高考数学核心考点专题训练专题6二次函数与幂函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题6二次函数与幂函数(原卷版+解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−5是幂函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a，b∈R，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值( )
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
已知函数f(x)=3x+x，g(x)=lg3x+x，h(x)=x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
已知函数y=−axa+b−1是幂函数，直线mx−ny+2=0(m>0,n>0)过点(a,b)，则n+1m+1的取值范围是( )
A. −∞,13⋃3,+∞B. (1,3)
C. 13,3D. 13,3
已知函数fx=x2−m是定义在区间[−3−m,m2−m]上的奇函数，则( )
A. f(m)f(1)
C. f(m)=f(1)D. f(m)与f(1)大小不能确定
对于幂函数f(x)=x45，若0A. f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2B. f(x1+x22)C. f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2D. 无法确定
若幂函数f(x)的图象过点(22,12)，则函数g(x)=f(x)ex的递增区间为( )
A. (0,2)B. (−∞,0)∪(2,+∞)
C. (−2,0)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)
已知幂函数f(x)=(n2+2n−2)xn2−3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则n的值为( )
A. −3B. 1C. 2D. 1或2
如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )
A. B. C. D.
若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A. d>c>b>aB. a>b>c>dC. d>c>a>bD. a>b>d>c
已知f(x)=x12，若0A. f(a)C. f(a)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知幂函数f(x)=x2m2+m−3(m∈Z)是奇函数，且f(5)<1，则m的值为 ．
若对任意的，均有(3x+a)3≤8x3，则a的取值范围是 ．
如果定义在区间D上的函数f(x)同时满足：
ⅰ.对于任意x∈D，均有f(−x)+f(x)=0；
ⅱ.对于任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则称函数f(x)为“满意函数”．
则下列四个函数中：
①f(x)=x2；
②f(x)=−2x；
③f(x)=x3+x；
④f(x)=x2,x≥0−x2,x<0．
称为“满意函数”的有 (填序号)．
已知幂函数f(x)=xm−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，求满足f(a+1−m3)三、解答题（本大题共3小题，共30分）
已知幂函数y=x−p2+2p+32(p∈Z)在R上的图像关于y轴对称，并在(0,+∞)为严格增函数．
(1)求p的值，并写出此函数的表达式;
(2)设函数y=x−p2+p+32−2qx+1+2q，在(1)的条件下，问是否存在实数q，使得此函数在区间[0,2]上有最小值为−2?若存在，求出q的值;若不存在，说明理由．



已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递减．
(1)求m的值并写出f(x)的解析式；
(2)试判断是否存在a>0，使得函数g(x)=(2a−1)x−af(x)+1在[−1,2]上的值域为[−4,11]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．





已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x3m−3是奇函数．
(1)求fx的解析式；
(2)若f(3t)+f(2t−3t+1)<0，求实数t的取值范围．
专题6 二次函数与幂函数
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−5是幂函数，对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a，b∈R，且a+b>0，则f(a)+f(b)的值( )
A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断
【答案】A
【解析】由函数f(x)=(m2−m−1)xm2+2m−5是幂函数，
可得m2−m−1=1，解得m=2或m=−1．
当m=2时，f(x)=x3;
当m=−1时，f(x)=x−6．
对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
所以函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数，
故f(x)=x3．
又a+b>0，所以a>−b，所以f(a)>f(−b)=−f(b)，
则f(a)+f(b)>0．
故选A．
已知函数f(x)=3x+x，g(x)=lg3x+x，h(x)=x3+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>a>bD. b>a>c
【答案】B
【解析】f(x)=3x+x=0，则x=−3x，
g(x)=lg3x+x，则x=−lg3x，
h(x)=x3+x，则x=−x3，
∵函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别为a，b，c，
作出函数y=−3x，y=−lg3x，y=−x3，y=x的图象如图：
由图可知：b>c>a，
故选：B．
已知函数y=−axa+b−1是幂函数，直线mx−ny+2=0(m>0,n>0)过点(a,b)，则n+1m+1的取值范围是( )
