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第01讲 集合与常用逻辑用语（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案
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这是一份第01讲 集合与常用逻辑用语（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案，文件包含第01讲集合与常用逻辑用语教师版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx、第01讲集合与常用逻辑用语学生版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分条件与必要条件的判断，能够判断元素与集合、集合与集合的关系，能够判断命题的充分条件与必要条件
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质，会判断充分条件与必要条件
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题，会利用集合间的关系解决充分条件必要条件问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案，一般给出两命题，要求判断两个命题的充分条件与必要条件等。
知识讲解
知识点一.集合的含义与表示
1.集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性
2.常用数集及其记法
N表示自然数集，N*或N，表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集
3.集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a ∈M，或者a ￠M，两者必居其一。
4.集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合
②)列举法:把集合中的元素--列举出来，写在大括号内表示集合
③描述法:{xlx具有的性质}，其中x为集合的代表元素、
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合
5.集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集
②含有无限个元素的集合叫做无限集
③不含有任何元素的集合叫做空集(Ø)
知识点二.集合间的基本关系
知识点三.子集与元素之间的关系
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2n个子集，它有2n−1个真子集，它有2n−1个非空子集，它有2n−2非空真子集.
知识点四.集合的基本运算
集合的并交补运算：
；；
2.集合的包含关系:；；
3.识记重要结论： A∩B=A ⇔ A⊆B; A∪B=A⇔A⊇B;
CUA∪B=CUA∩CUB; CUA∩B=CUA∪CUB
知识点五. 命题、充分条件、必要条件与充要条件
1、命题:可以判断真假的语句叫命题。
逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。
简单命题:不含逻辑联结词的命题。
复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，.表示命题
2、充分条件、必要条件与充要条件
(1)、一般地，如果已知p⟹q，那么就说:p是q的充分条件，q是p的必要条件;
若p ⟺q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件
(2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论g之间的关系
3、从逻辑推理关系上看:
①若p⟹q，则p是q充分条件，q是p的必要条件;
②若p⟹q，但q⇏p，则p是q充分而不必要条件:
③若p⇏q，但q⟹p，则p是q必要而不充分条件;
④若p⟹q且q ⟹p，则p是q的充要条件;
⑤若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件,
4、从集合与集合之间的关系上看:
已知A ={x|x满足条件p}，B = {x|x满足条件q}
①A ⊆B,则p是q充分条件;
②若B⊆A,则p是q必要条件;
③若A ⊂≠B，则p是q充分而不必要条件;
④若B ⊂≠A，则p是q必要而不充分条件;
⑤若A =B，则p是q的充要条件;
⑥若A ￠ B且B ￠A，则p是q的既不充分也不必要条件
5、全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题
(2)存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题
(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p: ∀x ∈ M,p(x)，它的否定¬p: ∃x∈ M, ¬p(x).全称命题的否定是特称命题
②特称命题p: ∃ x ∈ M,p(x),它的否定¬p: ∀x ∈ M, ¬p(x).特称命题的否定是全称命题
考点一、元素与集合的关系
1.（2022·全国·高考真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
2.（2024·四川·模拟预测）已知全集U=−2,−1,0,1,2,A∩B=−1,1,A∪B=−2,−1,1,2，则（ ）
A．−1∈A,−1∉BB．2∈A,2∈B
C．−2∉A,−2∉BD．0∉A,0∉B
1.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A=xmx+1mx−1≤0，若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．−12≤m<12B．−12≤m≤12C．m≤−12或m>12D．m≤−12或m≥12
2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知非空集合A=xaA．0,1B．−∞,0
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,−1∪0,+∞
3.（2024·北京·三模）已知集合A=xlnx<1，若a∉A，则a可能是（ ）
A．1eB．1C．2D．3
4.(2023·北京房山·二模）设集合A={(x,y)|x−y≥0,ax+y≥2,x−ay≤2}，则（ ）
A．当a=1 时，(1,1)∉AB．对任意实数a，(1,1)∈A
C．当a<0时，(1,1)∉AD．对任意实数a，(1,1)∉A
5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合A={x∣x>aa−1}，0∈A，则a的取值范围是 ．
6.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知0∈2,x2−1，则实数x= ．
考点二、集合中元素的特征
1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=csann∈N∗，若S=a,b，则ab=（ ）
A．－1B．−12C．0D．12
2.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知集合A=0,1,a2,B=1,0,2a+3，若A=B，则a=（ ）
A．−1或3B．0C．3D．−3
1.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合A=1,3,a2，集合B=1,2+a，若A∪B=A，则a= ．
2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合y|y=6x+2,x∈Z,y∈Z中的元素个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3.（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1，又可表示成a2,a+b,0，则a2022+b2022= ．
考点三、集合的基本关系
1.（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合A={−3,0,3}和B=x|x2+3x=0的关系的是（ ）
A．A=BB．A⊇BC．A⊆BD．A∩B=∅
2.（2024·辽宁·三模）若全集U=R，A=xx<2，B=yy=ex,x∈R，则下列关系正确的是（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．B⊆∁UAD．∁UA⊆B
1.（2024·重庆·三模）已知集合A={x|x2−1=0}，集合B=a+1,a−1,3，若A⊆B，则a=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合A={x|bx=a,a,b∈R},B={b,1b},A⊆B，则a的取值集合为 .
