高考数学核心考点专题训练专题10利用导数研究函数的单调性(原卷版+解析)

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这是一份高考数学核心考点专题训练专题10利用导数研究函数的单调性(原卷版+解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

已知函数f(x)=e|2x|−4ax2，对任意x1，x2∈(−∞,0]且x1≠x2，都有 (x2−x1)(f(x2)−f(x1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )
A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)+f(x)<0，对任意正数a，b，若aA. af(b)已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. (e4,+∞)B. (e2,+∞)C. (e24,+∞)D. (e22,+∞)
已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x)，当x>0时，xf'(x)−f(x)<0，若a=f(e)e,b=f(ln2)ln2,c=f(−3)−3，则a,b,c的大小关系正确的是( )
A. a函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x−2)f'(x)>0的解集为( )
A. (2,+∞)B. (−∞,−1)
C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)
已知函数f(x)=ex−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]
设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为( )
A. 23e23B. 32e23C. 23e32D. 32e32
已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f'(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A. −3eB. −2eC. eD. 2e
已知函数f(x)=xex−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是( )
A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列f(n)g(n)的前n项和大于363，则n的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
设定义域为R的函数fx满足f'x>fx，则不等式ex−1fx若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
已知函数f(x)=a−x2(0函数f(x)的定义域为R，f(0)=2，对于任意的x∈R，f(x)+f’(x)>1，则不等式exf(x)>ex+1的解集为__________．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．

已知函数fx=ax+lnx，gx=ex−1−1．
(1)讨论函数y=fx的单调性;
(2)若不等式fx≤gx+a在x∈1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．
专题10 利用导数研究函数的单调性
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）
已知函数f(x)=e|2x|−4ax2，对任意x1，x2∈(−∞,0]且x1≠x2，都有 (x2−x1)(f(x2)−f(x1))<0，则实数a 的取值范围是 ( )
A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]
【答案】A
【解析】解：因为对任意x1<0，x2<0，都有x2−x1fx2−fx1<0，
所以函数fx在−∞,0单调递减．
又因为f(x)=e|2x|−4ax2=e−2x−4ax2，
所以f'x=−2e−2x−8ax，
因此−2e−2x−8ax≤0对−∞,0恒成立，
即4a≤−e−2xx对−∞,0恒成立．
令ℎx=−e−2xx，则ℎ'x=e−2x2x+1x2，
因此当x∈−∞,−12时，ℎ'x<0，函数ℎx是减函数；
当x∈−12,0时，ℎ'x>0，函数ℎx是增函数，
所以当x=−12时，函数ℎx有最小值ℎ−12=2e，
因此4a≤2e，即a≤e2．
故选A．
f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x)+f(x)<0，对任意正数a，b，若aA. af(b)【答案】C
【解析】解：设g(x)=xf(x)，x>0，
则g'(x)=[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)<0，
∴函数g(x)在(0,+∞)上是减函数，
∵ag(b)
即bf (b)故选C．
