高考数学选填压轴题型第13讲立体几何的动态问题专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学选填压轴题型第13讲立体几何的动态问题专题练习(原卷版+解析)，共62页。

动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.
二．解题策略
类型一 立体几何中动态问题中的角度问题
例1. 已知平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，如图，若，均是线段的三等分点，点是线段上（包含端点）的动点，则二面角的正弦值的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟）
【举一反三】
1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2020·广东高考模拟）在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是
A． B． C． D．
3.（2020·浙江台州中学高三）如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，，的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
类型二 立体几何中动态问题中的距离问题
【例2】（2020·山西高三）设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）
A．B．C．1D．
【举一反三】
1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置.棱，的中点分别为E，F，且四面体的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江西省鹰潭市2021届高三高考二模数学（文）试题
3（2020广西柳州市模考）如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）
A．当时，平面
B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为
C．的最小值为
D．当时，平面
类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题
【例3】（2020·河南高三（理））在棱长为3的正方体中，E是的中点，P是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为（均不为0），若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【举一反三】
1.（2020·四川高三期末）长方体中，，，，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：
异面直线与间的距离为定值；
三棱锥的体积为定值；
异面直线与直线所成的角为定值；
二面角的大小为定值．
其中真命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题
【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角，，，，且，，，，，，则点在平面内的轨迹是（ ）
A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.一条直线D.两条直线
【举一反三】
1．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
2、（2020贵阳高考模拟）在正方体中，已知点为平面中的一个动点，且点满足：直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
3．几何中常用表示的测度，当为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在中，，，，为内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离为的点的轨迹为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题
三．强化训练
1．（2020·内蒙古高三期末）如图，棱长为1的正方体中，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
①异面直线与所成的角为
②
③三棱锥的体积为定值
④的最小值为2．
A．①②③B．①②④C．③④D．②③④
2.（2020河南省焦作市高三）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2020·重庆巴蜀中学高三（理））棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．1
4．已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省五校2021届高三下学期5月联考数学试题
5.（2020郑州一中高三期末）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2020九江高三一模）在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·浙江高三期末）在三棱锥中，，点为
所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
8．（2020·上海格致中学高三月考）在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足与所成的角为的点的个数为（ ）
A．0B．3C．4D．6
9.（2020上海交通大学附属中学高三）如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不能确定
10．（2020·湖南长郡中学高三（理））在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【来源】江西省赣州市2021届高三二模数学（理）试题
12．在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】河南省鹤壁市2021届高三一模数学（文）试题
13．在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】北京市朝阳区2021届高三一模数学试题
14．如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
15．已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
16．如图，是等腰直角三角形，，点D是上靠近A的三等分点，点E是上靠近C的三等分点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A． B．
C．D．
17．如图，棱长为的长方体中，为线段上动点(包括端点).则以下结论正确的为（ ）
A．三棱锥中，点到面的距离为定值
B．过点平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．直线与面所成角的正弦值的范围为
D．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为
【来源】广东省普宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
18．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ）(参考数据：)
A．B．C．D．
【来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题
19．如图，在三棱锥中，．且，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省衢州市五校联盟2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题
20．如图，三棱锥的底面在平面内，所有棱均相等，是棱的中点，若三棱锥绕棱旋转，设直线与平面所成的角为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
21．（2020·浙江高三期末）在正四面体中，点是棱的中点，点是线段上一动点，且，设异面直线与所成角为，当时，则的取值范围是__________．
22．（2020·江苏高三（理））如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．
23.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．
24．（2020·上海复旦附中高三期中）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______.
25．（2020·湖北高考模拟（理））如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．
第13讲 立体几何的动态问题
一．方法综述
立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.
动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.
二．解题策略
类型一 立体几何中动态问题中的角度问题
例1. 已知平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，如图，若，均是线段的三等分点，点是线段上（包含端点）的动点，则二面角的正弦值的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟）
【答案】B
【解析】在中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以，由翻折的性质可知，．又平面平面，平面平面，所以平面，过点作，交于点，则平面，所以，过作，垂足为，连接，则平面，
所以为二面角的平面角．
设（），则，，，，
所以，
所以．
由二次函数的单调性知，在上的值域为，
所以，即二面角的正弦的取值范围为．
故选：B.
