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第04讲 函数的概念及其表示（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案
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这是一份第04讲 函数的概念及其表示（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案，文件包含第04讲函数的概念及其表示教师版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx、第04讲函数的概念及其表示学生版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx等2份学案配套教学资源，其中学案共45页， 欢迎下载使用。
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上
【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数
2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等.
知识讲解
知识点一.函数的概念
1.定义
2.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
知识点二.分段函数的定义
定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数．
分段函数的定义域是各段x取值集合的并集．
考点一、函数关系的判断
1.（2024高三·全国·专题练习）若函数y=fx的定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=y1≤y≤2，则函数y=fx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义判断即可得.
【详解】由函数定义可排除C，由值域为B=y1≤y≤2可排除A、B，
只有D选项为定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=y1≤y≤2的函数的图象.
故选：D.
2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.
【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误；
对于A：由等边三角形可知：线段AP的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；
对于D：由圆可知：线段AP的长度不会是线性变化，故D错误；
对于C：由正方形可知：线段AP的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确；
故选：B.
1.（22-23高三·全国·对口高考）已知函数f(x),x∈F，那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数有 .
【答案】0或1.
【分析】根据题意转化为x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，结合函数的定义，即可求解.
【详解】由集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数，
即为直线x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，
当1∈F时，此时，两个函数的图象有且仅有一个交点；
当1∉F时，此时，两个函数的图象没有公共点，
所以集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数为0个或1个.
故答案为：0或1.
2.（湖南·高考真题）给定k∈N∗，设函数f:N∗→N∗满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n−k.
(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为 ；
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 ．
【答案】 正整数 16
【分析】(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个正整数；
(2)k=4，且n⩽4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，求出所有可能的组合数即可得不同函数的个数．
【详解】(1)∵函数f:N∗→N∗，∴其值域为正整数，故函数f在n=1处的函数值为正整数；
(2)∵函数f:N∗→N∗，∴其值域为正整数，
又n≤4时，2≤f(n)≤3，
故n≤4时，f(n)∈{2，3}，
即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3，
则共2×2×2×2＝24=16种组合，
∴不同的函数f的个数为16.
故答案为：正整数；16．
3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线C与函数f(x)=324x3(0【答案】(0,263]
【分析】设l是f(x)=324x3(0【详解】设l是f(x)=324x3(0因为曲线C与函数f(x)=324x3(0所以直线l关于y=3x对称后的直线方程必为x=a，曲线C才能是某函数的图像，
如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，
所以l的方程为l:y=33(x−t)+324t3(0故联立方程得y=33(x−t)+324t3y=324x3，即x3−t3−8(x−t)=0，
则(x−t)(x2+xt+t2−8)=0，即x2+xt+t2−8=0与x−t=0同解，
所以t=263
所以t的取值范围为(0,263].
故答案为：(0,263]
4.（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数y=f(x)的定义域为{a,b,c}，值域为{−2,−1,0,1,2}的子集，则满足f(a)+f(b)+f(c)=0的函数y=f(x)的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【分析】对fa、fb、fc的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数y=fx的个数，即可得解.
【详解】解：分以下几种情况讨论：
①当fa、fb、fc全为0时，只有1种；
②当fa、fb、fc中有两个为−1，一个为2时，有3种；
③当fa、fb、fc中有两个为1，一个为−2时，有3种；
④当fa、fb、fc三者都不相等时，可分别取值为−1、0、1，有3×2×1=6种；
⑤当fa、fb、fc三者都不相等时，可分别取值为−2、0、2，有3×2×1=6种.
综上所述，满足条件的函数y=fx的个数为1+3+3+6+6=19个.
故选：D.
考点二、相同函数的判断
1.（全国·高考真题）与函数y=x有相同图象的一个函数是（ ）
A．y=x2B．y=x2x
C．y=algax，其中a>0,a≠1D．y=lgaax，其中a>0,a≠1
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点(0,0)判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为y=x与函数y=x有相同图象判断正确.
【详解】选项A：y=x2=x，图象为折线.判断错误；
选项B：y=x2x=x(x≠0)，图象上无原点(0,0).判断错误；
选项C：y=algax=x(x>0)，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：y=lgaax=x，与函数y=x有相同图象.判断正确.
故选：D
2.（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数fx=x是同一函数的是（ ）
A．fx=(x)2B．fx=x2
C．fx=3x3D．ft=t2t
【答案】C
【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【详解】解：函数fx=x，定义域为R.
选项A中fx=(x)2=x，定义域为0,+∞，故A错误；
选项B中fx=x2=x，定义域为R，故B错误；
选项C中fx=3x3=x，定义域为R，故C正确；
选项D中ft=t2t=t，定义域为t∣t≠0，故D错误.
故选：C.
1.（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．y=x+1与y=x2+xxB．fx=x2(x)2与gx=x
C．fx=∣x∣与gx=nxnD．fx=x与gt=lgaat
【答案】D
【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；
对于B：由定义域不同，即可判断；
对于C：由对应关系不同，即可判断；
对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.
【详解】对于A：y=x+1的定义域为R，y=x2+xx的定义域为−∞,0∪0,+∞，定义域不同，所以A错误；
对于B：fx=x2(x)2的定义域为0,+∞，gx=x的定义域为R，定义域不同，所以B错误；
对于C：fx=∣x∣，对于gx=nxn=x,n为偶数x,n为奇数，对应关系不同，故C错误；
对于D：fx=x定义域为R, gt=lgaat=t，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数.
故选：D
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．fx=x0与gx=1
B．fx=x与gx=x2x
C．fx=x−20232与gx=x−2023
D．fx=1,x≥0−1,x<0与gx=xx,x≠01,x=0
【答案】D
【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，fx=x0的定义域为{x|x≠0)，而gx=1定义域为R，
故二者不是同一函数；
对于B，fx=x的定义域为R，与gx=x2x的定义域为{x|x≠0)，
故二者不是同一函数；
对于C，fx=x−20232=|x−2023|与gx=x−2023对应关系不同，
故二者不是同一函数；
对于D，gx=xx,x≠01,x=0=1,x>01,x=0−1,x<0=1,x≥0−1,x<0与fx=1,x≥0−1,x<0的定义域以及对应关系、值域都相同，
故二者为同一函数，
故选：D
3．（2023高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．fx=x，gx=x2B．ft=t，gx=x2
C．fx=−2x3，gx=−2xD．fx=x2−9x−3，gx=x+3
【答案】B
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，函数fx的定义域为R，函数gx的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为gx=x2=x，且f(t)，gx的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，fx=−2x3=−x−2x，fx和gx的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数fx的定义域为{xx∈R，且x≠3}，函数gx的定义域为R，
所以这两个函数不是同一个函数.
故选：B.
4．（22-23高三·全国·课后作业）以下四个命题：
①当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
②函数y=x2和y=elnx2为同一个函数；
③若定义域为R的函数y=fx是奇函数，则f0=0；
④已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一段连续曲线，若fa⋅fb>0，则函数fx在a,b上没有零点．
其中，真命题的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】判断n=0是函数y=xn的图象形状，判断①；根据函数y=x2和y=elnx2的定义域可判断②；根据奇函数的定义和性质可判断③；举反例可判断④.
【详解】当n=0时，函数y=x0,定义于为{x∈R|x≠0},
故此时函数图象为直线y=1上挖去点(0,1)，①错误；
函数y=x2的定义域为R，函数y=elnx2定义域为{x∈R|x≠0}，
故函数y=x2和y=elnx2不是同一个函数，②错误；
若定义域为R的函数y=fx是奇函数，则f(−0)=−f(0)，则f0=0，③是真命题；
函数y=fx在区间a,b上的图象是一段连续曲线，若fa⋅fb>0，
不妨取fx=x2−3x+2，区间为0,3，满足f0⋅f3>0，
当fx=x2−3x+2在0,3内有零点1和2，故④错误，
故真命题的个数为1，
故选：A
考点三、函数解析式的求法
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x+1)=x−4，则fx= .
【答案】x2−2x−3x≥1
【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得fx.
【详解】令x+1=t(t≥1)，则x=(t−1)2(t≥1)，
于是有f(t)=(t−1)2−4=t2−2t−3(t≥1)，所以f(x)=x2−2x−3(x≥1).
故答案为：x2−2x−3x≥1
2.（2024高三·全国·专题练习）已知fx满足2f(x)+f(−x)=3x，求fx的解析式.
【答案】f(x)=3x
【分析】列方程组法求函数的解析式.