已知函数f(x)=ex−ax2(a∈R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. (e4,+∞)B. (e2,+∞)C. (e24,+∞)D. (e22,+∞)
【答案】C
【解析】解：令f(x)=ex−ax2=0，当x=0时显然不成立，
故a=exx2，
令g(x)=exx2，则问题转化为直线y=a与g(x)=exx2的图象有三个交点，
∵g'(x)=(x−2)exx3，
令g'(x)=0，解得x=2，
∴当x<0或x>2时，g'(x)>0，g(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，
当0g(x)在x=2处取极小值，g(2)=e24，
作出g(x)的图象如下：
要使直线y=a与曲线g(x)=exx2有三个交点，，则a>e24，
故实数a的取值范围是．
故选C．
已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f'(x)，当x>0时，xf'(x)−f(x)<0，若a=f(e)e,b=f(ln2)ln2,c=f(−3)−3，则a,b,c的大小关系正确的是( )
A. a【答案】D
【解析】解：构造函数g(x)=f(x)x，
∴g'(x)=xf'(x)−f(x)x2，
当x>0时，∵xf'(x)−f(x)<0，
∴g'(x)<0，
∴函数g(x)在(0,+∞)单调递减．
又∵函数f(x)为奇函数，
∴g(x)=f(x)x是偶函数，
∴c=f(−3)−3=g(−3)=g(3)，
∵a=f(e)e=g(e)，b=f(ln2)ln2=g(ln2)，ln2<1∴g(3)∴c故选D．
函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x−2)f'(x)>0的解集为( )
A. (2,+∞)B. (−∞,−1)
C. (−∞,−1) ∪(1,2)D. (−1,1)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】解：由图知，f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)，
所以在区间(−∞,−1)及(1,+∞)上，f'(x)>0，在(−1,1)上，f'(x)<0，
又(x−2)f'(x)>0，
所以x−2>0f'(x)>0或x−2<0f'(x)<0,
得x>2或−1即不等式(x−2)f'(x)>0的解集为(−1,1)∪(2,+∞)．
故选D．
已知函数f(x)=ex−x22−1，若f(x)≥kx在x∈[0,+∞)时总成立，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. (−∞,e]C. (−∞,2e]D. (−∞,e2]
【答案】A
【解析】解：当x=0时，f(x)≥kx显然恒成立；
当x>0时，f(x)≥kx即为ex−12x2−kx−1≥0，设g(x)=ex−12x2−kx−1(x>0)，
则g'(x)=ex−x−k，令ℎ(x)=g'(x)=ex−x−k，
ℎ'(x)=ex−1>0，
∴函数g'(x)在(0,+∞)上为增函数，
①当k≤1时，g'(x)>g'(0)=1−k≥0，故函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；
②当k>1时，g'(0)=1−k<0，g'(k)=ek−2k>0，故存在x0∈(0,k)，使得g'(x0)=0，
∴当x∈(0,x0)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，则g(x)综上所述，实数k的取值范围为(−∞,1]．
故选：A．
设点P为函数f(x)=12x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为( )
A. 23e23B. 32e23C. 23e32D. 32e32
【答案】B
【解析】解：设P(x0,y0)，由于点P为两曲线的公切点，则12x02+2ax0=3a2lnx0+b．
又在点P处的切线斜率相同，则f'(x0)=g'(x0)，即x0+2a=3a2x0，即(x0+3a)(x0−a)=0．
又a>0，x0>0，所以x0=a，于是b=52a2−3a2lna，其中a>0．
设ℎx=52x2−3x2lnx，其中x>0，则ℎ'(x)=2x(1−3lnx)，其中x>0，
所以ℎ(x)在0,e13内单调递增，在e13,+∞内单调递减，
所以实数b的最大值为ℎe13=32e23．
故选B．
已知函数f(x)=13x3+mx2+nx+2，其导函数f'(x)为偶函数，f(1)=−23，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0,2]上的最小值为( )
A. −3eB. −2eC. eD. 2e
【答案】B
【解析】f'(x)=x2+2mx+n，
要使导函数f'(x)为偶函数，则m=0，
故f(x)=13x3+nx+2，
则f(1)=13+n+2=−23，解得n=−3，
所以f'(x)=x2−3，
故g(x)=ex(x2−3)，g'(x)=ex(x2−3+2x)=ex(x−1)(x+3)，
当x∈[0,1)时，g'(x)<0，当x∈(1,2]时，g'(x)>0．
所以函数g(x)在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，
