高考数学核心考点专题训练专题26基本不等式及其应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学核心考点专题训练专题26基本不等式及其应用(原卷版+解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )
A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元
为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2 m和5m(如图所示).当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为( )
A. 20 mB. 50 mC. 1010mD. 100 m
设a>0，b>0，a+b=1，则下列说法错误的是( )
A. ab的最大值为14B. a2+b2的最小值为12
C. 4a+1b的最小值为9D. a+b的最小值为2
已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x+my≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. (0,2]
在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k=1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为 ( )
A. B. C. D.
数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．

给出下列结论：
①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；
③曲线C围成区域的面积大于4π；
④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限
其中正确结论的序号是
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④
若正实数x，y满足lg2(x+3y)=lg4x2+lg2(2y)，则3x+y的最小值是( )
A. 12B. 6C. 16D. 8
中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为( )
A. 45B. 415C. 85D. 815
函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=ex，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为( )
A. 4B. 42C. 8D. 82
已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是( )
A. 63B. −233C. 433D. −433
已知关于x的不等式1ax2+6x+c<0(ab>1)的解集为⌀，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )
A. 3B. 2C. 23D. 4
已知函数f(x)=ekklnx+1x−x，k∈(0,+∞)，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1·x2的取值范围是( )
A. 2e,+∞B. 4e2,+∞C. 2e,+∞D. 4e2,+∞
二、单空题（本大题共6小题，共30分）
已知正数a，b满足a+b=2，则1a+1+4b+1的最小值为______．
壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a米和b米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．
已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tanB=2tanA，则1tan B+1tan C的最小值为 ．
已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_______．
设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值是 ．
18.已知a>2b(a,b∈R)，函数f(x)=ax2+x+2b的值域为[0,+∞)，则a2+4b2a−2b的最小值为______．
三、解答题（本大题共1小题，共10分）
19．设函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若（1），，求的最小值．
专题26 基本不等式及其应用
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )
A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元
【答案】B
【解析】解：设水池池底的一边长为xm，则另一边长为4xm，
则总造价y=4×120+80×(2x+2⋅4x)×2
=480+320(x+4x)⩾480+320×2x⋅4x=1760(元)．
当且仅当x=4x，即x=2时，y取最小值为1760．
所以水池的最低造价为1760元．
故选B．
为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2，绿化带的宽分别为2 m和5m(如图所示).当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为( )
A. 20 mB. 50 mC. 1010mD. 100 m
【答案】B
【解析】解：设BC=xm，知AB=1000x m，
∴整个项目占地A1B1C1D1面积为S=(x+10)(1000x+4)=1040+4x+10000x≥1040+24x·10000x=1440．
当且仅当4x=10000x，即x=50时取等号．
∴当整个项目占地A1B1C1D1面积最小时，则核心喷泉区BC的边长为50 m．
故选B．
设a>0，b>0，a+b=1，则下列说法错误的是( )
A. ab的最大值为14B. a2+b2的最小值为12
C. 4a+1b的最小值为9D. a+b的最小值为2
【答案】D
【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析：