【详解】对于任意的x都有2f(x)+f(−x)=3x，
所以将x替换为−x，得2f(−x)+f(x)=−3x，
联立方程组：2f(x)+f(−x)=3x2f(−x)+f(x)=−3x，消去f(−x)，可得f(x)=3x.
1.（2024高三·全国·专题练习）已知fx为二次函数且f0=3，fx+2−fx=4x+2，则fx= ．
【答案】x2−x+3
【分析】根据条件设二次函数为fx=ax2+bx+ca≠0，代入条件求解即可．
【详解】设fx=ax2+bx+ca≠0，
∵ fx+2=a(x+2)2+bx+2+c，
∴fx+2−fx=4ax+4a+2b=4x+2，
∴4a=44a+2b=2⇒a=1b=−1．
又f0=3⇒c=3，
∴fx=x2−x+3.
故答案为：x2−x+3
2.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数fcsx=csx+cs2x，则ff12=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】B
【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.
【详解】因为fcsx=csx+cs2x=csx+2cs2x−1
所以fx=x+2x2−1,−1≤x≤1，
则f12=12+2×14−1=0，
所以f(f(12))=f0=−1.
故选：B.
3.（安徽·高考真题）若f(sinx)=2−cs2x，则f(csx)=（ ）
A．2−sin2xB．2+sin2xC．2−cs2xD．2+cs2x
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出fx，再利用二倍角变形即可求得f(csx).
【详解】∵fsinx=2−cs2x=2−1−2sinx2=2−1+2sinx2=1+2sinx2
∴fx=1+2x2，∴fcsx=1+2csx2−1+1=2+cs2x
故选：D
4.（湖北·高考真题）已知f(1−x1+x)=1−x21+x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=x1+x2B．f(x)=−2x1+x2
C．f(x)=2x1+x2D．f(x)=−x1+x2
【答案】C
【解析】令1−x1+x=t，即可用换元法求函数解析式.
【详解】令1−x1+x=t，
得x=1−t1+t，
∴f(t)=1− (1−t1+t)21+(1−t1+t)2=2t1+t2，
∴f(x)=2x1+x2．
故选：C．
【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.
5.（2024·四川·模拟预测）已知fx为定义在R上的单调函数，且对∀x∈R,ffx−ex=2+ln2，则fln3=（ ）
A．3ln2B．3+ln2
C．3−ln2D．ln3
【答案】B
【分析】根据题意，设fx−ex=t，用ft求t的值，进而可得fx的解析式，从而可得fln3.
【详解】设fx−ex=t，则fx=ex+t，
所以ft=et+t=2+ln2，即et+lnet=2+ln2，
设gx=x+lnx(x>0)，易知gx在0,+∞上单调递增，
所以et=2，即t=ln2，
故fx=ex+ln2，所以fln3=eln3+ln2=3+ln2．
故选：B．
6.（23-24高三下·重庆·阶段练习）设fx是定义在R上的单调增函数，且满足f−1−x+fx=−7，若对于任意非零实数x都有ffx+1fx+3−x−1x+2=−4，则f2024= .
【答案】2021
【分析】利用赋值法求解，令t=fx+1fx+3−x−1x+2，则ft=−4，再令x=t，结合题意中条件求得t，可求得fx，进而可得结果.
【详解】令t=fx+1fx+3−x−1x+2，则ft=−4，
令x=t，则t=ft+1ft+3−t−1t+2=−4−1−t−1t+2，解得t=−1或−12.
而f−1−x+fx=−7，则f−1−−12+f−12=−7，故f−12=−72，因此t=−1.
则−1=fx+1fx+3−x−1x+2，
即fx+3+1fx+3=x+1x⇔fx+3−x=1x−1fx+3=fx+3−xxfx+3.
因此fx+3−x=0或xfx+3=1，
当xfx+3=1时，fx=1x−3，在0,+∞上单调递减，不满足题意，舍去；
当fx=x−3时，满足题意.
则f2024=2021.
故答案为：2021
【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法：
（1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；
（2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的．
考点四、分段函数求值
1.（山东·高考真题）设fx=2ex−1,x<2lg3x2−1,x≥2 ，则ff2的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，先计算f(2)的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.
【详解】f(2)=lg3(22−1)=1 ，
故ff2=f(1)=2e1−1=2，
故选：C
2.（2024·上海·高考真题）已知fx=x,x>01,x≤0,则f3= ．
【答案】3
【分析】利用分段函数的形式可求f3.
【详解】因为fx=x,x>01,x≤0,故f3=3，
故答案为：3.
1.（2022·浙江·高考真题）已知函数f(x)=−x2+2, x≤1,x+1x−1, x>1,则ff12= ；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是 ．
【答案】 3728 3+3/3+3
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【详解】由已知f(12)=−122+2=74，f(74)=74+47−1=3728，
所以 ff(12)=3728，
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3，所以−1≤x≤1，
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤3，所以11≤f(x)≤3等价于−1≤x≤2+3，所以[a,b]⊆[−1,2+3]，
所以b−a的最大值为3+3.
故答案为：3728，3+3.
2.（2021·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3+a,x≤2,若ff6=3，则a= .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【详解】ff6=f6−4=f2=2−3+a=3，故a=2，
故答案为：2.
3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数fx=12x+1,x≤0f(x−3),x>0，则f2020= .
【答案】45/0.8
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为fx=12x+1,x≤0f(x−3),x>0，
所以f2020=f673×3+1=f1=f1−3=f−2=12−2+1=45.
故答案为：45
4.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=2x,x<0sin(2x+π6),x≥0，则f[f(π2)]= .
【答案】22
【分析】判断所在区间，再代入计算即得.
【详解】依题意，f(π2)=sin(2×π2+π6)=−12，
所以f[f(π2)]=f(−12)=2−12=22.
故答案为：22
5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数fx=2x−1,x≤0lg2x,x>0，则f2+f−1= ．
【答案】0
【分析】根据分段函数解析式进行求值.
【详解】依题意，fx=2x−1,x≤0lg2x,x>0，
所以f2+f−1=lg22+2−1−1
=lg2212+12−1=12+12−1=0.
故答案为：0
6.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数fx=lg31−x,x<11+3x−1,x≥1，则f(−2)+flg312= .
【答案】6
【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量，化简求值.
【详解】f−2=lg33=1，flg312=f1+lg34=1+31+lg34−1=1+4=5，
所以f(−2)+flg312=6.
故答案为：6
7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设fx=ax,x≥0lgax2+a2,x<0，且f2=4，则a= ，f−2= .
【答案】 2 3
【分析】根据f2=4求出a=2，从而fx=2x,x≥0lg2x2+4,x<0，由此能求出f−2的值.
【详解】∵fx=ax,x≥0lgax2+a2,x<0，且f2=4，∴f2=a2=4，解得a=2，∴fx=2x,x≥0lg2x2+4,x<0，
∴f−2=lg28=3.
故答案为：2，3.
考点五、分段函数的应用
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinπx,x≤12fx+32,122，则f2024=（ ）
A．−1B．0C．12D．1
【答案】D
【分析】结合函数的周期性和正弦函数值解出即可.
【详解】由题意知f2024=f2=f72=f32=f3=f1=f52=f12=sinπ2=1．
故选：D．
2.（2022·北京·高考真题）设函数f(x)=−ax+1, x【答案】 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0或−a2+1≥a−22， 解得 0【详解】解：若a=0时，f(x)={1(x−2)2,x<0,x≥0，∴f(x)min=0；
若a<0时，当x若a>0时，
当xf(a)=−a2+1，
当x>a时，f(x)min={0(a−2)2(0∴−a2+1≥0或−a2+1≥（a−2）2，
解得0综上可得0≤a≤1；
故答案为：0（答案不唯一），1
1.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=x−4,x≥λx2−4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞)
【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.
详解：由题意得x≥2x−4<0或x<2x2−4x+3<0，所以2≤x<4或1当λ>4时，f(x)=x−4>0，此时f(x)=x2−4x+3=0,x=1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x−4=0,x=4，由f(x)=x2−4x+3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2.（2024·天津·二模）设a∈R，函数fx=1x−a+1+a,x【答案】0,3−52∪5+12,3+52∪3
【分析】对不同情况下的a分类，然后分别讨论fx相应的零点分布，即可得到a的取值范围.