3.（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知集合A=x∣x2−3x<0,B={x∣−2考点四、子集个数问题
1.（2024·安徽·模拟预测）已知集合A=x∈N2x2−5x≤0，则A的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
2.（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知集合A=0,1,2,3，B=xy=ln−x2+4x，则A∩B子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
1.（2024·安徽安庆·二模）若集合P=x∣−2≤xA．8B．7C．6D．4
2.（2024·湖北武汉·模拟预测）设集合A=eln2,ln44，B=2,lne3,ln22，则A∪B的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
3.（2024·福建泉州·模拟预测）设集合M=x∈Zx−2x+3<0，则集合M的非空真子集个数为（ ）
A．16B．15C．14D．13
4、（2024·天津和平·一模）已知集合A=x∈N−2≤x<2,B=x∈Zx<2，集合C=A∩B，则集合C的子集个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点五、集合的并交补运算
1. （2023·天津·高考真题）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=1,2,4，则∁UB∪A=（ ）
A．1,3,5B．1,3C．1,2,4D．1,2,4,5
2. （2024·天津·高考真题）集合A=1,2,3,4，B=2,3,4,5，则A∩B=（ ）
A．1,2,3,4B．2,3,4C．2,4D．1
1.（2024·北京·高考真题）已知集合M={x|−3A．x−1≤x<1B．xx>−3
C．x|−32.（2024·全国·高考真题）已知集合A=x∣−5A．{−1,0}B．{2,3}C．{−3,−1,0}D．{−1,0,2}
3.（2024·全国·高考真题）已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=xx∈A，则∁AA∩B=（ ）
A．1,4,9B．3,4,9C．1,2,3D．2,3,5
4.（2024·全国·高考真题）若集合A=1,2,3,4,5,9，B=xx+1∈A，则A∩B=（ ）
A．1,3,4B．2,3,4C．1,2,3,4D．0,1,2,3,4,9
5.（2023·全国·高考真题）设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁U(M∪N)=（ ）
A．{x|x=3k,k∈Z}B．{x∣x=3k−1,k∈Z}
C．{x∣x=3k−2,k∈Z}D．∅
6.（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1A．∁UM∪NB．N∪∁UM
C．∁UM∩ND．M∪∁UN
7.（2023·全国·高考真题）设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=2,5，则N∪∁UM=（ ）
A．2,3,5B．1,3,4C．1,2,4,5D．2,3,4,5
考点六、Venn图的运用
1.（2024·湖南邵阳·三模）已知全集U=R，集合A=x−1≤x≤2，B=x1≤x≤6，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．x−1≤x≤6B．xx<−1C．xx>6D．xx<−1或x>6
2.（2024·湖北黄冈·二模）已知集合A=x∈N∣x−3x+2≤0,B=x∣x−1≤1，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．0,1B．3C．1,2D．1,2,3
1.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．∁UA∪BB．A∪∁UBC．∁UA∩∁UBD．∁UA∪∁UB
2.（2024·山西·三模）已知集合A，B均为集合U的子集，则∁UA∩B表示的区域为（ ）
A．①B．②C．③D．④
3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A=x∈Zx2−3x−4<0，B=x∈Zx≤2，则A⊗B=（ ）
A．−1,0,3B．−2,−1,2
C．−2,−1,2,3D．−2,−1,3
4.（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．70%B．60%C．50%D．40%
5.（2023·四川南充·一模）已知全集U=R，集合A=xlg3(x−1)>1，B=xx24+y2=1，则能表示A，B，U关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
考点七、充分条件与必要条件
1.（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2022·天津·高考真题）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
1.（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,b=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
2.（2023·北京·高考真题）若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（2023·全国·高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+csβ=0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
5.（2023·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.（2024·天津·模拟预测）已知p:x2+2x−3<0，q:x2+x−2<0，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
考点八、全称量词命题与存在量词命题、
1.（2024·全国·高考真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题
2.（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．1>0且3>4B．1>2或4>5
C．∃x∈R，csx>1D．∀x∈R，x2≥0
1.（22-23高三上·天津滨海新·期中）若命题“∀x∈R，m≥sinx+csx”是真命题，则实数m的取值范围是 .
