，x0x+1
C. ∀x>0，5x>3xD. ∃x0∈R，lnx0<0
有下面四个判断，其中正确的个数是( )
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2(a−b−1)”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2(a−b−1)”
A. 0B. 1C. 2D. 3
已知p：∀x∈R，ax2+ax+1>0，q：∃x0∈0,π4，aA. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]
给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”；
④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
下列说法中错误的是( )
A. “x<1”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件
B. 命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为“∃x0∈R，sin x0>1”
C. 命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”
D. 设命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则(¬p)∨(¬q)为真命题
下列有关命题的叙述，错误的个数为( )
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
②“x>5”是“x2−4x−5>0”的充分不必要条件
③若命题p:∃x0∈R，使得x02+x0−1<0，则¬p:∀x∈R使的x2+x−1≥0
④命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2−3x+2≠0”
A. 1B. 2C. 3D. 4
以下四个命题：
①“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题 ②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
③“a=2”是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件
④对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则¬p为：∀x∈R，x2+x+1≥0其中真命题的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
下列命题中正确的是( )
A. 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B. “ab>0”是“ba+ab⩾2”的充要条件
C. 命题“x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2−3x+2≠0”
D. 命题p：∃x∈R，使得x2+x−1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x−1>0
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
下列结论：①若命题p:存在x∈R，使得tanx=1；命题q:对任意x∈R，x2−x+1>0，则命题“p且¬q”为假命题； ②已知直线l1:ax+3y−1=0，l2:x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件为ab=−3；③命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2−3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为___________．
(1)下列命题：
①奇数都不能被2整除；②有的实数是无限不循环小数；③正四棱柱的侧面都是正方形；④角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；⑤有的菱形是正方形；⑥存在四边形其内角和大于360°.其中既是全称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
(2)已知p:∃x0∈R,x02+4x0+1(3)已知px:2x−4x−m≤0，若p(1)是假命题，3p(2)−2p(3)是真命题，则实数m的取值范围为________．
(4)已知p：圆C:x2+y2−4x+4y−1=0上恰好有2个不同的点到直线l：3y+4x+4a=0的距离为1；q：不等式x2−2x>a−1的解集为R.若p∧¬q为真命题，则实数a的取值范围是________．
对于实数m，若两函数f(x)，g(x)满足：①∀x∈[m,+∞),f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(−∞,m],f(x)g(x)<0，则称函数f(x)和g(x)互为“m相异”函数．若f(x)=ax2+ax−1和g(x)=x−1互为“1相异”函数，则实数a的取值范围是_________．
下列命题中正确结论的序号是___________
①命题：“若x2−3x+2=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2−3x+2≠0”
②“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件
③命题：“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”
④若“p∨q”为假命题，则p,q均为假命题
⑤若命题p:x∈A∩B，则命题¬p是x∉A或x∉B
已知命题P:∀x∈R，lnx2+x+a>0恒成立，命题Q:∃x0∈−2,2，使得2a≤2x0，若命题P∧Q为真命题，则a的取值范围是____．
已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0−a=0；命题q：当x∈13,3时，x+4x>a恒成立．若“p∧q”与“非p”同时为假命题，则实数a的取值范围是________．
专题3 全称量词与存在量词
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
有下列四个命题：
p1：∀x∈R，sinx≤1．p2：∃n∈N，n2>2n
p3：a+b=0的充要条件是ab=−1．
p4：若p∨q是真命题，则p一定是真命题．
其中真命题是( )
A. p1，p2B. p2，p3C. p3，p4D. p1，p4
【答案】A
【解析】对于p1：∀x∈R，，因为正弦函数值域为−1,1，所以该命题为真命题；
对于p2：∃n∈N， ，因为当n=3时，32>23，所以该命题为真命题；
对于p3：a+b=0的充要条件是，因为需要保证b≠0，而a+b=0中b可以为0，所以该命题为假命题；
对于p4：若p∨q是真命题，则p一定是真命题，因为若p∨q是真命题，则有可能p为真，也有可能q为真，所以该命题为假命题．
所以其中的真命题是p1和p2，
故选A．
下列有关命题的说法中错误的是( )