对A，因为正实数a，b满足a+b=1，
所以1=a+b≥2ab，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以ab≤14，当且仅当a=b=12时等号成立，
故ab有最大值14，故A正确;
对B，因为(a+b)2=a2+b2+2ab=1，
所以a2+b2=1−2ab≥1−2×14=12，当且仅当a=b=12时等号成立，
所以a2+b2有最小值12，故B正确．
对C，利用基本不等式，有4a+1b=4a+1ba+b=4ba+ab+5⩾24ba·ab+5=9，当且仅当a+b=14ba=ab,
即a=23, b=13时等号成立，
故1a+1b有最小值9，故C正确；
对D，由题意，得(a+b)2=a+b+2ab
=1+2ab≤1+214=2，
故a+b≤2，当且仅当a=b=12时等号成立，
即a+b有最大值2，故D错误．
故选D．
已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x+my≥4恒成立，则m的取值范围是( )
A. [2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,2]D. (0,2]
【答案】B
【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+my=12(x+y)(2x+my)=12(m+2+2yx+mxy)≥12(m+2+22yx⋅mxy)=12(m+2+22m)，当且仅当2yx=mxy时取等号，
∵不等式2x+my≥4恒成立，∴12(m+2+22m)≥4，
整理得(m+32)(m−2)≥0，解得m≥2，即m≥2，
∴m的取值范围为[2,+∞)．
故选：B．
在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k=1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意可得，串联时k=md=101=10，
∵1k=1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，
∴串联时，k=k1k2k1+k2=10；
并联时，k'=k1+k2，弹簧拉伸的最大距离为d'=mk'=mk1+k2，
要想d'取得最大值，则k'取最小值，
k'=k1+k2≥2k1k2，当且仅当k1=k2时，取等号，
当k1=k2时，由k1k2k1+k2=10得，k1=k2=20，
∴此时k'=k1+k2=40，
∴d'=mk'=1040=14(cm)，
则并联时弹簧拉伸的最大距离为14cm，
故选A．
数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．
给出下列结论：
①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；
③曲线C围成区域的面积大于4π；
④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限
其中正确结论的序号是
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④
【答案】B
【解析】解： (x2+y2)3=16x2y2≤16x2+y222,
解得x2+y2≤4(当且仅当x2=y2=2时取等号)则(2)正确；
将x2+y2=4和x2+y23=16x2y2联立，解得x2=y2=2即圆x2+y2=4与曲线
相切于点2,2,−2,2,−2,−2,2,−2则(1)和(3)错误；
由xy<0得(4)正确；
故选B．
若正实数x，y满足lg2(x+3y)=lg4x2+lg2(2y)，则3x+y的最小值是( )
A. 12B. 6C. 16D. 8
【答案】D
【解析】解：∵正实数x，y满足lg2(x+3y)=lg4x2+lg2(2y)，
∴(x+3y)2=x2(2y)2，整理，得x+3y=2xy，
∴1y+3x=2，∴3x+y=12(3x+y)(1y+3x)=12(10+3xy+3yx)≥12(10+6)=8，
当且仅当x=y 时取等号．
故选D．
中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为( )
A. 45B. 415C. 85D. 815
【答案】C
【解答】解：由题意，得p=10，
所以S=p(p−a)(p−b)(p−c)
=20(10−a)(10−b)≤20⋅10−a+10−b2=85，
当且仅当10−a=10−b，即a=b=6时等号成立，
所以此三角形面积的最大值为85．
故选C．
函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=ex，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为( )
A. 4B. 42C. 8D. 82
【答案】B
【解析】解：函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=ex，
可得f(−x)+2g(−x)=e−x，即f(x)−2g(x)=e−x，
解得f(x)=12(ex+e−x)，g(x)=14(ex−e−x)，
由x∈(0,2]，可得ex∈(1,e2]，
由t=ex−e−x在x∈(0,2]递增，可得t∈(0,e2−e−2]，
存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，
即存在x∈(0,2]，不等式12(e2x+e−2x)−m⋅14(ex−e−x)≤0即m≥2(e2x+e−2x)ex−e−x成立，
可得12m≥t2+2t，由t2+2t=t+2t≥22，
当且仅当t=2时，取得等号，
即有12m≥22，可得m≥42，即m的最小值为42．
故选：B．
已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是( )
A. 63B. −233C. 433D. −433
【答案】D
【解析】解：不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，
根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，
那么：x1+x2+ax1x2=4a+13a．
∵a<0，
∴−(4a+13a)≥2(−4a)×(−13a)=433，
即4a+13a≤−433，
故x1+x2+ax1x2的最大值为−433．
故选：D．