【举一反三】
1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设正方体棱长为1，．
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，所以．
在正方体中，可证平面，
所以是平面的一个法向量．
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.故选A．
2．（2020·广东高考模拟）在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为1，
设0，，，，
1，，1，，
0，，1，，
，1，，1，，
设平面的法向量y，，
则，取，得，
平面，，解得，
，，
设直线与直线AB所成角为，
1，，
，，，
．
直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．
3.（2020·浙江台州中学高三）如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，，的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】分析：建立空间直角坐标系，对动点O选取一个特殊位置，然后求出三个侧面的法向量，根据向量夹角的余弦值求得三个二面角的余弦值，比较后可得二面角的大小．
详解：建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．
设正方体的棱长为1，则．
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得．
同理可得平面和平面的法向量分别为．
结合图形可得：
，
，
∴，又，∴．故选D．
类型二 立体几何中动态问题中的距离问题
【例2】（2020·山西高三）设点M是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中点，点P在面BCC1B1所在的平面内，若平面D1PM分别与平面ABCD和平面BCC1B1所成的锐二面角相等，则点P到点C1的最短距离是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】如图，过点作的平行线交于点、交于点，连接，
则是平面与平面的交线，是平面与平面的交线．
与平行，交于点，过点作垂直于点，则有，与平面垂直，
所以，与垂直，即角是平面与平面的夹角的平面角，且，
与平行交于点，过点作垂直于点，
同上有：，且有，又因为，故，
而，故，
而四边形一定是平行四边形，故它还是菱形，即点一定是的中点，
点到点的最短距离是点到直线的距离，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，， ，
， ，
点到点的最短距离：．故选：．
【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.
【举一反三】
1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.
【详解】
三棱锥，满足两两垂直，且，
如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,
以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,
则，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
三棱锥外接球就是棱长为1的正方体的外接球，
是三棱锥外接球上一动点，
由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，
点到平面的距离最大，
点到平面的距离的最大值为.故选C.
2．已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点B达到点P的位置.棱，的中点分别为E，F，且四面体的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江西省鹰潭市2021届高三高考二模数学（文）试题
【答案】A
【解析】
由题意可知△的外心在中线上，
设过点的直线⊥平面,可知平面,
同理△的外心在中线上,
设过点的直线⊥平面，则平面,
由对称性知直线的交点在直线上.
根据外接球的性质,点为四面体的外接球的球心.
由题意得,
而
所以.
令,显然,
所以.
因为，
所以，
又，所以，即.
综上可知.
故选：A.
3（2020广西柳州市模考）如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）
A．当时，平面
B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为
C．的最小值为
D．当时，平面
【答案】C
【解析】对于，连结，，，
则，，，
设到平面的距离为，则，解得，
∴.∴当时，为与平面的交点．
∵平面∥平面，
∵平面，∴∥平面，故A正确．
又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高，
∴平面，所以D正确．
对于B，当为中点时，四棱锥为正四棱锥，
设平面的中心为，四棱锥的外接球为，
所以，解得，
故四棱锥的外接球表面积为，所以B正确．
对于C，连结，，则，
∴，
由等面积法得的最小值为，
∴的最小值为．所以C不正确．故选：C.
类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题
【例3】（2020·河南高三（理））在棱长为3的正方体中，E是的中点，P是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为（均不为0），若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】建系如图，正方体的边长为3，则，0，，，0，，
设，，，，则，，，，，，
，，0，，
，即，
代入数据，得：，
整理得：，变形，得：，
即动点的轨迹为圆的一部分，
过点作，交于点，则为三棱锥的高
点到直线的距离的最大值是2．则．
，故选：．
【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.
【举一反三】
1.（2020·四川高三期末）长方体中，，，，为该正方体侧面内（含边界）的动点，且满足.则四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：
在中，，在中，，
因为，所以.
因为，所以点的轨迹是以为焦点 的椭圆.
如下图所示：
，，，椭圆的标准方程为：.
联立，解得：.所以，.
当点运动到位置时，此时四棱锥的高最长，
所以.
当点运动到或位置时，此时四棱锥的高最短，
所以.
综上所述：.
2．如图，长方形中，，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为．设，二面角的大小为，若，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设过与垂直的线段长为，则，，，，则四棱锥的高，
则
，，
∴四棱锥体积的最大值为.