A. −∞,13⋃3,+∞B. (1,3)
C. 13,3D. 13,3
【答案】D
【解析】∵函数y=−axa+b−1是幂函数，
∴−a=1b−1=0解得a=−1b=1,
∵直线mx−ny+2=0(m>0,n>0)过点(−1,1)
∴−m−n+2=0，
∴m+n=2，
∴n=2−m，
∵n>0，∴2−m>0，∴m<2，
又∵m>0，∴0而n+1m+1=2−m+1m+1=3−mm+1=4m+1−1，
由143<4m+1<4，
∴13<4m+1−1<3，
即n+1m+1的取值范围是(13,3)．
故选D．
已知函数fx=x2−m是定义在区间[−3−m,m2−m]上的奇函数，则( )
A. f(m)f(1)
C. f(m)=f(1)D. f(m)与f(1)大小不能确定
【答案】A
【解析】函数f(x)=x2−m是定义在区间[−3−m,m2−m]上的奇函数，
所以−3−m+m2−m=0，得m=3或m=−1，
当m=3时，函数fx=x−1在区间−6,6的x=0处不成立，
当m=−1时，函数fx=x3在区间[−2,2]上单调递增，有f−1即fm故选A．
对于幂函数f(x)=x45，若0A. f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2B. f(x1+x22)C. f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2D. 无法确定
【答案】A
【解析】幂函数f(x)=x45在(0,+∞)上是增函数，大致图象如图所示．
设A(x1,0)，C(x2,0)，其中0∵|EF|>12(|AB|+|CD|)，
∴f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，故选A．
若幂函数f(x)的图象过点(22,12)，则函数g(x)=f(x)ex的递增区间为( )
A. (0,2)B. (−∞,0)∪(2,+∞)
C. (−2,0)D. (−∞,−2)∪(0,+∞)
【答案】A
【解析】设幂函数f(x)=xa 图象过点22,12，
代入可得12=22a解得a=2，
所以函数g(x)=f(x)ex=x2ex，所以g'(x)=2x−x2ex，
令g'(x)>0，即2x−x2ex>0，解得0故选A．
已知幂函数f(x)=(n2+2n−2)xn2−3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则n的值为( )
A. −3B. 1C. 2D. 1或2
【答案】B
如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥，
设圆锥的底面半径为R，高为H，水流的速度是v，
则由题意得vt=13π(hH)2R2h，
vt≥0，解得h=33vH2tπR2，这是一个幂型函数，
所以容器中水面的高度h随时间t变化的图象类似于幂函数y=3x的图象，
故选B．
若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )
A. d>c>b>aB. a>b>c>dC. d>c>a>bD. a>b>d>c
【答案】B
【解析】由幂函数的图象可知，在0,1上，幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，
由题图知a>b>c>d．
故选B．
已知f(x)=x12，若0A. f(a)C. f(a)【答案】C
【解析】因为函数f(x)=x12在(0,+∞)上是增函数，
由0故 f(a)< f(b)< f(1b)< f(1a)，
故选C．
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知幂函数f(x)=x2m2+m−3(m∈Z)是奇函数，且f(5)<1，则m的值为 ．
【答案】0
【解析】因为幂函数f(x)=x2m2+m−3(m∈Z)，且f(5)<1，
52m2+m−3<1，
即2m2+m−3<0，
解得−32又因为m∈Z，所以m=−1，或m=0；
幂函数f(x)=x2m2+m−3(m∈Z)是奇函数，
当m=−1时，2m2+m−3=−2，不符题意，舍去；
当m=0时，2m2+m−3=−3，符合题意；
所以m的值为0．
故答案为：0．
若对任意的，均有(3x+a)3≤8x3，则a的取值范围是 ．
【答案】(−∞,−1]
【解析】构造函数y=x3，根据幂函数的性质得到该函数为增函数，
故(3x+a)3≤8x3=(2x)3，所以3x+a≤2x，
即x+a≤0对任意的恒成立，
所以a+2+a≤0，解得：a≤−1．
所以a的取值范围为(−∞,−1]．
故答案为(−∞,−1]．
如果定义在区间D上的函数f(x)同时满足：
ⅰ.对于任意x∈D，均有f(−x)+f(x)=0；
ⅱ.对于任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则称函数f(x)为“满意函数”．
则下列四个函数中：
①f(x)=x2；
②f(x)=−2x；
③f(x)=x3+x；
④f(x)=x2,x≥0−x2,x<0．
称为“满意函数”的有 (填序号)．
【答案】③④
【解析】由函数满足对于任意x∈D，均有f(−x)+f(x)=0；
对于任意x1，x2∈D且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，
则函数f(x)为单调递增的奇函数，
①f(x)=x2为偶函数，不符合题意，
②f(x)=−2x在定义域(0,+∞)∪(−∞,0)上不单调，不符合题意；
③f(x)=x3+x，则f(−x)=−x3−x=−f(x)，
设x1>x2，f(x1)−f(x2)=x13+x1−x23−x2=x13−x23+x1−x2，
根据幂函数的性质可知x13>x23,x1>x2，故f(x1)−f(x2)>0，
所以f(x)在R上单调递增，符合题意；
④f(x)=x2,x≥0−x2,x<0的图象如图所示，
图象关于原点对称，为奇函数且在R上单调递增，符合题意．
故答案为：③④．
已知幂函数f(x)=xm−3(m∈N∗)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，求满足f(a+1−m3)【答案】(23,43)∪(43,103)
【解析】解：∵函数f(x)=xm−3在(0,+∞)上递减，
∴m−3<0，解得m<3，∵m∈N∗，
∴m=1，2，又∵函数的图象关于y轴对称，
∴f(x)为偶函数，∴m−3是偶数，
又2−3=−1为奇数，1−3=−2为偶数，∴m=1，
由f(a+1−m3)2a−83>0
解得23故实数a的取值范围为(23,43)∪(43,103).