【详解】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当a≤0时，只要x≠a+1，就有x2−2a+1x+2a2−a+1=x−a−12+a2−3a>−3a≥0，
故fx在a,+∞上至多可能有1个零点，从而在0,+∞上至多可能有1个零点，不满足条件；
当a>3时，有x2−2a+1x+2a2−a+1=x−a−12+a2−3a≥a2−3a=aa−3>0，
所以fx在a,+∞上没有零点.
而若1x−a+1+a=0，则只可能x=a−1a−1，所以fx在−∞,a上至多可能有1个零点.
故fx在R上至多可能有1个零点，从而在0,+∞上至多可能有1个零点，不满足条件；
当00知a−1a−1从而x=a−1a−1确为fx在−∞,a上的一个零点.
再解方程x2−2a+1x+2a2−a+1=0，即x−a−12+a2−3a=0，
可得两个不同的实数根x=a+1±a3−a.
而fa=a2−2a+1a+2a2−a+1=a2−3a+1，a+1+a3−a>a+1>a.
故x=a+1+a3−a确为fx在a,+∞上的一个零点，
而当且仅当a2−3a+1≥0时，另一根x=a+1−a3−a是fx在a,+∞上的一个零点.
条件为fx在区间0,+∞内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：a−1a−1≥0a2−3a+1<0或a−1a−1<0a2−3a+1≥0.
解得a∈0,3−52∪5+12,3+52；
当a=3时，验证知fx恰有两个零点53和4，满足条件.
综上，a的取值范围是0,3−52∪5+12,3+52∪3.
故答案为：0,3−52∪5+12,3+52∪3
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于需要分较多的情况讨论，不重不漏、细致讨论方可得解.
3.（2024·北京西城·二模）已知函数fx=x2+2x,x<−2或x>112−3x2,−2≤x≤1，g(x)=f(x)−a，其中a∈R．
①若函数g(x)无零点，则a的一个取值为 ；
②若函数g(x)有4个零点xi ( i=1 ,2 ,3 ,4 )，则x1+x2+x3+x4= ．
【答案】 − 1 − 2
【分析】①结合函数fx的图象， 函数g(x)无零点，即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以可得到a的一个取值；②由图象对称，即可算出x1+x2+x3+x4的值.
【详解】画函数fx=x2+2x,x<−2或x>112−3x2,−2≤x≤1的图象如下：
①函数g(x)=f(x)−a无零点，即f(x)−a=0 无解，
即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以a<0，可取a=−1；
②函数g(x)有4个零点，即f(x)−a=0 有4个根，
即y=f(x)与y=a的图象有4个交点，
由x1、x4关于x=−1对称，所以x1+x4=−2，
x2、x3关于x=0对称，所以x 2+x 3=0，
所以x1+x2+x3+x4=−2.
故答案为：−1；−2.
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−1x,x<0ex−2,x≥0，若x1【答案】2ln2+12
【分析】设fx1=fx2=t，可得x1=−1t，x2=lnt+2，构造函数x2−x1=gt=lnt+2+1t，根据导数判断函数的单调性与最值.
【详解】设fx1=fx2=t，即−1x1=ex2−2=t，x1<0，x2≥0，则t>0，
所以x1=−1t，x2=lnt+2，则x2−x1=lnt+2+1t，
令gt=lnt+2+1tt>0，
则g't=1t+2−1t2=t2−t−2t2t+2=t−2t+1t2t+2，
所以当t∈0,2时，g't<0，函数gt单调递减；
当t∈2,+∞时，g't>0，函数gt单调递增，
所以当t=2时，gt取得最小值，为g2=2ln2+12，
即x2−x1取得最小值，为2ln2+12，
故答案为：2ln2+12.
5.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数fx=1,x<0x2+1,x≥0,则方程f1−x2=fx所有的解构成的集合是 ．
【答案】xx=5−12或x≤−1
【分析】根据题意,先将f1−x2分类讨论求出解析式.后直接解出来即可.
【详解】f1−x2=1,x<−1或x>11−x22+1,−1≤x≤1,又fx=1,x<0x2+1,x≥0,
当x<−1时,f1−x2=fx=1,解得x<−1；
当−1≤x<0时,1=1−x22+1,解得x=−1；
当x>1时,x2+1=1,无解；
当0≤x≤1时,x2+1=1−x22+1,解得x=5−12．
所以方程f1−x2=fx所有的解构成的集合是{x|x=5−12或x≤−1．
故答案为:xx=5−12或x≤−1.
考点六、分段函数不等式
1.（2024·江西南昌·二模）已知fx=−x2−2x,x<0lg2x+1,x≥0，则不等式f(x)<2的解集是（ ）
A．(−∞,2)B．(−∞,3)C．[0,3)D．(3,+∞)
【答案】B
【分析】分别在x<0,x≥0条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当x<0时，不等式f(x)<2可化为−x2−2x<2，
所以x2+2x+2>0，可得x<0；
当x≥0时，不等式f(x)<2可化为lg2x+1<2，
所以x+1<4，且x+1>0，
所以0≤x<3，
所以不等式f(x)<2的解集是(−∞,3)，
故选：B.
2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x+3,x<14x,x≥1，若fa2+2<2f3−a2，则a的取值范围是（ ）
A．−32,1B．−1−174,−1+174
C．−1,12D．−1−172,−1+172
【答案】A
【分析】首先将不等式化为12fa2+2【详解】由题意，得函数fx在R上单调递增．由fa2+2<2f3−a2，
得12fa2+2所以12fa2+2=12×4a2+2=4−12×4a2+2 =4a2+2−12=fa2+2−12．
从而不等式转化为fa2+32所以a2+32<3−a2，解得−32故选:A．
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=csx+x22,x≤0x3+3x2−3,x>0，则不等式fx≥1的解集为（ ）
A．0∪1,+∞B．−∞,0∪2,+∞
C．0,1D．−∞,0∪1,+∞
【答案】D
【分析】根据给定条件，借助导数判断函数单调性，并分段求解不等式即得.
【详解】当x≤0时，f(x)=csx+x22，求导得f'(x)=−sinx+x，令ℎ(x)=x−sinx,x≤0，
求导得ℎ'(x)=1−csx≥0，则函数ℎ(x)，即f'(x)在−∞,0上单调递增，f'(x)≤f'(0)=0，
函数f(x)在−∞,0上单调递减，而f(0)=1，当x≤0时，不等式fx≥1⇔f(x)≥f(0)，因此x≤0；
当x>0时，f(x)=x3+3x2−3=(x−1)(x+2)2+1，由fx≥1，得(x−1)(x+2)2≥0，因此x≥1，
所以不等式f(x)≥1的解集为−∞,0∪1,+∞.
故选：D
2.（2024·北京东城·二模）设函数fx=1,x<1x2,x≥1，则ff12= ，不等式f(x)【答案】 1 −∞,−12∪12,+∞
【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求ff12；分2x<1、2x≥1x<1和x≥1三种情况，结合题中函数解析式分析求解.
【详解】由题意可知：ff12=f1=1；
因为f(x)当2x<1，即−12当2x≥1x<1，即x∈−1,−12∪12,1时，可得1<2x2，
解得x>12或x<−12，所以x∈−1,−12∪12,1；
当x≥1，即x≥1或x≤−1时，则2x=2x≥2>1，可得x2<2x2=4x2，符合题意；
综上所述：不等式f(x)故答案为：1；−∞,−12∪12,+∞.
3.（2024·湖北·一模）已知函数fx=x+1,x≤0lnx+1,x>0，则关于x的不等式fx≤1的解集为 ．
【答案】−∞,e−1
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当x≤0时，fx=x+1≤1得x≤0，∴x≤0
当x>0时，fx=lnx+1≤1，得−1综上：fx≤1的解集为−∞,e−1，
故答案为：−∞,e−1.
4.（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=12x,x≤01−3x,x>0，则ff−1= ；若f2a2−3>f5a，则实数a的取值范围是 .
【答案】 −5 −12【分析】根据分段函数解析式，先求出f−1，即可得解，证明函数fx是R上的减函数，再解关于a的一元二次不等式即可.
【详解】解：由fx=12x,x≤01−3x,x>0，得f−1=2，
所以ff−1=f2=1−6=−5，
因为y=12x,y=1−3x都是减函数，
且当x=0时，y=12x=1,y=1−3x=1，
所以函数fx是R上的减函数，
则f2a2−3>f5a，
即为2a2−3<5a，解得−12故答案为：−5；−125.（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数fx=lg14x,x>02x,x≤0，若fa>12，则实数a的取值范围是 .