故选：A.
3．（2020·重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：
异面直线与间的距离为定值；
三棱锥的体积为定值；
异面直线与直线所成的角为定值；
二面角的大小为定值．
其中真命题有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．
对于②，由于，而为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确．
对于③，由题意得在正方体中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为．故③正确；
对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确．
综上①②③④正确．选D．
类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题
【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角，，，，且，，，，，，则点在平面内的轨迹是（ ）
A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.一条直线D.两条直线
【答案】A
【解析】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设点，，，，，则，，，，，，， ，即，整理得：，故点的轨迹是圆的一部分，故选.
【指点迷津】空间轨迹问题的求解策略：1.利用侧面展开或展到一个平面上寻求轨迹；2.利用圆锥曲线定义求轨迹；3.这辗转过程中动点的轨迹；4.利用函数观点探求轨迹
【举一反三】
1．已知正方体的棱长为，M，N为体对角线的三等分点，动点P在三角形内，且三角形的面积，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示：
连接，因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又平面，平面，
所以平面，所以，
同理可知：，
又因为平面，平面，，
所以平面，
根据题意可知：，所以为正三角形，所以，
所以，设到平面的距离为，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以，所以，再如下图所示：
在正三角形中，高，
所以内切圆的半径，且，
取的两个三等分点，连接，所以，
所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以为圆心，半径等于的圆，圆的周长为，在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为，故选：B.
2、（2020贵阳高考模拟）在正方体中，已知点为平面中的一个动点，且点满足：直线与平面所成的角的大小等于平面与平面所成锐二面角的大小，则点的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【答案】D
3．几何中常用表示的测度，当为曲线、平面图形和空间几何体时，分别对应其长度、面积和体积．在中，，，，为内部一动点（含边界），在空间中，到点的距离为的点的轨迹为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题
【答案】D
【解析】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看，如下图所示：
其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱；，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为；区域内的几何体是高为的直三棱柱.
四边形和为矩形，，
，
同理可得：，，
，
，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球，
则，，区域内的几何体的体积之和；
又，和区域内的几何体的体积之和；区域内的直三棱柱体积，
.
故选：D.
三．强化训练
1．（2020·内蒙古高三期末）如图，棱长为1的正方体中，是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
①异面直线与所成的角为
②
③三棱锥的体积为定值
④的最小值为2．
A．①②③B．①②④C．③④D．②③④
【答案】A
【解析】①∵∥BC，
∴异面直线与所成的角即为BC与所成的角，
可得夹角为，故①正确；
②连接，∵平面A1BCD1，平面A1BCD1，
∴，故②正确；
③∵∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1,
又△DCC1的面积为定值,
因此三棱锥M−DCC1的体积为定值,故③正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形,线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,
利用余弦定理解三角形得，
故④不正确.
因此只有①②③正确.故选：A.
2.（2020河南省焦作市高三）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．
当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．
3．（2020·重庆巴蜀中学高三（理））棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．1
【答案】A
【解析】分析：先证明PD=2PC，再在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，求出，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值.
【详解】
设，所以，，所以PD=2PC.
在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，
设点P(x,y),则，
整理得，
所以，
即,所以|AP|的最小值为2.故选：A
4．已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省五校2021届高三下学期5月联考数学试题
【答案】C
【解析】正四面体放入正方体，则正方体的棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，
，设，
，.
由于，，所以，
即，
即，
即，
表示球心为，半径为的球.
表示垂直于平面的一个平面.
所以的轨迹是上述平面截球面所得圆.
球心到平面的距离为，
所以截得的圆的半径，
所以截得的圆，也即点的轨迹的长度为.
故选：C
5.（2020郑州一中高三期末）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
三棱锥中，平面，
M是线段上一动点，线段长度最小值为，
则：当时，线段达到最小值，
由于：平面，
所以：，解得：，
所以：，则：，
由于：，所以：
则：为等腰三角形．所以：，
在中，设外接圆的直径为，则：，
所以：外接球的半径，则：，故选：C．
6．（2020九江高三一模）在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，
其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，
∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，
∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，
∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，
△PBB1的面积最小，
∴三角形面积的最小值为，故选：C．
7．（2020·浙江高三期末）在三棱锥中，，点为
所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】B
【解析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.