2.（2022高三上·河南·专题练习）已知命题p:∀x∈R，ex+1+e3−x≥2e2，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
A．真，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2e2B．假，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2e2
C．真，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<2e2D．假，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<2e2
3.（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“∀x∈R,kx2+2kx−3<0”为真命题的k的取值范围（ ）
A．(−3,0)B．(−3,0]
C．(−3,1)D．(3,+∞)
4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p:∀x∈−1,0,a≤12x−5x，若p为假命题，则a的取值范围是
5.（2024·四川凉山·二模）已知命题“∀x∈R，sin2π+x+2csx+m≤0”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．−2,+∞B．−2,+∞C．−∞,−1D．−∞,−2
1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）
A．{0,1,2,3}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{2,3}
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题p:∀x>0，x2−ax+2>0的否定是（ ）
A．∀x>0，x2−ax+2≤0B．∀x≤0，x2−ax+2>0
C．∃x0>0，x02−ax0+2≤0D．∃x0≤0，x02−ax0+2≤0
3．（2024·山东青岛·三模）已知命题 p:∀x∈0,π2,sinxA．∃x∉0,π2,sinx>xB．∃x∈0,π2,sinx>x
C．∃x∉0,π2,sinx≥xD．∃x∈0,π2,sinx≥x
4．（2024·江苏苏州·三模）已知集合A={x∣sinx>0},B={x||x−3∣<1}，则A∩B=（ ）
A．{x∣2C．{x∣05．（2024·安徽·三模）已知集合A=x−5≤x≤1，B=xx>−2，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ）
A．x−2≤x≤1B．x−2C．x−5≤x≤−2D．x−5≤x<−2
6．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合A=xx>4，B＝{x∈Z|3＜x＜7}，则A∩B＝（ ）
A．4,6B．4,7C．4,5,6,7D．5,6
7．（2024·河南·模拟预测）已知集合A=0,1,2，B=x∈Z−2A．0,1B．−1,0,2C．1,2D．−1,1,2
1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，q≠0,a1≠0，则“1−qSn=a11−qn”是“数列an是以q为公比的等比数列”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合A={xx1，若B⊆A，则实数a的取值范围为（ ）
A．0,1B．0,1C．1,+∞D．1,+∞
3．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“1a>1b”是“a2+2b2>3ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合A=0,a2,B=1,a+1,a−1，则“a=1”是“A⊆B”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·湖南邵阳·三模）“00且a≠1）在R上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合A=x|x−4x+2≤0，B={x|y=lg3(x2−9)}，则A∩(∁RB)=（ ）
A．[−2,3]B．(−2,3]C．(−2,4]D．[3,4]
7．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合A=x|x2−x−12≤0，B=x|x2−3mx+2m2+m−1<0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 .