【答案】−1,12
【分析】对a分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可.
【详解】当a>0，fa>12即lg14a>12，解得0当a≤0，fa>12即2a>12，解得−1故实数a的取值范围是−1,12.
故答案为：−1,12
6.（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知函数fx=2-12x,x≤012x2+1,x>0，则不等式f3x-1>3的解集为 .
【答案】1,+∞
【分析】分别在条件3x-1>0，3x-1≤0下化简不等式，再求其解，由此可得不等式f3x-1>3的解集.
【详解】当3x-1≤0时，即x≤0时，f3x-1=2-123x-1，所以不等式f3x-1>3可化为2-123x-1>3，所以x≤0且-1>123x-1，所以满足条件的x不存在，
即当x≤0时，不等式无解，
当3x-1>0时，即x>0时，f3x-1=123x-12+1，此时不等式f3x-1>3可化为123x-12+1>3，得3x-1>2或3x-1<-2，解得x>1，
所以不等式f3x-1>3的解集为1,+∞，
故答案为：1,+∞.
7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数fx=21−x−2,x≤11−lg2x−1,x>1则满足fx≤2的x的取值范围是 .
【答案】[−1,1]∪[32,+∞)
【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.
【详解】当x≤1时，fx≤2即21−x−2≤2,∴1−x≤2,∴x≥−1，则−1≤x≤1；
当x>1时，fx≤2即1−lg2x−1≤2，解得x≥32，即x≥32，
故满足fx≤2的x的取值范围是[−1,1]∪[32,+∞)，
故答案为：[−1,1]∪[32,+∞)
考点七、分段函数的值域与最值
1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函数fx=sin12x+π6,x≤2π3lg1ex,2π3A．1eB．eC．e2D．1e2
【答案】C
【分析】利用三角函数及对数函数的性质计算即可.
【详解】易知x≤2π3 时，12x+π6≤π2，所以−1≤sin12x+π6≤1，
又y=lg1ex=−lnx为减函数，
所以2π3y=lg1ex=−lnx≥−lnc，
而−1<−ln2π3<0，所以fx的值域是−lnc,1，
则c=e2.
故选：C
2.（2024·北京西城·一模）已知函数fx=x2+x,−2A．116B．18C．14D．12
【答案】A
【分析】运用二次函数的性质求得−2【详解】当−20≤x由题意f(x)存在最小值，则−c≥−14，解得0故选：A
1.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数fx=x2+ax,x<0−xx+1,x≥0的最小值为-1，则a= .
【答案】2
【分析】
由题意得出函数y=x2+ax在−∞,0上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【详解】当x≥0时，y=−xx+1=1x+1−1>−1.
因为fx的最小值为-1，所以函数y=x2+ax在−∞,0上取得最小值-1，
则−a2<0−a24=−1，解得a=2.
故答案为：2.
2.（23-24高三下·北京西城·开学考试）设定义在−1,3函数fx=1−x2,x∈−1,a,ax−1,x∈a,3.当a=0时，fx的值域为 ；若fx的最大值为1，则实数a的所有取值组成的集合为 .
【答案】 0,1∪−1 x|0【分析】当a=0时，分别求出各段上函数值的范围后可得函数的值域，若fx的最大值为1，则可就−1【详解】因为1−x2≥0，故−1≤x≤1，故−1当a=0时，fx=1−x2,x∈−1,0−1,x∈0,3，
当x∈−1,0时，fx=1−x2，fx∈0,1，当x∈0,3时，fx=−1，
故当a=0时，fx的值域为0,1∪−1.
若fx的最大值为1，则a≠0，又−1若−1当x∈−1,a时，fx∈0,1−a2，当x∈a,3时，fx∈3a−1,a2−1，
因为−1若0当x∈−1,a时，fx∈0,1，当x∈a,3时，fx∈a2−1,3a−1，
因为fx的最大值为1，故3a−1≤1，即a≤23，即0综上0故答案为：0,1∪−1；x|03.（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数fx=1−x2,x∈−1,12x−a−2,x∈1,3，当a=0时，f(x)的最大值为 ；若f(x)无最大值，则实数a的一个取值为 .
【答案】 4 3（答案不唯一）
【分析】当a=0时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数f(x)的最大值；按照a≤1和a>1分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可.
【详解】当a=0时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]，
当x∈[−1,1]时，x2∈[0,1]，有1−x2∈[0,1]，从而y=1−x2∈0,1，
即当x=0时，y=1−x2有最大值1；
当x∈(1,3]时，y=2x−2∈(0,4]，即当x=3时，y=2x−2有最大值4；
综上，当x=3时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]有最大值4；
当a≤1时，函数y=2x−a−2在(1,3]上单调递增，则fx存在最大值为maxf0,f3；
当1若函数f(x)无最大值，则21−a−2>23−a−221−a−2>f0=11当a≥3时，函数y=2x−a−2在(1,3]单调递减，
若函数f(x)无最大值，则21−a−2>f0=1a≥3，解得a≥3，
综上，当f(x)无最大值时，a>52，故实数a的一个取值为3（答案不唯一）.
故答案为：4；3（答案不唯一）
4.（2024·全国·模拟预测）若函数fx=x2−2，x>ax3−2，x≤a的值域为R，则a的一个值为 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】分a<0，a≥0两种情况分类讨论可求得a的取值范围．
【详解】当x≤a时，fx=x3−2≤a3−2．若a<0，则当x>a时，fx=x2−2≥−2，
要使fx的值域为R，需a3−2≥−2，即a≥0，与a<0矛盾．
若a≥0，则当x>a时，fx=x2−2>a2−2．若fx的值域为R，
则a3−2≥a2−2，即a=0或a≥1，
可取a的一个值为1，答案不唯一，满足a=0或a≥1的数都可以．
故答案为：1(答案不唯一)．
5.（2023·上海青浦·一模）已知函数y=x2−2x+2 , x≥0x+ax+3a , x<0的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
【答案】−∞ , 0∪1 , +∞
【分析】
先求解出x≥0时fx的值域，然后根据a=0,a>0,a<0分类讨论x<0时fx的值域，由此确定出a的取值范围.
【详解】当x≥0时，fx=x2−2x+2=x−12+1，此时fx∈1,+∞，
当a=0且x<0时，fx=x，
此时fx∈−∞,0，且−∞,0∪1,+∞≠R，所以不满足；
当a>0且x<0时，fx=x+ax+3a，
由对勾函数单调性可知fx在−∞,−a上单调递增，在−a,0上单调递减，
所以fxmax=f−a=3a−2a，此时fx∈−∞,3a−2a，
若要满足fx的值域为R，只需要3a−2a≥1，解得a≥1；
当a<0且x<0时，因为y=x,y=ax均在−∞,0上单调递增，
所以fx=x+ax+3a在−∞,0上单调递增，且x→0时，fx→+∞，x→−∞时，fx→−∞，
所以此时fx∈−∞,+∞，此时显然能满足fx的值域为R；
综上可知，a的取值范围是−∞,0∪1,+∞，
故答案为：−∞,0∪1,+∞.
6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx=x2−3x,x≤3lg3x,x>3，若∃x0∈R，使得fx0≤10m+4m2成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．−94,−14B．−52,0
C．−∞,−94∪−14,+∞D．−∞,−52∪0,+∞
【答案】C
【分析】
先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数y=x2−3x在区间−∞,32上单调递减，在区间32，3上单调递增，
所以当x=32时，函数y=x2−3x,x≤3取得最小值−94.
又因为函数y=lg3x在区间3,+∞上单调递增，
所以当x>3时，lg3x>1.
综上可得函数fx=x2−3x,x≤3lg3x,x>3的最小值为−94.
因为∃x0∈R，使得fx0≤10m+4m2成立，
所以−94≤10m+4m2，解得：m≤−94或m≥−14.
故选：C.
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数fx=2x−3,x≥0fx+2,x<0则f−1=（ ）
A．1B．−1C．−72D．5
【答案】B
【分析】利用函数fx的解析式可求得f−1的值.
【详解】因为fx=2x−3,x≥0fx+2,x<0，则f−1=f1=21−3=−1.
故选：B.
2．（20-21高三上·天津红桥·期末）设函数fx=x2+2x≤1lg2x(x>1)，则ff0（ ）
A．0B．3
C．1D．2
【答案】C
【解析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案.