已知关于x的不等式1ax2+6x+c<0(ab>1)的解集为⌀，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )
A. 3B. 2C. 23D. 4
【答案】D
【解析】解：由题意得：1a>0，b2−4ca≤0，得c≥ab24．
∴T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1≥1+2ab+a2b22(ab−1)，令ab−1=m，则m>0，
所以T≥1+2(m+1)+(m+1)22m=m2+2m+2≥4.则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为4．
故选D．
已知函数f(x)=ekklnx+1x−x，k∈(0,+∞)，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1·x2的取值范围是( )
A. 2e,+∞B. 4e2,+∞C. 2e,+∞D. 4e2,+∞
【答案】D
【解析】解： f'(x)=ekkx−1x2−1(x>0,k>0)，
由题意知， f'(x1)=f'(x2)，即ekk·1x1−1x12=ekk·1x2−1x22，
∴ ekk1x1−1x2=1x12−1x22，
∴ekk=1x1+1x2=x1+x2x1x2>2x1x2，(等号取不到)
x1x2>2kek恒成立，
令g(k)=2kek，g'(k)=2−2kek，令g'k=0，得k=1，
故有gk在(0,1)上单调递增，在1,+∞上递减，则有gk≤g1，
故g(k)⩽g(1)=2e，x1x2>2e， x1x2>4e2，
故选D．
二、单空题（本大题共6小题，共30分）
已知正数a，b满足a+b=2，则1a+1+4b+1的最小值为______．
【答案】94
【解析】解：正数a，b满足a+b=2，则a+1+b+1=4．
则1a+1+4b+1=14[(a+1)+(b+1)](1a+1+4b+1)=14(5+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14(5+2b+1a+1×4(a+1)b+1)
=14×(5+4)=94，
当且仅当a=13，b=53时原式有最小值．
故答案为：94．
壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a米和b米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．
【答案】800
【解析】解：由题意，设彩画长a米，宽b米(其中a>0，b>0)，
则有250a+100b⩽400，即a+2b⩽4，
所以彩画面积S=ab=a·2b2⩽12×a+2b22⩽12×422=2，
当且仅当a=2ba+2b=4，即a=2b=1时不等式可取等号，
此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元．
故答案为：800．
已知A、B、C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tanB=2tanA，则1tan B+1tan C的最小值为 ．
【答案】23
【解析】解：∵tanB=2tanA，角A为锐角，
∴tanA>0，tanB>0，
∴tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB=−32tanB1−12tan2B=3tanBtan2B−2，
∴1tan B+1tan C=1tan B+tan2B−23tanB=tan2B+13tan B=13tanB+1tanB
⩾13×2tanB·1tanB=23，
当且仅当tanB=1tanB，即tanB=1时，取等号，
故1tanB+1tanC的最小值为23．
故答案为23．
已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】−4,2
【解析】解：由2x+1y=1，
可得x+2y=x+2y2x+1y=4+xy+4yx≥4+2xy⋅4yx=8．
当且仅当x=2y，且2x+1y=1，即x=4，y=2时取等号，
则x+2y的最小值为8，
x+2y>m2+2m恒成立⇔m2+2m<(x+2y)min，
所以m2+2m<8恒成立，即m2+2m−8<0，
解得−4故实数m的取值范围是(−4,2)．
故答案为(−4,2)．
设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值是 ．
【答案】1
【解析】解：由已知条件有xyz=xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3≤12xy·4yx−3=1，
当且仅当x=2y时，等号成立，
因此z=x2−3xy+4y2=4y2−6y2+4y2=2y2，
所以2x+1y−2z=2y−1y2=−(1y−1)2+1≤1．
故答案为：1．
已知a>2b(a,b∈R)，函数f(x)=ax2+x+2b的值域为[0,+∞)，则a2+4b2a−2b的最小值为______．
【答案】2
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+x+2b的值域为[0,+∞),
则有a>0且1=4a×(2b)=8ab，即8ab=1，
a2+4b2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=(a−2b)+12(a−2b)，
又由a−2b>0，则(a−2b)+12(a−2b)≥ 2(a−2b)×12(a−2b)=2，
当(a−2b)=12(a−2b)等号成立．
即a2+4b2a−2b的最小值为2；
故答案为2．
三、解答题（本大题共1小题，共10分）
19．设函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若（1），，求的最小值．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2） ．
【解析】（1）由题意可得，即为，
即，
当时，，由，解得或；
当时，，可得；
当时，，由，解得；
当时，，由，解得．
综上可得，时，解集为或；时，解集为；
时，解集为；时，解集为；
（2）由，，可得，，
可得，
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；
当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．
所以的最小值为．