1．（2022·天津·高考真题）设全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=0,1,2,B=−1,2，则A∩∁UB=（ ）
A．0，1B．0,1,2C．−1,1,2D．0,−1,1,2
2．（2022·浙江·高考真题）设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（ ）
A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}
3．（2002·江苏·高考真题）设集合M=x|x=k2+14,k∈Z,N=x|x=k4+12,k∈Z，则（ ）
A．M=NB．M⊆NC．M⊇ND．M∩N=∅
4．（2022·全国·高考真题）集合M=2,4,6,8,10,N=x−1A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}
5．（2022·全国·高考真题）设集合A={−2,−1,0,1,2},B=x∣0≤x<52，则A∩B=（ ）
A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}
6．（2022·全国·高考真题）设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B=x∣x2−4x+3=0，则∁U(A∪B)=（ ）
A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}
7．（2022·北京·高考真题）已知全集U={x−3A．(−2,1]B．(−3,−2)∪[1,3)C．[−2,1)D．(−3,−2]∪(1,3)
8．（2021·天津·高考真题）设集合A=−1,0,1，B=1,3,5,C=0,2,4，则(A∩B)∪C=（ ）
A．0B．{0,1,3,5}C．{0,1,2,4}D．{0,2,3,4}
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第1题,5分
交集的概念与运算
2024年天津卷，第2题,5分
充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性
2023年天津卷，第1题,5分
并交补混合运算
2023年天津卷，第2题,5分
必要条件的判断与性质
2022年天津卷，第1题,5分
交集的概念及运算、交并补混合运算
2022年天津卷，第2题,5分
判断命题的充分与必要条件
2021年天津卷，第1题,5分
并交补混合运算
2021年天津卷，第2题,5分
判断命题的充分与必要条件
2020年天津卷，第1题,5分
并交补混合运算
2020年天津卷，第2题,5分
判断命题的充分与必要条件
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
A⊆B（或B⊇A)
A中的任一元素都属于B
(1)A⊆A
(2)∅⊆A
(3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C
(4)若A⊆B且B⊆A，则A=B
或
真子集
A⊂≠B（或B⊃≠A）
A⊆B，且B中至少有一元素不属于A
（1）∅⊂≠A（A为非空子集）(2)若A⊂≠B且B⊂≠C，则A⊂≠C
集合相等
A=B
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)A⊆B(2)B⊆A
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，充分条件与必要条件的判断，能够判断元素与集合、集合与集合的关系，能够判断命题的充分条件与必要条件
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质，会判断充分条件与必要条件
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题，会利用集合间的关系解决充分条件必要条件问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案，一般给出两命题，要求判断两个命题的充分条件与必要条件等。
知识讲解
知识点一.集合的含义与表示
1.集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性
2.常用数集及其记法
N表示自然数集，N*或N，表示正整数集，Z表示整数集，0表示有理数集，R表示实数集
3.集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a ∈M，或者a ￠M，两者必居其一。
4.集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合
②)列举法:把集合中的元素--列举出来，写在大括号内表示集合
③描述法:{xlx具有的性质}，其中x为集合的代表元素、
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合
5.集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集
②含有无限个元素的集合叫做无限集
③不含有任何元素的集合叫做空集(Ø)
知识点二.集合间的基本关系
知识点三.子集与元素之间的关系
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2n个子集，它有2n−1个真子集，它有2n−1个非空子集，它有2n−2非空真子集.
知识点四.集合的基本运算
集合的并交补运算：
；；
2.集合的包含关系:；；
3.识记重要结论： A∩B=A ⇔ A⊆B; A∪B=A⇔A⊇B;
CUA∪B=CUA∩CUB; CUA∩B=CUA∪CUB
知识点五. 命题、充分条件、必要条件与充要条件