A. 若p∨q为真命题，则p,q中至少有一个为真命题．
B. 命题：“若y=f(x)是幂函数，则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题．
C. 命题“∀n∈N∗，有f(n)∈N∗且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N∗，有f(n0)∈N∗且f(n0)>n0”.
D. ''a=−1''是“直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+a−1y+a2−1=0平行”的充要条件。
【答案】C
【解析】解：A.若p∨q为真命题，则p,q中至少有一个为真命题.为真命题；
B.命题：“若y=f(x)是幂函数，则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.为假命题，正确；
C.命题“∀n∈N∗，有f(n)∈N∗且f(n)≤n”的否定形式是“∃n0∈N∗，有f(n0)∈N∗ 且f(n0)>n0”.不正确；
D.a=−1是“直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a−1)y+a2−1=0平行”的充要条件正确．
故选C．
下列命题中的假命题是( )
A. ∃x0∈(0,+∞)，x0x+1
C. ∀x>0，5x>3xD. ∃x0∈R，lnx0<0
【答案】A
【解析】解：时，x>sinx，所以∃x0∈(0,+∞)，x0x∈(−∞,0)，令g(x)=ex−x−1，可得g'(x)=ex−1<0，
函数是减函数，g(x)>g(0)=0，可得∀x∈(−∞,0)，ex>x+1恒成立．
由指数函数的性质的可知，∀x>0，5x>3x正确；
∃x0∈R，lnx0<0，的当x∈(0,1)时，恒成立，所以正确．
故选A．
有下面四个判断，其中正确的个数是( )
①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题
②若“p或q”为真命题，则p、q均为真命题
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2(a−b−1)”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2(a−b−1)”
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】解：①命题：“设a、b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”是一个真命题，所以①是真命题；
②若“p或q”为真命题，一真即真，所以p、q均为真命题说法不正确；
③命题“∀a、b∈R，a2+b2≥2(a−b−1)”的否定是：“∃a、b∈R，a2+b2≤2(a−b−1)”不满足全称命题的否定是特称命题，所以不正确；
正确命题的个数是1个．故选B．
已知p：∀x∈R，ax2+ax+1>0，q：∃x0∈0,π4，aA. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]
【答案】B
【解析】解：根据题意可得，命题p：①a=0时，则恒成立；
②a≠0时，则需a>0△=a2−4a<0⇒0故a范围为0≤a<4；
命题q：∵∃x0∈0,π4，a当p∧q为真时，则a的范围为0≤a<1．
故选：B．
给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”；
④在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故①错误；
②命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a⩽2b−1”，故②正确；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1<1”，故③正确；
④在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，
故“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故④正确．
故选C．
下列说法中错误的是( )
A. “x<1”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件
B. 命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为“∃x0∈R，sin x0>1”
C. 命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”
D. 设命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则(¬p)∨(¬q)为真命题
【答案】C
【解析】解：A.x2−3x+2>0的解为x<1或x>2，∴“x<1”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件，故A正确；
B.由全称命题的否定为存在性命题知命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为“∃x0∈R，sin x0>1”，故B正确；
C.命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x,y不都是偶数，则x+y不是偶数”，故C错误；
D.命题p正确，命题q不正确，例如lg10=1>0，那么是真命题，故D正确．
故选C．
下列有关命题的叙述，错误的个数为( )
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
②“x>5”是“x2−4x−5>0”的充分不必要条件
③若命题p:∃x0∈R，使得x02+x0−1<0，则¬p:∀x∈R使的x2+x−1≥0
④命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2−3x+2≠0”
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不一定为真命题，所以①错误，
对于②，由x2−4x−5>0可得x>5或x<−1，所以“x>5”是“x2−4x−5>0”的充分不必要条件，所以②正确，
对于③，根据特称命题的否定为全称命题，可知③正确，
对于④，命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2−3x+2≠0”，所以④错误，
所以错误命题的个数为2．
故选B．
以下四个命题：
①“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题 ②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
③“a=2”是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件
④对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则¬p为：∀x∈R，x2+x+1≥0其中真命题的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】解：对于①，若x=y，则x2=y2为真命题，所以其逆否命题为真命题，故①正确；
对于②，若p∧q为假命题，则p与q至少有一个为假命题，故②错误；
对于③，若函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数，则a>1，所以“a=2”是“函数fx=lgax在区间0,+∞上为增函数”的充分不必要条件，故③正确；
对于④，命题，则¬p为：∀x∈R，x2+x+1≥0，故④正确．
故选B．
下列命题中正确的是( )