【详解】由题意得f(0)=02+2=2，所以f(f(0))=f(2)=lg22=1，
故选：C
3．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知函数fx=lg3x,x>02x,x≤0，则ff13=（ ）
A．2B．12C．14D．19
【答案】B
【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.
【详解】∵fx=lg3x,x>02x,x≤0，
∴f13=lg313=−1，
则ff13=f−1=2−1=12.
故选：B.
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−x2x2x≠0，则fx=（ ）
A．1x−12−1x≠0B．1x−12−1x≠1
C．4x−12−1x≠0D．4x−12−1x≠1
【答案】B
【分析】利用换元法令t=1−x，代入运算求解即可.
【详解】令t=1−x，则x=1−t，由于x≠0，则t≠1，
可得ft=1−1−t21−t2=1t−12−1，t≠1，
所以fx=1x−12−1x≠1.
故选：B.
5．（2024·山东泰安·二模）已知函数fx=2x+1−8,x≤14lg12x+1,x>1且fm=−12，则f6−m=（ ）
A．−1B．−3C．−5D．−7
【答案】D
【分析】根据函数解析式，当m≤1时m无解，当m>1时解得m=7，即可求解.
【详解】由题意知，当m≤1时，f(m)=2m+1−8=−12，
得2m+1=−4，又2m+1>0，所以方程无解；
当m>1时，f(m)=4lg12(m+1)=−12，
得lg12(m+1)=−3，即m+1=8，解得m=7，
所以f(6−m)=f(−1)=2−1+1−8=−7.
故选：D
6．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四组函数：
（1）fx=x，gx=x122；
（2）fx=x−2，gx=x2−4x+4；
（3）fx=1x，gx=f−1x；
（4）fx=lg12x，gx=xlg2．
其中相同的函数有 （请在横线内填序号）．
【答案】（3）（4）
【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）.
【详解】（1）中，fx=x的定义域为x∈R，gx=x122的定义域为[0,+∞)，
两个函数定义域不同，所以不是同一函数；
（2）中，fx=x−2，gx=x2−4x+4=(x−2)2=x−2，
两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数；
（3）中，fx=1x，gx=f−1x=1x，易知两函数是相同函数；
（4）中，fx=lg12x=lg2−x=−x⋅lg2=xlg2=gx，
易知两函数是相同函数.
故答案为：（3）（4）
7．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数fx=x2+1,x≤0−x+3,x>0，求使得fx≥2的自变量x的取值范围．
【答案】(−∞,−1]∪(0,1]
【分析】分别讨论x≤0和x>0两种情况，代入不同的解析式，求得各自解集，综合即可得答案.
【详解】当x≤0时，f(x)=x2+1≥2，解得x≤−1或x≥1（舍），所以x≤−1，
当x>0时，f(x)=−x+3≥2，解得x≤1，所以0综上：自变量x的取值范围为(−∞,−1]∪(0,1]
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．fx=x2，gx=x4B．fx=x−1，gx=x2x−1
C．fx=1，gx=x0D．fx=x，gx=x,x≥0−x,x<0
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数fx=x2的定义域为R，gx=x4的定义域为0,+∞，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数fx=x−1的定义域为R，gx=x2x−1的定义域为x|x≠0，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数fx=1的定义域为R，与gx=x0=1的定义域为{x|x≠0}，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数fx=x=x,x≥0−x,x<0与gx=x,x≥0−x,x<0的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数fx=ex+e−x2−1,x≥0ex−e−x, x<0，若fx1+fx2<0，则x1+x2的取值（ ）
A．一定为正B．一定为负C．一定为零D．正、负、零都可能
【答案】D
【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可.
【详解】例如x1=−1,x2=1，则fx1+fx2=e−1−e+e+e−12−1=3−e22e−1<0，
符合题意，此时x1+x2=0；
例如x1=x2=−1，则fx1+fx2=e−1−e+e−1−e=21−e2e<0，
符合题意，此时x1+x2=−2<0；
例如x1=−12,x2=1，则fx1+fx2=e−12−e12+e+e−12−1=1−ee2−e+12e<0，
符合题意，此时x1+x2=12>0；
综上所述：x1+x2的取值正、负、零都可能.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）设x∈R，定义符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，则（ ）
A． x= xsgnxB． x= xsgnxC． x = xsgnxD． x=xsgnx
【答案】D
【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解.
【详解】对于选项A， xsgnx=x,x≠00,x=0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x≠ xsgnx，故A不正确；
对于选项B， xsgnx=x,x≠00,x=0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x≠ xsgnx，故B不正确；
对于选项C， xsgnx=x,x≠00,x=0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x ≠ xsgnx，故C不正确；
对于选项D，xsgnx=x,x>00,x=0−x,x<0=x,x≥0−x,x<0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x=xsgnx，故D正确.
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知fx+1=x+2x，则fx= ．
（2）已知fx是三次函数，且在x=0处的极值为0，在x=1处的极值为1，则fx= ．
（3）已知f(x)的定义域为x|x≠0，满足3fx+5f1x=3x+1，则函数fx= ．
（4）已知函数fx+1是偶函数，且x<1时fx=x2−4x，则x>1时，fx= ．
【答案】 x2−1,x≥1 −2x2+3x2 516x−916x+18x≠0 x2−4
【分析】（1）第一空可用换元法设t=x+1，从而x=t−12,t≥1进一步代入即可求解；
（2）第二空先设函数表达式并求导，进一步由题意可列出方程组d=0c=0a+b+c+d=13a+2b+c=0，解方程组即可得解；
（3）构造函数方程组即可求解；
（4）由题意得fx=f2−x，注意到x>1时，则有2−x<1，从而即可进一步求解.
【详解】（1）设t=x+1，则x=t−12,t≥1，
代入原式有ft=t−12+2t−1=t2−2t+1+2t−2=t2−1.
故fx=x2−1,x≥1.
（2）设fx=ax3+bx2+cx+da≠0，则f'x=3ax2+2bx+c，
由题意得f0=0f'0=0f1=1f'1=0，即d=0c=0a+b+c+d=13a+2b+c=0，解得a=−2,b=3，
所以fx=−2x2+3x2，经检验，符合，.
（3）用1x代替3fx+5f1x=3x+1中的x，得3f1x+5fx=3x+1，
由3fx+5f1x=3x+13f1x+5fx=x+1，消去f1x，解得fx=516x−916x+18x≠0．
（4）由函数fx+1是偶函数，可得fx图象关于直线x=1对称，
所以fx=f2−x.
设x>1，则2−x<1，所以f2−x=2−x2−42−x=x2−4，
因为fx=f2−x，所以fx= x2−4.
故答案为：x2−1,x≥1；−2x2+3x；516x−916x+18x≠0；x2−4.
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=x−ax−1,x>0ex−a,x⩽0有两个零点，则实数a的取值范围为 .
【答案】−14,0∪0,1
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解.
【详解】①当a=0时，f(x)=x−1,x＞0ex,x≤0，由于x≤0时00时x−1>−1，
此时f(x)只有一个零点，所以a=0不符合题意；
②当a＜0时，f(x)=x+−ax−1,x＞0ex+(−a),x≤0，函数f(x)的大概图象如图所示，
，
由于x≤0时，ex+(−a)＞0，x＞0时，x+−ax−1≥2x⋅−ax−1=2−a−1，当且仅当x=−ax，即x=−a时取等号，
此时在0,+∞上有f(x)min=2−a−1，要使f(x)有两个零点，只需f(x)min=2−a−1＜0，即−14＜a＜0；
③当a＞0时，f(x)=x−ax−1,x＞0ex−a,x≤0，函数f(x)的大概图象如图所示，
，
由于函数y=x−ax−1在0,+∞上是增函数，x→0,f(x)→−∞,x→+∞,f(x)→+∞故与x轴有且只有一个交点，
要使f(x)有两个零点，只需函数y=ex−a(x≤0)有一个零点即可，
当0＜a≤1时，y=ex−a(x≤0)恰好只有一个零点.
综上所述，实数a的取值范围是−14,0∪0,1.
故答案为：−14,0∪0,1.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2+4x+1,x≤0,lg2x,x>0,则函数y=f(f(x))+1有 个零点．
【答案】7
【分析】设f(x)=m，则f(f(x))=−1等价于f(m)=−1，作出函数f(x)的图像，由图可知f(m)=−1有3个根，再根据f(x)=m结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果.
