高考数学核心考点专题训练专题24数列不等式(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题24数列不等式(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
2．已知点在函数图象上，若满足的的最小值为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）
A．9B．8C．6D．7
4．已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知数列的前项和为，且对任意恒成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知数列满足：，则下列选项正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
10．已知正项数列中，，，若存在实数，使得对任意的恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．在数列中，，，，记，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______.
12．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______
13．设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________.
14．若数列满足，若恒成立，则的最大值是______
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
15．已知为数列的前项和，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若求使恒成立的的取值范围
16．已知等差数列和等比数列，且满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，，求证：.
17．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
专题24 数列不等式
一、单选题（本大题共10小题，共50分）
1．已知等差数列的前项和为，且满足，，则该数列的公差可取的值是（ ）
A．3B．1C．-1D．-3
【答案】D
【解析】由，即
又，所以
则，即
又，则，解得
选项中只有选项D 满足.
故选：D
2．已知点在函数图象上，若满足的的最小值为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于点在函数图象上，则，则，
所以，，
由于满足的的最小值为，则，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
3．已知数列满足（），且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）
A．9B．8C．6D．7
【答案】D
【解析】对（）变形得：即：，
故数列是首项为8公比为的等比数列.
∴，从而，
.
由，解得最小的正整数，
故选：D.
4．已知数列的前项和为，对任意，有，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以时，，
两式相减得，
当为偶数时，，，
所以为奇数时，，这是一个递减数列，，所以，
当为奇数时，，，
所以为偶数时，，这是一个递增数列，，，
恒成立，所以（为奇数时）或（为偶数时），
所以，所以．
故选：D．
5．已知数列的前项和为，且对任意恒成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，
所以，①
，②
①-②，得，
所以，
故，
所以只需，则，则(为正奇数)，
所以(为正奇数).
根据对勾函数的特征，易得当时，的值最大，最大值为，
所以，即，故所求实数的取值范围是.
故选：C
6．已知数列的前项和为，且().记，为数列的前项和，则使成立的最小正整数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】解析：由，可知，
∴，即.
时，，∴，∴，∴，
∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列.
∴.又，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列.
∴.
又，∴，即，
∴.又，∴的最小值为7.
故选：C.
7．已知等比数列满足，，若，是数列的前项和，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，，，
因为，所以，，
则，，
，
对任意不等式恒成立，即对任意不等式恒成立，
因为，所以，的取值范围为.
故选：C.
8．若是函数的极值点，数列满足，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
是的极值点，，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
又，，…，，，
，；
，，
，
，
，，，，
对恒成立，，则实数的最大值为.
故选：C.
9．已知数列满足：，则下列选项正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】D
又由函数，当时为单调递减函数，
可得，所以，所以A错误.
对于B中，由于，且，
由在上单调递增，
可得，所以B错误
对于C、D中，由于，可得，
当，时，可得，所以C不正确；
又由当，可得，从而，
利用叠加法，可得，
故当时，，所以D正确.
故选：D.
10．已知正项数列中，，，若存在实数，使得对任意的恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得：，，
两式相减得，
，，与异号，则与异号，与同号，
由得：，则，，
则，，，，．
又，则，
，又，，
又，，故满足题意．
同理，由可得：，
两式相减得：，
与异号，则与异号，则与同号，
又，，，
，，
故数列递减，数列递增，且，，
又，则，
则，
记，则，，
，，
对任意恒成立得：，对任意恒成立得：，
．
故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11．在数列中，，，，记，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】解：由题意得，，，……
故猜想：，
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，显然成立；
（2）假设当时有，那么当时，
所以当时，也成立，
由（1），（2）得，
所以，
因为对任意的，恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
当为偶数时，有，
当为奇数时，有，
所以
所以实数的取值范围为，
故答案为：
12．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______
【答案】5
【解析】解：由题意得，，
所以，则，
所以
，
由，
可得，解得，
所以最大正整数n的值为5，
故答案为：5
13．设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为__________.
【答案】2
【解析】由题设知：当时，，即，
当时，，
综上知：是公比为的正项等比数列，即，而，
∴由题设知：对任意的，有成立，又，
∴，整理得：恒成立，而时，
∴.
故答案为：2.
14．若数列满足，若恒成立，则的最大值是______
【答案】2
【解析】由题得（1）
（2）
（1）-（2）得
所以，
适合，所以,
所以数列为递增数列，
所以，
由题得.
所以的最大值是2.
故答案为：2
三、解答题（本大题共4小题，共30分）
15．已知为数列的前项和，．
（1）求数列通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，若求使恒成立的的取值范围
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
，符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，①
②，
①-②得
所以
等价于恒成立
所以.
16．已知等差数列和等比数列，且满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）假设等差数列的公差为和等比数列的公比为，
因为，
取得，又，所以，
取得，所以即，
取得，所以即，
联立解得：，
所以，；
经检验，，
使得对任意的正整数都成立，
所以，.
（2），
,
,
所以，即数列单调递增，
所以对于任意正整数恒成立，
所以对于任意正整数恒成立，
所以，所以，
所以得证.
17．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
所以
两式相减可得：
所以，
当时，满足，
所以，
（2），
由可得：，
所以，
令，只需.
，
当且仅当即时等号成立，此时，
所以，
所以实数的取值范围为.