高考数学核心考点专题训练专题21平面向量的数量积(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题21平面向量的数量积(原卷版+解析)，共16页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，则△ABC为( )
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形
已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)//a
B. 向量a在向量b上的投影为102
C. a与a−b的夹角余弦值为255
D. 若c=(55,255)，则a⊥c
已知向量m=1,0，n=12,12，则下列说法正确的是( )
A. m=nB. m−n//n
C. m−n⊥nD. m与n的夹角为π3
在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心
已知|a|=6，b=(m,3)，且(b−a)⊥(2a+b)，则向量a在向量b方向上的投影的最大值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 62
已知向量a=(−1,1)，b=(m,2).若(a−b)⊥a，则向量2a+b与a+b的夹角的余弦值为( )
A. 7210B. 210C. 22D. 12
下列四个结论，正确的个数是( )
①在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；
②若，则存在唯一实数λ使得a→=λb→；
③若，，则；
④在▵ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，且AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，则▵ABC为等边三角形；
A. 1B. 2C. 3D. 4
在ΔABC中，以下命题中正确的个数是( )
①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，则动点P的轨迹必通过ΔABC的内心
②若13(OA+OB+OC)=OG，则点G是ΔABC的重心
③若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O是ΔABC的垂心
④若AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的外心
A. 1B. 2C. 3D. 4
八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论：

①OA⋅OD=−22；②OB+OH=−2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为22．
其中正确结论的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
设向量a,b,c,满足a=b=2,a⋅b=2,a−c⋅b−c=0,则c的最小值为
A. 3+12B. 3−12C. 3−1D. 3+1
在给出的下列命题中，不正确的是( )
A. 设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则点A,B,C必共线
B. 若向量a,b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)则ΔABC为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则△ABC是等边三角形
已知不共线向量OA,OB夹角为α,OA=1,OB=2,OP=1−tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0处取最小值，当0A. 0,π3B. π3,π2C. π2,2π3D. 2π3,π
二、单空题（本大题共6小题，共30分）
已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为 ．
如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=2，CA=CB=3，若AB⋅AE+AC⋅AF=7，则EF与BC的夹角的余弦值于_____.
已知AD是的斜边BC上的高，P在DA延长线上，(PB+PC)⋅AD=82，若AD的长为2，则PB⋅PC=________．
已知|a|=2，|b|=1，向量a与向量b夹角为60∘，求使向量2ta+7b与a+tb的夹角是钝角时，t的取值范围是__________。
如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=1，BC=2.直线l过△ABC的重心G，且与边AB，AC分别交于D，E两点，则CG⋅ED的最小值为________．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
18．已知，，与的夹角为60°.
（1）求的值；
（2）当实数为何值时，与垂直?
19．已知向量，满足，，.
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
20．已知向量，的夹角为，且．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求的值．
专题21 平面向量的数量积
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，则△ABC为( )
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】解：因为(ABAB+ACAC)·BC=0，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，