【详解】令y=0，则f(f(x))=−1，设f(x)=m，则f(f(x))=−1等价于f(m)=−1，
则函数y=f(f(x))+1的零点个数问题即为f(f(x))=−1解的个数问题．
二次函数y=x2+4x+1，其图像开口向上，过点(0,1)，对称轴为x=−2，最小值为−3，
由题意得f(x)=x2+4x+1,x≤0,lg2x,x>0,作出函数f(x)的图像如图所示．
由图可知f(m)=−1有3个根，当t>0时，lg2t=−1，即t=12；
当t≤0时，t2+4t+1=−1，即t=−2±2.
则对于f(x)=12，当lg2x=12时，x=2;
当x2+4x+1=12时，x=−2±142，此时共有3个解．
对于f(x)=−2+2，此时lg2x=−2+2有1个解，x2+4x+1=−2+2，即(x+2)2=1+2有2个解．
对于f(x)=−2−2，此时lg2x=−2−2有1个解，x2+4x+1=−2−2，即(x+2)2=1−2<0无解．
因此，此时函数y=f(f(x))+1有7个零点．
故答案为：7.
1.（2020·山东·高考真题）已知函数fx=2x−5,x≥0x2+2x,x<0.
（1）求ff1的值；
（2）求fa−1<3，求实数a的取值范围.
【答案】（1）3；（2）−3【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；
（2）先判断a−1的取值范围，再代入分段函数解析式，得到fa−1<3的具体不等式写法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为1>0，
所以f1=2×1−5=−3，因为−3<0，
所以ff1=f−3=−32+2×−3=3.
（2）因为a−1≥0，
则fa−1=2a−1−5，
因为fa−1<3，所以2a−1−5<3，
即a−1<4，解得−32．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100B．f(20)>1000
C．f(10)<1000D．f(20)<10000
【答案】B
【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x−1)+f(x−2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x−1)+f(x−2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0]B．[−1,0]C．[−1,1]D．[0,+∞)
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为fx在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足−−2a2×−1≥0−a≤e0+ln1，解得−1≤a≤0，
即a的范围是[−1,0].
故选：B.
4．（2019·天津·高考真题）已知函数f(x)=2x,0⩽x⩽1,1x,x>1.若关于x的方程f(x)=−14x+a (a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
A．54,94B．54,94C．54,94∪{1}D．54,94∪{1}
【答案】D
【分析】画出fx图象及直线y=−14x+a，借助图象分析．
【详解】如图，当直线y=−14x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方，
或者直线y=−14x+a与曲线y=1x相切在第一象限时符合要求．
即1≤−14+a≤2，即54≤a≤94，
或者−1x2=−14，得x=2，y=12，即12=−14×2+a，得a=1，
所以a的取值范围是54,94∪1．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
5．（四川·高考真题）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[−1,1)时，f(x)={−4x2+2,−1≤x<0,x,0≤x<1,，则f(32)=
【答案】1
【详解】试题分析：f(32)=f(−12)=−4×14+2=1.
【点晴】周期函数及分段函数.
6．（2017·全国·高考真题）设函数f(x)=x+1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x)+f(x−12)>1的x的取值范围是 .
【答案】(−14,+∞)
【详解】由题意得： 当x>12时，2x+2x−12>1恒成立，即x>12；当01 恒成立，即01⇒x>−14，即−14【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第15题,5分
函数与方程的综合应用 根据函数零点的个数求参数范围
已知方程求双曲线的渐近线
2023年天津卷，第15题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
2021年天津卷，第9题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
2020年天津卷，第9题,5分
根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用
函数
两集合A、B
设A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上
【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数
2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等.
知识讲解
知识点一.函数的概念
1.定义
2.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
知识点二.分段函数的定义
定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数．
分段函数的定义域是各段x取值集合的并集．
考点一、函数关系的判断
1.（2024高三·全国·专题练习）若函数y=fx的定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=y1≤y≤2，则函数y=fx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数定义判断即可得.
【详解】由函数定义可排除C，由值域为B=y1≤y≤2可排除A、B，
只有D选项为定义域为A=x0≤x≤2，值域为B=y1≤y≤2的函数的图象.
故选：D.
2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断.
【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误；
对于A：由等边三角形可知：线段AP的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；
对于D：由圆可知：线段AP的长度不会是线性变化，故D错误；
对于C：由正方形可知：线段AP的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确；
故选：B.
1.（22-23高三·全国·对口高考）已知函数f(x),x∈F，那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数有 .
【答案】0或1.
【分析】根据题意转化为x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，结合函数的定义，即可求解.
【详解】由集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数，
即为直线x=1与y=f(x),x∈F的图象的交点个数，
当1∈F时，此时，两个函数的图象有且仅有一个交点；
当1∉F时，此时，两个函数的图象没有公共点，
所以集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数为0个或1个.
故答案为：0或1.
2.（湖南·高考真题）给定k∈N∗，设函数f:N∗→N∗满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n−k.
(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为 ；
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 ．
【答案】 正整数 16
【分析】(1)n=k=1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f(1)的值是一个正整数；
(2)k=4，且n⩽4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f(n)的值在2、3中任选其一，求出所有可能的组合数即可得不同函数的个数．
【详解】(1)∵函数f:N∗→N∗，∴其值域为正整数，故函数f在n=1处的函数值为正整数；
(2)∵函数f:N∗→N∗，∴其值域为正整数，
又n≤4时，2≤f(n)≤3，
故n≤4时，f(n)∈{2，3}，
即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3，
则共2×2×2×2＝24=16种组合，
∴不同的函数f的个数为16.
故答案为：正整数；16．
3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线C与函数f(x)=324x3(0
【分析】设l是f(x)=324x3(0
如图所示直线y=3x与x=a的角为π6，所以l的倾斜角为π6，
所以l的方程为l:y=33(x−t)+324t3(0
则(x−t)(x2+xt+t2−8)=0，即x2+xt+t2−8=0与x−t=0同解，
所以t=263
所以t的取值范围为(0,263].
故答案为：(0,263]
4.（22-23高三上·上海静安·期中）已知函数y=f(x)的定义域为{a,b,c}，值域为{−2,−1,0,1,2}的子集，则满足f(a)+f(b)+f(c)=0的函数y=f(x)的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【分析】对fa、fb、fc的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数y=fx的个数，即可得解.
【详解】解：分以下几种情况讨论：
①当fa、fb、fc全为0时，只有1种；
②当fa、fb、fc中有两个为−1，一个为2时，有3种；
③当fa、fb、fc中有两个为1，一个为−2时，有3种；
④当fa、fb、fc三者都不相等时，可分别取值为−1、0、1，有3×2×1=6种；
⑤当fa、fb、fc三者都不相等时，可分别取值为−2、0、2，有3×2×1=6种.
综上所述，满足条件的函数y=fx的个数为1+3+3+6+6=19个.
故选：D.
考点二、相同函数的判断
1.（全国·高考真题）与函数y=x有相同图象的一个函数是（ ）
A．y=x2B．y=x2x
C．y=algax，其中a>0,a≠1D．y=lgaax，其中a>0,a≠1
【答案】D
【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点(0,0)判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为y=x与函数y=x有相同图象判断正确.
【详解】选项A：y=x2=x，图象为折线.判断错误；
选项B：y=x2x=x(x≠0)，图象上无原点(0,0).判断错误；
选项C：y=algax=x(x>0)，图象为无端点射线.判断错误；
选项D：y=lgaax=x，与函数y=x有相同图象.判断正确.
故选：D
2.（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数fx=x是同一函数的是（ ）
A．fx=(x)2B．fx=x2
C．fx=3x3D．ft=t2t
【答案】C
【分析】由同一函数的定义依次判断选项即可.
【详解】解：函数fx=x，定义域为R.
选项A中fx=(x)2=x，定义域为0,+∞，故A错误；
选项B中fx=x2=x，定义域为R，故B错误；
选项C中fx=3x3=x，定义域为R，故C正确；
选项D中ft=t2t=t，定义域为t∣t≠0，故D错误.
故选：C.
1.（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．y=x+1与y=x2+xxB．fx=x2(x)2与gx=x
C．fx=∣x∣与gx=nxnD．fx=x与gt=lgaat
【答案】D
【分析】对于A：由定义域不同,即可判断；
对于B：由定义域不同，即可判断；
对于C：由对应关系不同，即可判断；
对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.
【详解】对于A：y=x+1的定义域为R，y=x2+xx的定义域为−∞,0∪0,+∞，定义域不同，所以A错误；
对于B：fx=x2(x)2的定义域为0,+∞，gx=x的定义域为R，定义域不同，所以B错误；
对于C：fx=∣x∣，对于gx=nxn=x,n为偶数x,n为奇数，对应关系不同，故C错误；
对于D：fx=x定义域为R, gt=lgaat=t，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数.