所以函数g(x)在区间[0,2]上的最小值为g(1)=e×(1−3)=−2e．
故选B．
已知函数f(x)=xex−mx+m2(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上有两个零点，则m的范围是( )
A. (0,e)B. (0,2e)C. (e,+∞)D. (2e,+∞)
【答案】D
【解析】解：由f(x)=xex−mx+m2=0得xex=mx−m2=m(x−12)，
当x=12时，方程不成立，即x≠12，
则m=xexx−12，
设ℎ(x)=xexx−12，(x>0且x≠12)，
则ℎ'(x)=(xex)'(x−12)−xex(x−12)2=ex(x2−12x−12)(x−12)2=12ex(x−1)(2x+1)(x−12)2，
∵x>0且x≠12，∴由ℎ'(x)=0得x=1，
当x>1时，ℎ'(x)>0，函数为增函数，
当0则当x=1时函数取得极小值，极小值为ℎ(1)=2e，
当0要使m=xexx−12有两个不同的根，
则m>2e即可，
即实数m的取值范围是(2e,+∞)，
方法2：由f(x)=xex−mx+m2=0得xex=mx−m2=m(x−12)，
设g(x)=xex，ℎ(x)=m(x−12)，
g'(x)=ex+xex=(x+1)ex，当x>0时，g'(x)>0，则g(x)为增函数，
设ℎ(x)=m(x−12)与g(x)=xex相切时的切点为(a,aea)，切线斜率k=(a+1)ea，
则切线方程为y−aea=(a+1)ea(x−a)，
当切线过(12,0)时，−aea=(a+1)ea(12−a)，
即−a=12a+12−a2−a，即2a2−a−1=0，得a=1或a=−12(舍)，则切线斜率k=(1+1)e=2e，
要使g(x)与ℎ(x)在(0,+∞)上有两个不同的交点，则m>2e，
即实数m的取值范围是(2e,+∞)
故选：D．
已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103，若数列f(n)g(n)的前n项和大于363，则n的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】解：∵f(x)=ax⋅g(x)(a>0且a≠1)，∴f(x)g(x)=ax，
又∵f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，
∴(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)−f(x)g'(x)g2(x)>0，
∴f(x)g(x)=ax是增函数，
∴a>1，
∵f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=103．
∴a+a−1=103，解得a=13或a=3，
综上得a=3．
∴数列{f(n)g(n)}是等比数列，fngn=3n．
∵数列{f(n)g(n)}的前n项和大于363，
∴3+32+33+…+3n=3(1−3n)1−3=12(3n+1−3)>363，
即3n+1>729，
∴n+1>6，解得n>5．
∴n的最小值为6．
故选C．
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
设定义域为R的函数fx满足f'x>fx，则不等式ex−1fx【答案】(1,+∞)
【解析】解：设F(x)=f(x)ex，则F'(x)=f'(x)−f(x)ex，
∵f'(x)>f(x)，∴F'(x)>0，即函数F(x)在定义域R上单调递增，
∵ex−1f(x)∴f(x)ex∴x<2x−1，即x>1，
∴不等式ex−1f(x)故答案为(1,+∞)．
若函数f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值为33，则a的值为________．
【答案】3−1
【解析】解：f'(x)=x2+a−2x2(x2+a)2=a−x2(x2+a)2，
当x>a时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当−a0，f(x)单调递增，
当x=a时，f(x)=a2a=33，a=32<1，不合题意．
∴f(x)最大值=f(1)=11+a=33，a=3−1，
经检验a=3−1满足题意．
故答案为3−1．
已知函数f(x)=a−x2(0【答案】3
【解析】解：因为f(x)=a−x2(0所以f'x=−2x，
所以在点P处的切线的斜率为k=f't=−2t，
又ft=a−t2，
所以在点P处切线方程为y−a−t2=−2tx−t，
令x=0，得yN=a+t2，
令y=0得xM=t2+a2t，
所以是坐标原点)的面积为：
S(t)=12a+t2·t2+a2t=14·t4+2at2+a2t=14t3+2at+a2t，
所以S't=143t2+2a−a2t2=14·3t4+2at2−a2t2，
由S't=0，得t=a3，
当0当t>a3时，S't<0，函数S(t)单调递增，
所以当t=a3时，S(t)取得最小值，此时t0=a3，
所以at0=aa3=3．
故答案为3．
函数f(x)的定义域为R，f(0)=2，对于任意的x∈R，f(x)+f’(x)>1，则不等式exf(x)>ex+1的解集为__________．
【答案】(0,+∞)
【解析】解：构造函数gx=ex·fx−ex，
则g'x=ex·fx+ex·f'x−ex