所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．
又因为BABA·BCBC=22，
所以∠ABC=45°，
所以三角形ABC是等腰直角三角形．
故选D．
已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则( )
A. (a+b)//a
B. 向量a在向量b上的投影为102
C. a与a−b的夹角余弦值为255
D. 若c=(55,255)，则a⊥c
【答案】C
【解析】解：对于A，向量a=(2,1)，b=(−3,1)，
所以a+b=(−1,2)，且−1×1−2x2=−5≠0，所以a+b与a不平行，所以 A错误；
对于B，向量a在向量b上的投影为a·bb=−510=−102，所以B错误：
因为a−b=(5,0)，所以cs=a⋅(a−b)|a|×|a−b|=105×5=255，所以C正确;
因为c=(55,255)，所以a⋅c=2×55+1×255=455≠0，所以a与c不垂直，所以D错误．
故选C．
已知向量m=1,0，n=12,12，则下列说法正确的是( )
A. m=nB. m−n//n
C. m−n⊥nD. m与n的夹角为π3
【答案】C
【解析】解：因为m=(1,0)，n=(12,12)，
对于A，m=1,n=122+122=22，则|m|≠|n|，故A错误；
对于B，因为m−n=12,−12，又因为12×−12−12×12≠0，所以m−n与n不平行，故B错误；
C选项，因为(m−n)·n=12×12+12×−12=0，所以，故C正确；
D选项，因为m·n=1×12+0×12=12，所以csm,n=m·nmn=121×22=22，
且，所以m与n的夹角为π4，故D错误．
故选C．
在△ABC中，设AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的( )
A. 垂心B. 内心C. 重心D. 外心
【答案】D
【解析】解：如图所示：
设线段BC的中点为D，则AB+AC=2AD．
∵AC2−AB2=2AM⋅BC，
∴(AC+AB)⋅(AC−AB)=2AM⋅BC，
∴BC⋅(AB+AC−2AM)=0，即BC⋅(2AD−2AM)=0
∴BC⋅MD=0，∴MD⊥BC且平分BC．
因此动点M的轨迹必通过△ABC的外心．
故选D．
已知|a|=6，b=(m,3)，且(b−a)⊥(2a+b)，则向量a在向量b方向上的投影的最大值为( )
A. 4B. 2C. 1D. 62
【答案】C
【解析】解：因为b=(m,3)，所以b=m2+9．
又因为(b−a)⊥(2a+b)，
所以b−a·2a+b=0，
即b2+a·b−2a2=0，
而|a|=6，
因此m2+9+a·b−12=0，解得a·b=3−m2，
所以向量a在向量b方向上的投影为a·bb=3−m2m2+9．
令t=m2+9，则m2=t2−9且t≥3，
因此a·bb=3−m2m2+9=3−(t2−9)t=12−t2t=12t−t，
显然函数y=12t−tt⩾3在[3,+∞)上单调递减，
所以当t=3时，函数y=12t−tt⩾3取得最大值，最大值为1，
因此向量a在向量b方向上的投影的最大值为1．
故选C．
已知向量a=(−1,1)，b=(m,2).若(a−b)⊥a，则向量2a+b与a+b的夹角的余弦值为( )
A. 7210B. 210C. 22D. 12
【答案】A
【解析】解：因为a=(−1,1)，b=(m,2)，
所以a−b=−1−m,−1，
因为，
所以−1×−1−m+1×−1=0，解得m=0，
所以2a+b=−2,2+0,2=−2,4，
a+b=−1,1+0,2=−1,3，
设2a+b与a+b的夹角为θ，
则csθ=2a+ba+b2a+ba+b=−2×−1+4×3−22+42×−12+32=7210．
故选A．
下列四个结论，正确的个数是( )
①在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC；
②若，则存在唯一实数λ使得a→=λb→；
③若，，则；
④在▵ABC中，若AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，且AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，则▵ABC为等边三角形；
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】解：①A>B>C，则a>b>c，由正弦定理得则sinA>sinB>sinC；故①正确，
②若b=0，a≠0，满足a//b，此时不存在实数λ，使得a→=λb→；故②错误，
③若b=0，a,c为不共线向量，满足a//b，，此时a,c不平行，故③错误，
④AB|AB|，AC|AC|分别是AB,AC方向的单位向量，向量AB|AB|+AC|AC|在∠BAC的平分线上，
由(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0知，AB=AC，，
由且AB|AB|．AC|AC|=12，可得∠CAB=60∘，
∴△ABC为等边三角形，故④正确，
故选B．
在ΔABC中，以下命题中正确的个数是( )
①若AP=λ(AB+AC)(λ∈R)，则动点P的轨迹必通过ΔABC的内心
②若13(OA+OB+OC)=OG，则点G是ΔABC的重心
③若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O是ΔABC的垂心
④若AC2−AB2=2AM⋅BC，则动点M的轨迹必通过△ABC的外心
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】解：①设D为BC中点，则AB+AC=2AD，∴AP=2λAD，即P点在中线AD上