1、命题:可以判断真假的语句叫命题。
逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词。
简单命题:不含逻辑联结词的命题。
复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题常用小写的拉丁字母p，q，r，s，.表示命题
2、充分条件、必要条件与充要条件
(1)、一般地，如果已知p⟹q，那么就说:p是q的充分条件，q是p的必要条件;
若p ⟺q，则p是q的充分必要条件，简称充要条件
(2)、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论g之间的关系
3、从逻辑推理关系上看:
①若p⟹q，则p是q充分条件，q是p的必要条件;
②若p⟹q，但q⇏p，则p是q充分而不必要条件:
③若p⇏q，但q⟹p，则p是q必要而不充分条件;
④若p⟹q且q ⟹p，则p是q的充要条件;
⑤若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件,
4、从集合与集合之间的关系上看:
已知A ={x|x满足条件p}，B = {x|x满足条件q}
①A ⊆B,则p是q充分条件;
②若B⊆A,则p是q必要条件;
③若A ⊂≠B，则p是q充分而不必要条件;
④若B ⊂≠A，则p是q必要而不充分条件;
⑤若A =B，则p是q的充要条件;
⑥若A ￠ B且B ￠A，则p是q的既不充分也不必要条件
5、全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题
(2)存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题
(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题p: ∀x ∈ M,p(x)，它的否定¬p: ∃x∈ M, ¬p(x).全称命题的否定是特称命题
②特称命题p: ∃ x ∈ M,p(x),它的否定¬p: ∀x ∈ M, ¬p(x).特称命题的否定是全称命题
考点一、元素与集合的关系
1.（2022·全国·高考真题）设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
2.（2024·四川·模拟预测）已知全集U=−2,−1,0,1,2,A∩B=−1,1,A∪B=−2,−1,1,2，则（ ）
A．−1∈A,−1∉BB．2∈A,2∈B
C．−2∉A,−2∉BD．0∉A,0∉B
1.（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A=xmx+1mx−1≤0，若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．−12≤m<12B．−12≤m≤12C．m≤−12或m>12D．m≤−12或m≥12
2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知非空集合A=xa
C．−∞,0∪1,+∞D．−∞,−1∪0,+∞
3.（2024·北京·三模）已知集合A=xlnx<1，若a∉A，则a可能是（ ）
A．1eB．1C．2D．3
4.(2023·北京房山·二模）设集合A={(x,y)|x−y≥0,ax+y≥2,x−ay≤2}，则（ ）
A．当a=1 时，(1,1)∉AB．对任意实数a，(1,1)∈A
C．当a<0时，(1,1)∉AD．对任意实数a，(1,1)∉A
5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合A={x∣x>aa−1}，0∈A，则a的取值范围是 ．
6.（23-24高三上·上海普陀·期末）已知0∈2,x2−1，则实数x= ．
考点二、集合中元素的特征
1.（2023·全国·高考真题）已知等差数列an的公差为2π3，集合S=csann∈N∗，若S=a,b，则ab=（ ）
A．－1B．−12C．0D．12
2.（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知集合A=0,1,a2,B=1,0,2a+3，若A=B，则a=（ ）
A．−1或3B．0C．3D．−3
1.（2024·江苏连云港·模拟预测）已知集合A=1,3,a2，集合B=1,2+a，若A∪B=A，则a= ．
2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）集合y|y=6x+2,x∈Z,y∈Z中的元素个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3.（22-23高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成a,ba,1，又可表示成a2,a+b,0，则a2022+b2022= ．
考点三、集合的基本关系
1.（2024·陕西商洛·模拟预测）在下列选项中，能正确表示集合A={−3,0,3}和B=x|x2+3x=0的关系的是（ ）
A．A=BB．A⊇BC．A⊆BD．A∩B=∅
2.（2024·辽宁·三模）若全集U=R，A=xx<2，B=yy=ex,x∈R，则下列关系正确的是（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．B⊆∁UAD．∁UA⊆B
1.（2024·重庆·三模）已知集合A={x|x2−1=0}，集合B=a+1,a−1,3，若A⊆B，则a=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
2.（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合A={x|bx=a,a,b∈R},B={b,1b},A⊆B，则a的取值集合为 .