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
已知幂函数y=x−p2+2p+32(p∈Z)在R上的图像关于y轴对称，并在(0,+∞)为严格增函数．
(1)求p的值，并写出此函数的表达式;
(2)设函数y=x−p2+p+32−2qx+1+2q，在(1)的条件下，问是否存在实数q，使得此函数在区间[0,2]上有最小值为−2?若存在，求出q的值;若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)因为y=x−p2+2p+32(p∈Z) 在0,+∞为增函数，
所以−p2+2p+32>0，即−p2+2p+3>0 解得−1又因为p∈Z，所以p=0,1,2
因为fx为偶函数，把p=0,1,2代入 −p2+2p+32，只有p=1满足，
所以p=1，y=x2，
(2)由(1)知y=f(x)=x2−2qx+1+2q，即对称轴x=q，
由x∈0,2，根据对称轴在不在该区间内，分类讨论：
当q<0时；f(x)min=f(0)=1+2q=−2，解得q=−32，满足q<0，
即q=−32，
当0≤q≤2时；f(x)min=f(q)=−q2+2q+1=−2 ，解得q=3,q=−1，
不满足0≤q≤2，舍去；
当q>2时；f(x)min=f(2)=4−4q+1+2q=−2，解得q=72，满足q>0，即q=72，
综上所述：存在q=−32或72
已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递减．
(1)求m的值并写出f(x)的解析式；
(2)试判断是否存在a>0，使得函数g(x)=(2a−1)x−af(x)+1在[−1,2]上的值域为[−4,11]，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】 解：(1)因为幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递减，
所以m2−2m−2=1,m2−4m+2<0,解得m=3或m=−1(舍去)，
所以m=3；f(x)=x−1．
(2)由(1)得f(x)=x−1，所以g(x)=(a−1)x+1，
假设存在a>0满足题意，
则当a−1>0，即a>1时，g(x)在[−1,2]上单调递增，
所以g(−1)=−4,g(2)=11⇒1−a+1=−4,2a−2+1=11⇒a=6；
当a−1=0，即a=1时，g(x)=1显然不成立；
当a−1<0，即a<1时，g(x)在[−1,2]上单调递减，
所以g(−1)=11,g(2)=−4⇒1−a+1=11,2a−2+1=−4,a无解．
综上所述，存在a=6满足题意．
已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x3m−3是奇函数．
(1)求fx的解析式；
(2)若f(3t)+f(2t−3t+1)<0，求实数t的取值范围．
【答案】解：(1)因为f(x)=(m2−m−1)x3m−3是释函数，
所以m2−m−1=1，即m=−1或m=2．
当m=−1时，f(x)=x−6，函数f(x)为偶函数，不合题意；
当m=2时，f(x)=x3，函数f(x)为奇函数，符合题意．
由上知f(x)=x3．
(2)因为f(x)为R上的增函数，且是奇函数，
所以f(3t)+f(2t−3t+1)<0可化为f(3t)<−f(2t−3t+1)
由函数奇偶性可得f(3t)再由函数单调性可得3t<3t+1−2t，
即32t>12，可得t>lg3212．