A. 若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B. “ab>0”是“ba+ab⩾2”的充要条件
C. 命题“x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2−3x+2≠0”
D. 命题p：∃x∈R，使得x2+x−1<0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x−1>0
【答案】B
【解析】解：选项A，若p∨q为真命题，则p与q可一真一假，所以p∧q不一定为真命题，所以A错误；
选项B，若ab>0，则ba>0，由基本不等式可知，“ab>0”是“ba+ab⩾2”的充要条件，所以B正确；
选项C，命题“x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2−3x+2≠0”，所以C错误；
选项D，命题p：，使得x2+x−1<0，则：，使得x2+x−1≥0，所以 D错误；
故选B．
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
下列结论：①若命题p:存在x∈R，使得tanx=1；命题q:对任意x∈R，x2−x+1>0，则命题“p且¬q”为假命题； ②已知直线l1:ax+3y−1=0，l2:x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件为ab=−3；③命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2−3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为___________．
【答案】①③
【解析】解：对于①，p真，q真，所以命题p∧¬q是假命题，故①正确；
对于②，当a=b=0时，l1⊥l2也成立，故②错误；
对于③，根据逆否命题的定义可知，“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0是正确的，
所以正确结论的序号为①③．
故答案为①③．
(1)下列命题：
①奇数都不能被2整除；②有的实数是无限不循环小数；③正四棱柱的侧面都是正方形；④角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；⑤有的菱形是正方形；⑥存在四边形其内角和大于360°.其中既是全称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
(2)已知p:∃x0∈R,x02+4x0+1(3)已知px:2x−4x−m≤0，若p(1)是假命题，3p(2)−2p(3)是真命题，则实数m的取值范围为________．
(4)已知p：圆C:x2+y2−4x+4y−1=0上恰好有2个不同的点到直线l：3y+4x+4a=0的距离为1；q：不等式x2−2x>a−1的解集为R.若p∧¬q为真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1)①④
(2)−∞,−3
(3)[−4,−2)
(4)2,92
【解析】②⑤⑥含存在量词，是特称命题；①③④是全称命题，
①不能被2整除的数是奇数，故①是真命题；
③底面是正方形的正棱柱是正四棱柱，侧面可能是正方形，也可能是矩形，
故③假命题；
④角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是角平分线的性质，故④是真命题．
故答案为①④．
(2)【解答】
解：由于命题p:∃x0∈R,x02+4x0+1故答案为−∞,−3．
(3)【解答】
解：因为p(1)是假命题，所以2−4−m>0，解得m<−2．
又3p(2)−2p(3)是真命题，所以3(4−8−m)≤2(8−12−m)，解得m≥−4．
故实数m的取值范围是[−4,−2)．
故答案为[−4,−2)．
(4)【解答】
解：将圆C化成标准方程，得(x−2)2+(y+2)2=9，可知圆心C(2,−2)，半径为3．
由题知圆心C到直线l：3y+4x+4a=0的距离d=|2+4a|5．
若p为真命题，可得2若q为真命题，则a<(x−1)2恒成立，因为(x−1)2≥0恒成立，所以a<0，
由p∧¬q为真命题，得p为真命题且q为假命题，所以−112故答案为2,92．
对于实数m，若两函数f(x)，g(x)满足：①∀x∈[m,+∞),f(x)<0或g(x)<0；②∃x∈(−∞,m],f(x)g(x)<0，则称函数f(x)和g(x)互为“m相异”函数．若f(x)=ax2+ax−1和g(x)=x−1互为“1相异”函数，则实数a的取值范围是_________．
【答案】−∞,−4
【解析】解：依题意，函数f(x)=ax2+ax−1和g(x)=x−1互为“1相异”函数，
则函数f(x)，g(x)满足：
或g(x)<0；．
∵对于且恒成立，
∴由或g(x)<0知：
对于恒成立；
由知：
，使得f(x)>0．
∵f(x)=ax2+ax−1，
当a>0时，由二次函数的图象和性质知，不满足条件①；
当a=0时，不满足条件②；
当a<0时，二次函数f(x)=ax2+ax−1图象开口向下，对称轴方程为x=−12，f0=−1<0
根据条件①②，由二次函数的图像特征，知：fxmax=f−12>0即14a−12a−1>0，
∴a<−4．
故答案为：−∞,−4．
下列命题中正确结论的序号是___________
①命题：“若x2−3x+2=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2−3x+2≠0”
②“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件
③命题：“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”
④若“p∨q”为假命题，则p,q均为假命题
⑤若命题p:x∈A∩B，则命题¬p是x∉A或x∉B
【答案】①③④⑤
【解析】解：对于①，若x2−3x+2=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2−3x+2≠0”，①正确；
对于②，尽管有a>b，但是当c=0时，ac2=bc2，∴“a>b”不是“ac2>bc2”的充分条件，∴②错误；
对于③，存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”③正确；
对于④，由复合命题的真值表知，若“p∨q”为假命题，则p,q均为假命题，④正确；
对于⑤，由命题的否定规则知：若命题p:x∈A∩B，则命题¬p是x∉A或x∉B正确，∴⑤正确．
故答案为①③④．
已知命题P:∀x∈R，lnx2+x+a>0恒成立，命题Q:∃x0∈−2,2，使得2a≤2x0，若命题P∧Q为真命题，则a的取值范围是____．
【答案】(54,2]
【解析】解：因为命题，ln(x2+x+a)>0恒成立，
所以x2+x+a−1>0对于恒成立，
即Δ=1−4(a−1)<0，解得a>54；
因为命题，使得2a⩽2x0，
所以a≤2，
因为命题P∧Q为真命题，
所以命题P与Q均为真命题，
则a>54a≤2，即 54故答案为(54,2]．
已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0−a=0；命题q：当x∈13,3时，x+4x>a恒成立．若“p∧q”与“非p”同时为假命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】[4,+∞)
【解析】解：当p为真命题时，Δ=4+4a≥0，解得a≥−1．
当q为真命题时，f(x)=x+4x在区间13,2上单调递减，在区间[2,3]上单调递增，所以x+4xmin=4，
因为当x∈13,3时，x+4x>a恒成立，所以则a<4．
若“p∧q”与“非p同时为假命题，则p真q假，
则a⩾−1a⩾4，解得a≥4．