3.（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知集合A=x∣x2−3x<0,B={x∣−2
1.（2024·安徽·模拟预测）已知集合A=x∈N2x2−5x≤0，则A的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
2.（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知集合A=0,1,2,3，B=xy=ln−x2+4x，则A∩B子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
1.（2024·安徽安庆·二模）若集合P=x∣−2≤x
2.（2024·湖北武汉·模拟预测）设集合A=eln2,ln44，B=2,lne3,ln22，则A∪B的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
3.（2024·福建泉州·模拟预测）设集合M=x∈Zx−2x+3<0，则集合M的非空真子集个数为（ ）
A．16B．15C．14D．13
4、（2024·天津和平·一模）已知集合A=x∈N−2≤x<2,B=x∈Zx<2，集合C=A∩B，则集合C的子集个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点五、集合的并交补运算
1. （2023·天津·高考真题）已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=1,2,4，则∁UB∪A=（ ）
A．1,3,5B．1,3C．1,2,4D．1,2,4,5
2. （2024·天津·高考真题）集合A=1,2,3,4，B=2,3,4,5，则A∩B=（ ）
A．1,2,3,4B．2,3,4C．2,4D．1
1.（2024·北京·高考真题）已知集合M={x|−3
C．x|−3
3.（2024·全国·高考真题）已知集合A=1,2,3,4,5,9,B=xx∈A，则∁AA∩B=（ ）
A．1,4,9B．3,4,9C．1,2,3D．2,3,5
4.（2024·全国·高考真题）若集合A=1,2,3,4,5,9，B=xx+1∈A，则A∩B=（ ）
A．1,3,4B．2,3,4C．1,2,3,4D．0,1,2,3,4,9
5.（2023·全国·高考真题）设全集U=Z,集合M={x∣x=3k+1,k∈Z},N={x∣x=3k+2,k∈Z}，∁U(M∪N)=（ ）
A．{x|x=3k,k∈Z}B．{x∣x=3k−1,k∈Z}
C．{x∣x=3k−2,k∈Z}D．∅
6.（2023·全国·高考真题）设集合U=R，集合M=xx<1，N=x−1
C．∁UM∩ND．M∪∁UN
7.（2023·全国·高考真题）设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=2,5，则N∪∁UM=（ ）
A．2,3,5B．1,3,4C．1,2,4,5D．2,3,4,5
考点六、Venn图的运用
1.（2024·湖南邵阳·三模）已知全集U=R，集合A=x−1≤x≤2，B=x1≤x≤6，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．x−1≤x≤6B．xx<−1C．xx>6D．xx<−1或x>6
2.（2024·湖北黄冈·二模）已知集合A=x∈N∣x−3x+2≤0,B=x∣x−1≤1，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．0,1B．3C．1,2D．1,2,3
1.（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A．∁UA∪BB．A∪∁UBC．∁UA∩∁UBD．∁UA∪∁UB
2.（2024·山西·三模）已知集合A，B均为集合U的子集，则∁UA∩B表示的区域为（ ）
A．①B．②C．③D．④
3.（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若A=x∈Zx2−3x−4<0，B=x∈Zx≤2，则A⊗B=（ ）
A．−1,0,3B．−2,−1,2
C．−2,−1,2,3D．−2,−1,3
4.（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．70%B．60%C．50%D．40%
5.（2023·四川南充·一模）已知全集U=R，集合A=xlg3(x−1)>1，B=xx24+y2=1，则能表示A，B，U关系的图是（ ）
A． B．
C． D．
考点七、充分条件与必要条件
1.（2024·天津·高考真题）设a,b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2022·天津·高考真题）“x为整数”是“2x+1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
1.（2024·全国·高考真题）设向量a=x+1,x,b=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
2.（2023·北京·高考真题）若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=−2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（2023·全国·高考真题）设甲：sin2α+sin2β=1，乙：sinα+csβ=0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4.（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
5.（2023·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和，设甲：an为等差数列；乙：{Snn}为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6.（2024·天津·模拟预测）已知p:x2+2x−3<0，q:x2+x−2<0，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
考点八、全称量词命题与存在量词命题、
1.（2024·全国·高考真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题D．¬p和¬q都是真命题
2.（2020·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．1>0且3>4B．1>2或4>5
C．∃x∈R，csx>1D．∀x∈R，x2≥0
1.（22-23高三上·天津滨海新·期中）若命题“∀x∈R，m≥sinx+csx”是真命题，则实数m的取值范围是 .