由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任 一点，则 ，由题与所成角为定值，，则
则 ，化简得 ， 故动点的轨迹是椭圆.选B
8．（2020·上海格致中学高三月考）在正方体中,若点(异于点)是棱上一点,则满足与所成的角为的点的个数为（ ）
A．0B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点的个数．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设棱长，，0，，，1，．
①在△中，，因此．
同理，与所成的角都为．
故当点位于（分别与上述棱平行或重合）棱，，上时，与所成的角都为，不满足条件；
②当点位于棱上时，设，，，，则，，，，1，．
若满足与所成的角为，则，
化为，无正数解，舍去；
同理，当点位于棱上时，也不符合条件；
③当点位于棱上时，设，，，，
则，，，，1，．
若满足与所成的角为，则，
化为，
，解得，满足条件，此时点．
④同理可求得棱上一点，棱上一点．
而其它棱上没有满足条件的点．
综上可知：满足条件的点有且只有3个．故选：
9.（2020上海交通大学附属中学高三）如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不能确定
【答案】C
【解析】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,
过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,
在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cs，cs，cs，
∴cs cs cs< cs,又均为锐角， ∴，故选C.
10．（2020·湖南长郡中学高三（理））在三棱锥中，平面，，，，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．
详解：三棱锥 设直线 与平面所成角为 ，如图所示；则 由题意且的最大值是，∴，解得
即的最小值为∴的最小值是，即点到的距离为，
取的外接圆圆心为，作 ，
解得 ；为的中点，
由勾股定理得
∴三棱锥的外接球的表面积是
故选B.
11．在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【来源】江西省赣州市2021届高三二模数学（理）试题
【答案】C
【解析】由题意知，，为直三棱柱，即面面，面面，面，
∴面，又面，
∴面面.
∴易得关于平面对称点E落在的延长线上，且，即，如下图所示，的最小时，、、三点共线.

∴.
故选：C
12．在棱长为的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】河南省鹤壁市2021届高三一模数学（文）试题
【答案】B
【解析】如图所示，在平面内，，
所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，
则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，
所以，椭圆方程为.
点在底面的投影设为点，则点为的中心，，
故点正好为椭圆短轴的一个端点，
，则，
因为，故只需计算的最大值.
设，则，
则，
当时，取最大值，
即，
因此可得，故的最大值为.
故选：B.
13．在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】北京市朝阳区2021届高三一模数学试题
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、，
设点，其中.
①当时，点与点重合，，，，
所以，，，则，，
，平面，此时平面即为平面，
截面面积为；
②当时，同①可知截面面积为；
③当时，，，
，，则，
设平面交棱于点，，
，可得，不合乎题意.
设平面交棱于点，，
，可得，合乎题意，即，
同理可知，平面交棱于点，
，且与不重合，故四边形为平行四边形，
，，，
则，
所以，截面面积为.
综上所述，截面面积的最小值为.
故选：C.
14．如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足．平面上的动点满足，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设
所以点的轨迹是椭圆．
故选：B.
15．已知正方体的棱长为1，点，分别为线段，上的动点，点在平面内，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】点关于的对称点为，关于的对称点为，
记为直线与之间的距离，则，
由，为到平面的距离，
因为，
而，故，
故选：B.
16．如图，是等腰直角三角形，，点D是上靠近A的三等分点，点E是上靠近C的三等分点，沿直线将翻折成，所成二面角的平面角为，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【详解】如图，在等腰直角三角形中，
过作直线，作交直线于点，过作直线的垂线，垂足为，交直线与，过作的垂线，垂足为，且交于，
不妨设，则，
在直角三角形中，，
因为，故，故，同理，
所以，，同理，.
在几何体中连接，如图，
因为故为二面角的平面角，
故，而，故平面，
所以平面，而平面，故.
，
故，故，
同理，
，故，同理，
，故，
因为，故，
故选B.