可知P点轨迹必过ΔABC的重心，故①错误；
②因为13(OA+OB+OC)=OG，所以OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG，
化简得GA+GB+GC=0，故点G为三角形ABC的重心，故②正确；
③∵OA⋅OB=OB⋅OC，∴OB⋅(OA−OC)=0；∴OB⋅CA=0；∴OB⊥AC，
同理由 OA⋅OB=OC⋅OA，得到OA⊥BC，∴点O是△ABC的三条高的交点，故③正确；
④设BC的中点是O，AC2−AB2=(AC+AB)⋅(AC−AB)=2AO⋅BC=2AM⋅BC，
即(AO−AM)⋅BC=MO⋅BC=0，所以MO⊥BC，所以动点M在线段BC的中垂线上，
所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，故④正确；
综上，正确个数为3．
故选C．
八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则给出下列结论：

①OA⋅OD=−22；②OB+OH=−2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为22．
其中正确结论的个数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】解：对①，OA,OD的夹角为135∘，所以OA⋅OD=|OA||OD|cs 135∘=−22，故①正确；
对②，(OB+OH)2=OB2+OH2+2OB⋅OH=2，所以|OB+OH|=2，|−2OE|=2，
利用向量的加法法则，由图可发现OB+OH的方向与2OE方向相反，
所以OB+OH=−2OE，故②正确；
对③，设与AB同向的单位向量为e，由AH，AB的夹角为135∘，则AH在AB向量上的投影向量为|AH|cs 135∘·e，因为|AH|≠1，所以投影向量的模|AH|cs 135∘=22|AH|≠22，故③错误．
故选B．
设向量a,b,c,满足a=b=2,a⋅b=2,a−c⋅b−c=0,则c的最小值为
A. 3+12B. 3−12C. 3−1D. 3+1
【答案】C
【解析】解：由题意知，|a→|=|b→|=a→·b→=2，
而a→·b→=|a→||b→|csα，
故csα=12，α=π3，
可设a→=(2,0)，b→=(1,3)，c→=(x,y)，
那么由(a→−c→)·(b→−c→)=0，
代入x2−3x+2+y2−3y=0，
整理得(x−32)2+(y−32)2=1．
即c→的终点落在该圆上，
则|c→|的最小值为圆心(32,32)到原点的距离减去半径为322+322−1=3−1，
故选C．
在给出的下列命题中，不正确的是( )
A. 设O,A,B,C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则点A,B,C必共线
B. 若向量a,b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(μ,λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC,AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)则ΔABC为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，且OA+OB+OC=0，则△ABC是等边三角形
【答案】B
【解析】解：对于A，设O,A,B,C是同一平面上的四个点，
若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，
则OA−OC=mOB−OC，
∴CA=mCB，
∴点A,B,C必共线，故A正确；
对于B，当a=0或b=0时，结论不成立，故B错误；
对于C，若平面向量OA,OB,OC满足OA⋅OB=OA⋅OC，
则OA·OB−OC=0，即OA·CB=0，
∴OA⊥CB；
又AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，
∴O在∠BAC的平分线所在直线上，
∴ΔABC为等腰三角形，故C正确；
对于D，若平面向量OA，OB，OC满足OA=OB=OC=r(r>0)，
则O是ΔABC的外心；
又OA+OB+OC=0，
则O又是ΔABC重心；
∴△ABC是等边三角形，故D正确．
故选B．
已知不共线向量OA,OB夹角为α,OA=1,OB=2,OP=1−tOA,OQ=tOB0≤t≤1),PQ在t=t0处取最小值，当0A. 0,π3B. π3,π2C. π2,2π3D. 2π3,π
【答案】C
【解析】解：由题意可得OA⋅OB=2×1×csα=2csα，
PQ=OQ−OP═tOB−(1−t)OA，
∴PQ2=t2OB2+(1−t)2OA2−2t(1−t)OA⋅OB=4t2+(1−t)2−4t(1−t)csα =(5+4csα)t2+(−2−4csα)t+1，
由二次函数知，当上式取最小值时，t0=1+2csα5+4csα， 由题意可得0<1+2csα5+4csα<15，
求得−12 故选C.
二、单空题（本大题共5小题，共30分）
已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为 ．
【答案】712
【解析】解：由题意可知：BC=AC−AB，
因为AP⊥BC，所以AP⋅BC=0，
所以AP⋅BC=(λAB+AC)(AC−AB)=λAB⋅AC−λAB2+AC2−AC⋅AB=λ×3×2×(−12)−λ×32+22−2×3×(−12)=−12λ+7=0
解得λ=712．
故答案为712．
如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=2，CA=CB=3，若AB⋅AE+AC⋅AF=7，则EF与BC的夹角的余弦值于_____.