2.（2022高三上·河南·专题练习）已知命题p:∀x∈R，ex+1+e3−x≥2e2，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
A．真，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2e2B．假，¬p:∀x∈R，ex+1+e3−x<2e2
C．真，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<2e2D．假，¬p:∃x∈R，ex+1+e3−x<2e2
3.（22-23高三上·北京东城·开学考试）使得命题“∀x∈R,kx2+2kx−3<0”为真命题的k的取值范围（ ）
A．(−3,0)B．(−3,0]
C．(−3,1)D．(3,+∞)
4.（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p:∀x∈−1,0,a≤12x−5x，若p为假命题，则a的取值范围是
5.（2024·四川凉山·二模）已知命题“∀x∈R，sin2π+x+2csx+m≤0”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．−2,+∞B．−2,+∞C．−∞,−1D．−∞,−2
1．（2024·甘肃兰州·三模）设集合A={0,1,2},B={3,m}，若A∩B={2}，则A∪B=（ ）
A．{0,1,2,3}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{2,3}
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题p:∀x>0，x2−ax+2>0的否定是（ ）
A．∀x>0，x2−ax+2≤0B．∀x≤0，x2−ax+2>0
C．∃x0>0，x02−ax0+2≤0D．∃x0≤0，x02−ax0+2≤0
3．（2024·山东青岛·三模）已知命题 p:∀x∈0,π2,sinx
C．∃x∉0,π2,sinx≥xD．∃x∈0,π2,sinx≥x
4．（2024·江苏苏州·三模）已知集合A={x∣sinx>0},B={x||x−3∣<1}，则A∩B=（ ）
A．{x∣2
A．x−2≤x≤1B．x−2
6．（23-24高三下·湖南岳阳·期中）已知集合A=xx>4，B＝{x∈Z|3＜x＜7}，则A∩B＝（ ）
A．4,6B．4,7C．4,5,6,7D．5,6
7．（2024·河南·模拟预测）已知集合A=0,1,2，B=x∈Z−2
1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，q≠0,a1≠0，则“1−qSn=a11−qn”是“数列an是以q为公比的等比数列”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知非空集合A={xx
A．0,1B．0,1C．1,+∞D．1,+∞
3．（2024·甘肃兰州·三模）已知a，b均为正实数，则“1a>1b”是“a2+2b2>3ab”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知集合A=0,a2,B=1,a+1,a−1，则“a=1”是“A⊆B”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·湖南邵阳·三模）“0
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2024·广西贵港·模拟预测）已知集合A=x|x−4x+2≤0，B={x|y=lg3(x2−9)}，则A∩(∁RB)=（ ）
A．[−2,3]B．(−2,3]C．(−2,4]D．[3,4]
7．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合A=x|x2−x−12≤0，B=x|x2−3mx+2m2+m−1<0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 .
1．（2022·天津·高考真题）设全集U=−2,−1,0,1,2，集合A=0,1,2,B=−1,2，则A∩∁UB=（ ）
A．0，1B．0,1,2C．−1,1,2D．0,−1,1,2
2．（2022·浙江·高考真题）设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（ ）
A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}
3．（2002·江苏·高考真题）设集合M=x|x=k2+14,k∈Z,N=x|x=k4+12,k∈Z，则（ ）
A．M=NB．M⊆NC．M⊇ND．M∩N=∅
4．（2022·全国·高考真题）集合M=2,4,6,8,10,N=x−1
5．（2022·全国·高考真题）设集合A={−2,−1,0,1,2},B=x∣0≤x<52，则A∩B=（ ）
A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}
6．（2022·全国·高考真题）设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B=x∣x2−4x+3=0，则∁U(A∪B)=（ ）
A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}
7．（2022·北京·高考真题）已知全集U={x−3
8．（2021·天津·高考真题）设集合A=−1,0,1，B=1,3,5,C=0,2,4，则(A∩B)∪C=（ ）
A．0B．{0,1,3,5}C．{0,1,2,4}D．{0,2,3,4}
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第1题,5分
交集的概念与运算
2024年天津卷，第2题,5分
充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性
2023年天津卷，第1题,5分
并交补混合运算
2023年天津卷，第2题,5分
必要条件的判断与性质
2022年天津卷，第1题,5分
交集的概念及运算、交并补混合运算
2022年天津卷，第2题,5分
判断命题的充分与必要条件
2021年天津卷，第1题,5分
并交补混合运算
2021年天津卷，第2题,5分
判断命题的充分与必要条件
2020年天津卷，第1题,5分
并交补混合运算
2020年天津卷，第2题,5分
判断命题的充分与必要条件
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
A⊆B（或B⊇A)
A中的任一元素都属于B
(1)A⊆A
(2)∅⊆A
(3)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C
(4)若A⊆B且B⊆A，则A=B
或
真子集
A⊂≠B（或B⊃≠A）
A⊆B，且B中至少有一元素不属于A
（1）∅⊂≠A（A为非空子集）(2)若A⊂≠B且B⊂≠C，则A⊂≠C
集合相等
A=B
A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A
(1)A⊆B(2)B⊆A
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