故选：D
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．fx=x0与gx=1
B．fx=x与gx=x2x
C．fx=x−20232与gx=x−2023
D．fx=1,x≥0−1,x<0与gx=xx,x≠01,x=0
【答案】D
【分析】根据函数三要素，即定义域、对应关系、值域，三者只要有一个不相同，函数即不是同一函数，由此一一判断各选项，即得答案.
【详解】对于A，fx=x0的定义域为{x|x≠0)，而gx=1定义域为R，
故二者不是同一函数；
对于B，fx=x的定义域为R，与gx=x2x的定义域为{x|x≠0)，
故二者不是同一函数；
对于C，fx=x−20232=|x−2023|与gx=x−2023对应关系不同，
故二者不是同一函数；
对于D，gx=xx,x≠01,x=0=1,x>01,x=0−1,x<0=1,x≥0−1,x<0与fx=1,x≥0−1,x<0的定义域以及对应关系、值域都相同，
故二者为同一函数，
故选：D
3．（2023高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．fx=x，gx=x2B．ft=t，gx=x2
C．fx=−2x3，gx=−2xD．fx=x2−9x−3，gx=x+3
【答案】B
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，函数fx的定义域为R，函数gx的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为gx=x2=x，且f(t)，gx的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，fx=−2x3=−x−2x，fx和gx的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数fx的定义域为{xx∈R，且x≠3}，函数gx的定义域为R，
所以这两个函数不是同一个函数.
故选：B.
4．（22-23高三·全国·课后作业）以下四个命题：
①当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
②函数y=x2和y=elnx2为同一个函数；
③若定义域为R的函数y=fx是奇函数，则f0=0；
④已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一段连续曲线，若fa⋅fb>0，则函数fx在a,b上没有零点．
其中，真命题的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】判断n=0是函数y=xn的图象形状，判断①；根据函数y=x2和y=elnx2的定义域可判断②；根据奇函数的定义和性质可判断③；举反例可判断④.
【详解】当n=0时，函数y=x0,定义于为{x∈R|x≠0},
故此时函数图象为直线y=1上挖去点(0,1)，①错误；
函数y=x2的定义域为R，函数y=elnx2定义域为{x∈R|x≠0}，
故函数y=x2和y=elnx2不是同一个函数，②错误；
若定义域为R的函数y=fx是奇函数，则f(−0)=−f(0)，则f0=0，③是真命题；
函数y=fx在区间a,b上的图象是一段连续曲线，若fa⋅fb>0，
不妨取fx=x2−3x+2，区间为0,3，满足f0⋅f3>0，
当fx=x2−3x+2在0,3内有零点1和2，故④错误，
故真命题的个数为1，
故选：A
考点三、函数解析式的求法
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x+1)=x−4，则fx= .
【答案】x2−2x−3x≥1
【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得fx.
【详解】令x+1=t(t≥1)，则x=(t−1)2(t≥1)，
于是有f(t)=(t−1)2−4=t2−2t−3(t≥1)，所以f(x)=x2−2x−3(x≥1).
故答案为：x2−2x−3x≥1
2.（2024高三·全国·专题练习）已知fx满足2f(x)+f(−x)=3x，求fx的解析式.
【答案】f(x)=3x
【分析】列方程组法求函数的解析式.
【详解】对于任意的x都有2f(x)+f(−x)=3x，
所以将x替换为−x，得2f(−x)+f(x)=−3x，
联立方程组：2f(x)+f(−x)=3x2f(−x)+f(x)=−3x，消去f(−x)，可得f(x)=3x.
1.（2024高三·全国·专题练习）已知fx为二次函数且f0=3，fx+2−fx=4x+2，则fx= ．
【答案】x2−x+3
【分析】根据条件设二次函数为fx=ax2+bx+ca≠0，代入条件求解即可．
【详解】设fx=ax2+bx+ca≠0，
∵ fx+2=a(x+2)2+bx+2+c，
∴fx+2−fx=4ax+4a+2b=4x+2，
∴4a=44a+2b=2⇒a=1b=−1．
又f0=3⇒c=3，
∴fx=x2−x+3.
故答案为：x2−x+3
2.（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数fcsx=csx+cs2x，则ff12=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】B
【分析】由二倍角公式结合换元法求出函数解析式即可求解.
【详解】因为fcsx=csx+cs2x=csx+2cs2x−1
所以fx=x+2x2−1,−1≤x≤1，
则f12=12+2×14−1=0，
所以f(f(12))=f0=−1.
故选：B.
3.（安徽·高考真题）若f(sinx)=2−cs2x，则f(csx)=（ ）
A．2−sin2xB．2+sin2xC．2−cs2xD．2+cs2x
【答案】D
【分析】首先利用二倍角公式化简求出fx，再利用二倍角变形即可求得f(csx).
【详解】∵fsinx=2−cs2x=2−1−2sinx2=2−1+2sinx2=1+2sinx2
∴fx=1+2x2，∴fcsx=1+2csx2−1+1=2+cs2x
故选：D
4.（湖北·高考真题）已知f(1−x1+x)=1−x21+x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=x1+x2B．f(x)=−2x1+x2
C．f(x)=2x1+x2D．f(x)=−x1+x2
【答案】C
【解析】令1−x1+x=t，即可用换元法求函数解析式.
【详解】令1−x1+x=t，
得x=1−t1+t，
∴f(t)=1− (1−t1+t)21+(1−t1+t)2=2t1+t2，
∴f(x)=2x1+x2．
故选：C．
【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，属简单题.
5.（2024·四川·模拟预测）已知fx为定义在R上的单调函数，且对∀x∈R,ffx−ex=2+ln2，则fln3=（ ）
A．3ln2B．3+ln2
C．3−ln2D．ln3
【答案】B
【分析】根据题意，设fx−ex=t，用ft求t的值，进而可得fx的解析式，从而可得fln3.
【详解】设fx−ex=t，则fx=ex+t，
所以ft=et+t=2+ln2，即et+lnet=2+ln2，
设gx=x+lnx(x>0)，易知gx在0,+∞上单调递增，
所以et=2，即t=ln2，
故fx=ex+ln2，所以fln3=eln3+ln2=3+ln2．
故选：B．
6.（23-24高三下·重庆·阶段练习）设fx是定义在R上的单调增函数，且满足f−1−x+fx=−7，若对于任意非零实数x都有ffx+1fx+3−x−1x+2=−4，则f2024= .
【答案】2021
【分析】利用赋值法求解，令t=fx+1fx+3−x−1x+2，则ft=−4，再令x=t，结合题意中条件求得t，可求得fx，进而可得结果.
【详解】令t=fx+1fx+3−x−1x+2，则ft=−4，
令x=t，则t=ft+1ft+3−t−1t+2=−4−1−t−1t+2，解得t=−1或−12.
而f−1−x+fx=−7，则f−1−−12+f−12=−7，故f−12=−72，因此t=−1.
则−1=fx+1fx+3−x−1x+2，
即fx+3+1fx+3=x+1x⇔fx+3−x=1x−1fx+3=fx+3−xxfx+3.
因此fx+3−x=0或xfx+3=1，
当xfx+3=1时，fx=1x−3，在0,+∞上单调递减，不满足题意，舍去；
当fx=x−3时，满足题意.
则f2024=2021.
故答案为：2021
【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法：
（1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解；
（2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的．
考点四、分段函数求值
1.（山东·高考真题）设fx=2ex−1,x<2lg3x2−1,x≥2 ，则ff2的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，先计算f(2)的值，再根据其大小范围代入相应的解析式中求得答案.
【详解】f(2)=lg3(22−1)=1 ，
故ff2=f(1)=2e1−1=2，
故选：C
2.（2024·上海·高考真题）已知fx=x,x>01,x≤0,则f3= ．
【答案】3
【分析】利用分段函数的形式可求f3.
【详解】因为fx=x,x>01,x≤0,故f3=3，
故答案为：3.
1.（2022·浙江·高考真题）已知函数f(x)=−x2+2, x≤1,x+1x−1, x>1,则ff12= ；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b−a的最大值是 ．
【答案】 3728 3+3/3+3
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出a的最小值,b的最大值即可.