【答案】13
【解析】解：如图，在和中，B是EF的中点，AB=EF=2，CA=CB=3，
若AB⋅AE+AC⋅AF=7，EF⋅BC=(AF−AE)⋅(AC−AB)=(AB⋅AE+AC⋅AF)−(AB⋅AF+AE⋅AC)=7−AB⋅AB+BF+AB+BE⋅AC=7−AB2+AB·BF+AB⋅AC−BF⋅AC=7−4+BF·CB+AB⋅AC=7−[4−12EF⋅BC+2]，
解方程得EF⋅BC=2，
∴2×3×csEF,BC=2，
∴EF与BC的夹角的余弦值为csEF,BC=13，
故答案为13．
已知AD是的斜边BC上的高，P在DA延长线上，(PB+PC)⋅AD=82，若AD的长为2，则PB⋅PC=________．
【答案】4
【解析】解(PB+PC)·AD=(PA+AB+PA+AC)⋅AD=2PA⋅AD+AB⋅AD+AC⋅AD=2|PA||AD|+|AB||AD|cs∠BAD+|AC||AD|cs∠CAD=2|PA|AD|+|AB|AD|×|AD||AB|+|AC||AD|×|AD|AC=2|PA||AD|+2|AD|2=4|PA|+8=82∴|PA|=22−2∴PB⋅PC=(PA+AB)⋅(PA+AC)=PA2+PA⋅AC+PA⋅AB+AB⋅AC=|PA|2+|PA|AC|cs∠CAD+|PA||AB|cs∠BAD+0=|PA|2+|PA||AC|×ADAC|+PA|AB|×|AD|AB=|PA|2+|PA|AD+|PA||AD|=(22−2)2+2×2(22−2)=4，
故答案为4．
已知|a|=2，|b|=1，向量a与向量b夹角为60∘，求使向量2ta+7b与a+tb的夹角是钝角时，t的取值范围是__________。
【答案】(−7,−142)U(−142,−12)
【解析】解：由题意可得a⋅b=2×1×cs60°=1，
设向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为θ，
则θ∈(90°,180°)，则有csθ<0，且csθ≠−1．
即2ta+7b与向量a+tb的不能反向共线，
且向量数量积(2ta+7b)⋅(a+tb)<0，
设2ta+7b≠−k⋅(a+tb)，(k>0)，则，得t≠±142，
由(2ta+7b)⋅(a+tb)<0，得2ta2+7tb2+(2t2+7)a⋅b<0，
∴2t2+15t+7<0，
解得−7故实数t的取值范围为(−7,−142)∪(−142,−12)．
故答案为(−7,−142)∪(−142,−12)．
如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=1，BC=2.直线l过△ABC的重心G，且与边AB，AC分别交于D，E两点，则CG⋅ED的最小值为________．
【答案】4+239
【解析】解：设AE=λAC,AD=μAB,λ,μ∈0,1，
因为G是△ABC的重心，
所以AG=23·12AB+AC
=13μAD+13λAE，
又因为E，G，D三点共线，
所以13μ+13λ=1，即1λ+1μ=3，
同理：CG=2312CA+CB
=13−2AC+AB=13AB−23AC，
又ED=EA+AD=−λAC+μAB，
因为∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
所以AB=12+22=5，csA=ACAB=55，
AB·AC=|AB|·|AC|·csA=5×1×55=1，
所以CG·ED=13AB−23AC·μAB−λAC=μ3AB2+2λ3AC2−λ3+2μ3AB·AC=μ3×5+2λ3×1−λ3+2μ3×1=13λ+3μ=19λ+3μ1λ+1μ=194+3μλ+λμ≥194+23μλ·λμ=4+239，
当且仅当λ=3μ时等号成立，所以CG⋅ED的最小值为4+239．故答案为4+239．
三、解答题（本大题共3小题，共30分）
18．已知，，与的夹角为60°.
（1）求的值；
（2）当实数为何值时，与垂直?
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，
所以.
（2）因为与垂直，所以，
即，
所以.
19．已知向量，满足，，.
（1）求向量与的夹角；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）因为，所以，
因为，所以，解得，
而，所以，
又，，所以.
（2）因为，，
所以，
所以.
20．已知向量，的夹角为，且．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）向量，的夹角为，且，设，若，
则，．
，，故．
（2）因为，
，
，．
.