=exfx+f'x−ex>ex−ex=0，
∴gx=ex·fx−ex为R上的增函数，
∵g0=e0·f0−e0=1，
∴不等式ex·f(x)>ex+1转化为gx>g0，
∴x>0．
则解集为0,+∞．
故答案为0,+∞．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx+1．
(Ⅰ)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为(0,+∞)，
f'(x)=x−(a+1)+ax，
∵x=3是f(x)的极值点，
∴f'(3)=3−(a+1)+a3=0，解得a=3，
当a=3时，f'(x)=(x−1)(x−3)x，
当x变化时，
故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增；
(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即当x>0时，12x2−(a+1)x+alnx≥0恒成立，
设g(x)=12x2−(a+1)x+alnx，则g'(x)=x−(a+1)+ax=(x−1)(x−a)x，
(ⅰ)当a≤0时，由g'(x)<0得单减区间为(0,1)，
由g'(x)>0得单增区间为(1,+∞)，
故g(x)min=g(1)=−a−12≥0，得a≤−12；
( ii)当0由g'(x)>0得单增区间为(0,a)，(1,+∞)，
此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；
(iii)当a=1时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意；
( iv)当a>1时，由g'(x)<0得单减区间为(1,a)，
由g'(x)>0得单增区间为(0,1)，(a,+∞)，
此时g(1)=−a−12<0，∴不合题意．
综上所述，a的取值范围为(−∞,−12]．
已知函数fx=ax+lnx，gx=ex−1−1．
(1)讨论函数y=fx的单调性;
(2)若不等式fx≤gx+a在x∈1,+∞上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)函数f(x)定义域是(0,+∞)，f'(x)=a+1x=ax+1x，
当a≥0时，f'(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)单调递增，无减区间；
当a<0时，函数f(x)在(0,−1a)单调递增，在(−1a,+∞)单调递减，
(2)由已知ex−1−lnx−ax−1+a≥0在x≥1恒成立，
令F(x)=ex−1−lnx−ax−1+a，x≥1，
则F'(x)=ex−1−1x−a，易得F'(x)在[1,+∞)递增，
∴F'(x)≥F'(1)=−a，
①当a≤0时，F'(x)≥0，F(x)在[1,+∞)递增，
所以F(x)≥F(1)=0成立，符合题意．
②当a>0时，F'(1)=−a<0，且当x=ln(a+1)+1时，F'(x)=a+1−1x−a=1−1x>0，
∴∃x0∈(1,+∞)，使F'(x0)=0，
即∃x∈(1,x0)时F'(x)<0，F(x)在(1,x0)递减，F(x)综上得a≤0．
已知函数f(x)=ax+lnx，g(x)=12bx2−2x+2，a,b∈R．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)记函数ℎ(x)=f(x)+g(x)，当a=0时，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实数b的取值范围．
【答案】解：的定义域是(0,+∞)，
且 f'(x)=−ax2+1x=x−ax2；
①若a⩽0，则f'(x)>0，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，
②若a>0，令f'(x)=0，得x=a，
当0a时，f'(x)>0，
∴f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；
综上，当a⩽0时，f(x)的单调增区间是(0,+∞)，无单调减区间；
当a>0时，f(x)的单调减区间是(0,a)，单调增区间是(a,+∞)；
(2)a=0时，，
∴ℎ'(x)=bx−2+1x=bx2−2x+1x ，
∵ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，
则ℎ'(x)=0在(0,1)上有唯一实数解，且两侧异号，
由ℎ'(x)=0，得bx2−2x+1=0；
令p(x)=bx2−2x+1，则p(x)在(0,1)上有且只有一个零点，
易知p(0)=1>0，
①当b=0，由p(x)=0，得x=12，满足题意;
②当b>0时，由Δ=4−4b>0p1=b−1<0，解得0③当b<0时，Δ=4−4b>0p1=b−1<0，得b<1，故b<0；
综上所述，ℎ(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时，b<1．
故实数b的取值范围为−∞,1．x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

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