17．如图，棱长为的长方体中，为线段上动点(包括端点).则以下结论正确的为（ ）
A．三棱锥中，点到面的距离为定值
B．过点平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C．直线与面所成角的正弦值的范围为
D．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为
【来源】广东省普宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】C
【解析】对于A中，由，为等边三角形，面积为,设点到面的距离为，由，求得，所以A不正确；
对于B中，过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形平面，
此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，所以B不正确；
对于C中，由正方体的结构特征和性质，可得点P到平面的距离为，
当点P在线段上运动时，（P为端点时），，
设直线与平面所成角为，则，所以C正确；
对于D中，当点P与重合时，此时三棱锥为，
设的中点为，因为，可得
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，其半径为，
所以三棱锥的外接球的体积为，所以D不正确.
故选：C.
18．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ）(参考数据：)
A．B．C．D．
【来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题
【答案】B
【解析】如图，建立空间直接坐标系，连结，交平面于点，
，，，，，
，，，
，，，
平面，
根据等体积转化可知，
即，解得：，
，,
，异面直线与所成的角，转化为与所成的角，
如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取的中点，过点作，则以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系
，，，，，
，,
，
即，，
即
，即，
，
因为异面直线所成的角是锐角，并设为，则，
，，
故选：B
19．如图，在三棱锥中，．且，则四面体的体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省衢州市五校联盟2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题
【答案】B
【解析】作BEAD于E，连接CE，如图，
因为再平面BEC内相交，所以AD平面BEC，
因为CE平面BEC，所以CEAD，
因为，
所以B与C都是在以A、D为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，
AB＋BD= AC+CD =2，显然，所以BE=CE.
取BC中点F，
要求四面体ABCD的体积的最大值，
因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，
因为BC是定值,所以只需EF最大即可，
当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，
因为AB＋BD= AC+CD =2，
，
，
所以几何体的体积为
故选：B
20．如图，三棱锥的底面在平面内，所有棱均相等，是棱的中点，若三棱锥绕棱旋转，设直线与平面所成的角为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期末数学试题
【答案】A
【解析】取的中点，连接、，如下图所示：

、分别为、的中点，所以，，
设正四面体的棱长为，则，，
由余弦定理可得.
当三棱锥绕棱旋转时，直线与平面所成的角为，
让正四面体相对静止，让平面绕着直线转动，则平面的垂线也绕着旋转，
设过直线的平面满足，
，问题也等价于平面绕着直线旋转，
当时，取得最小值，此时，取得最大值；
当时，设点到平面的距离为，可得，
当取最大值时，取最大值，此时，平面平面，
由于，取的中点，连接，可得，
平面平面，平面，平面，，
此时，，所以，的最小值为.
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
21．（2020·浙江高三期末）在正四面体中，点是棱的中点，点是线段上一动点，且，设异面直线与所成角为，当时，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
设P到平面ABC的射影为点O,取BC中点D,
以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，
以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正四面体P−ABC的棱长为，
则，
由,得，
∴，
∵异面直线NM与AC所成角为α,，
∴，设，则
∴，
∵，∴.
∴csα的取值范围是.
22．（2020·江苏高三（理））如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为_______．
【答案】
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，
则 ,
设,,.
,.
,
当且时，取到最小值，所以线段长度的最小值为.
23.如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】
如图所示，取的中点，的中点，连接，，，．
可得：四边形是平行四边形，.
同理可得：．
．
平面平面，
点是正方形内的动点，若平面.
点在线段上．
点的轨迹长度．故答案为．
24．（2020·上海复旦附中高三期中）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为______.
【答案】
【解析】因为直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形,∠ABC=60∘，边长为1，
∴O1C1⊥平面BB1D1D,且O1C1=,O1B1=，
∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，
∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，
∴当△O1MH的面积取得最小值时，三棱锥的体积有最小值。
将平面BB1D1D单独画图可得，
当B点到O1H的距离最小时，△O1MH的面积有最小值。
过点B做BF//O1H，可得直线BF上方的点到O1H的距离比直线BF上的点到O1H的距离小，而线段BD上除B点外的所有点都在直线BF下方，到O1H的距离比B点到O1H的距离大。
即当M点在B点时，△O1MH的面积取得最小值，且三棱锥的体积有最小值。
连接O1B, 则O1B=OB1==，
∴B1到O1B的距离d===，
∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=。
∴===，
∴===。故答案为：。
25．（2020·湖北高考模拟（理））如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．
【答案】（0，）
【解析】因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF
设,则

所以五棱锥的体积为
或（舍）
当递增，
故

所以的取值范围是（0，）
故答案为（0，）