【详解】由已知f(12)=−122+2=74，f(74)=74+47−1=3728，
所以 ff(12)=3728，
当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤−x2+2≤3，所以−1≤x≤1，
当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x−1≤3，所以1
所以b−a的最大值为3+3.
故答案为：3728，3+3.
2.（2021·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=x2−4,x>2x−3+a,x≤2,若ff6=3，则a= .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.
【详解】ff6=f6−4=f2=2−3+a=3，故a=2，
故答案为：2.
3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数fx=12x+1,x≤0f(x−3),x>0，则f2020= .
【答案】45/0.8
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为fx=12x+1,x≤0f(x−3),x>0，
所以f2020=f673×3+1=f1=f1−3=f−2=12−2+1=45.
故答案为：45
4.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=2x,x<0sin(2x+π6),x≥0，则f[f(π2)]= .
【答案】22
【分析】判断所在区间，再代入计算即得.
【详解】依题意，f(π2)=sin(2×π2+π6)=−12，
所以f[f(π2)]=f(−12)=2−12=22.
故答案为：22
5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数fx=2x−1,x≤0lg2x,x>0，则f2+f−1= ．
【答案】0
【分析】根据分段函数解析式进行求值.
【详解】依题意，fx=2x−1,x≤0lg2x,x>0，
所以f2+f−1=lg22+2−1−1
=lg2212+12−1=12+12−1=0.
故答案为：0
6.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数fx=lg31−x,x<11+3x−1,x≥1，则f(−2)+flg312= .
【答案】6
【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量，化简求值.
【详解】f−2=lg33=1，flg312=f1+lg34=1+31+lg34−1=1+4=5，
所以f(−2)+flg312=6.
故答案为：6
7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设fx=ax,x≥0lgax2+a2,x<0，且f2=4，则a= ，f−2= .
【答案】 2 3
【分析】根据f2=4求出a=2，从而fx=2x,x≥0lg2x2+4,x<0，由此能求出f−2的值.
【详解】∵fx=ax,x≥0lgax2+a2,x<0，且f2=4，∴f2=a2=4，解得a=2，∴fx=2x,x≥0lg2x2+4,x<0，
∴f−2=lg28=3.
故答案为：2，3.
考点五、分段函数的应用
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=sinπx,x≤12fx+32,12
A．−1B．0C．12D．1
【答案】D
【分析】结合函数的周期性和正弦函数值解出即可.
【详解】由题意知f2024=f2=f72=f32=f3=f1=f52=f12=sinπ2=1．
故选：D．
2.（2022·北京·高考真题）设函数f(x)=−ax+1, x
【分析】根据分段函数中的函数y=−ax+1的单调性进行分类讨论，可知，a=0符合条件，a<0不符合条件，a>0时函数y=−ax+1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x−2)2的最小值，根据定义域讨论可知−a2+1≥0或−a2+1≥a−22， 解得 0
若a<0时，当x
当x
当x>a时，f(x)min={0(a−2)2(0
解得0
故答案为：0（答案不唯一），1
1.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=x−4,x≥λx2−4x+3,x<λ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞)
【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.
详解：由题意得x≥2x−4<0或x<2x2−4x+3<0，所以2≤x<4或1
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2.（2024·天津·二模）设a∈R，函数fx=1x−a+1+a,x
【分析】对不同情况下的a分类，然后分别讨论fx相应的零点分布，即可得到a的取值范围.
【详解】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”，
即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个.
当a≤0时，只要x≠a+1，就有x2−2a+1x+2a2−a+1=x−a−12+a2−3a>−3a≥0，
故fx在a,+∞上至多可能有1个零点，从而在0,+∞上至多可能有1个零点，不满足条件；
当a>3时，有x2−2a+1x+2a2−a+1=x−a−12+a2−3a≥a2−3a=aa−3>0，
所以fx在a,+∞上没有零点.
而若1x−a+1+a=0，则只可能x=a−1a−1，所以fx在−∞,a上至多可能有1个零点.
故fx在R上至多可能有1个零点，从而在0,+∞上至多可能有1个零点，不满足条件；
当0
再解方程x2−2a+1x+2a2−a+1=0，即x−a−12+a2−3a=0，
可得两个不同的实数根x=a+1±a3−a.
而fa=a2−2a+1a+2a2−a+1=a2−3a+1，a+1+a3−a>a+1>a.
故x=a+1+a3−a确为fx在a,+∞上的一个零点，
而当且仅当a2−3a+1≥0时，另一根x=a+1−a3−a是fx在a,+∞上的一个零点.
条件为fx在区间0,+∞内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：a−1a−1≥0a2−3a+1<0或a−1a−1<0a2−3a+1≥0.
解得a∈0,3−52∪5+12,3+52；
当a=3时，验证知fx恰有两个零点53和4，满足条件.
综上，a的取值范围是0,3−52∪5+12,3+52∪3.
故答案为：0,3−52∪5+12,3+52∪3
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于需要分较多的情况讨论，不重不漏、细致讨论方可得解.
3.（2024·北京西城·二模）已知函数fx=x2+2x,x<−2或x>112−3x2,−2≤x≤1，g(x)=f(x)−a，其中a∈R．
①若函数g(x)无零点，则a的一个取值为 ；
②若函数g(x)有4个零点xi ( i=1 ,2 ,3 ,4 )，则x1+x2+x3+x4= ．
【答案】 − 1 − 2
【分析】①结合函数fx的图象， 函数g(x)无零点，即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以可得到a的一个取值；②由图象对称，即可算出x1+x2+x3+x4的值.
【详解】画函数fx=x2+2x,x<−2或x>112−3x2,−2≤x≤1的图象如下：
①函数g(x)=f(x)−a无零点，即f(x)−a=0 无解，
即y=f(x)与y=a的图象无交点，所以a<0，可取a=−1；
②函数g(x)有4个零点，即f(x)−a=0 有4个根，
即y=f(x)与y=a的图象有4个交点，
由x1、x4关于x=−1对称，所以x1+x4=−2，
x2、x3关于x=0对称，所以x 2+x 3=0，
所以x1+x2+x3+x4=−2.
故答案为：−1；−2.
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−1x,x<0ex−2,x≥0，若x1
【分析】设fx1=fx2=t，可得x1=−1t，x2=lnt+2，构造函数x2−x1=gt=lnt+2+1t，根据导数判断函数的单调性与最值.
【详解】设fx1=fx2=t，即−1x1=ex2−2=t，x1<0，x2≥0，则t>0，
所以x1=−1t，x2=lnt+2，则x2−x1=lnt+2+1t，
令gt=lnt+2+1tt>0，
则g't=1t+2−1t2=t2−t−2t2t+2=t−2t+1t2t+2，
所以当t∈0,2时，g't<0，函数gt单调递减；
当t∈2,+∞时，g't>0，函数gt单调递增，
所以当t=2时，gt取得最小值，为g2=2ln2+12，
即x2−x1取得最小值，为2ln2+12，
故答案为：2ln2+12.
5.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数fx=1,x<0x2+1,x≥0,则方程f1−x2=fx所有的解构成的集合是 ．
【答案】xx=5−12或x≤−1
【分析】根据题意,先将f1−x2分类讨论求出解析式.后直接解出来即可.
【详解】f1−x2=1,x<−1或x>11−x22+1,−1≤x≤1,又fx=1,x<0x2+1,x≥0,
当x<−1时,f1−x2=fx=1,解得x<−1；
当−1≤x<0时,1=1−x22+1,解得x=−1；
当x>1时,x2+1=1,无解；
当0≤x≤1时,x2+1=1−x22+1,解得x=5−12．
所以方程f1−x2=fx所有的解构成的集合是{x|x=5−12或x≤−1．
故答案为:xx=5−12或x≤−1.
考点六、分段函数不等式
1.（2024·江西南昌·二模）已知fx=−x2−2x,x<0lg2x+1,x≥0，则不等式f(x)<2的解集是（ ）
A．(−∞,2)B．(−∞,3)C．[0,3)D．(3,+∞)
【答案】B
【分析】分别在x<0,x≥0条件下化简不等式求其解可得结论.
【详解】当x<0时，不等式f(x)<2可化为−x2−2x<2，
所以x2+2x+2>0，可得x<0；
当x≥0时，不等式f(x)<2可化为lg2x+1<2，
所以x+1<4，且x+1>0，
所以0≤x<3，
所以不等式f(x)<2的解集是(−∞,3)，
故选：B.
2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=x+3,x<14x,x≥1，若fa2+2<2f3−a2，则a的取值范围是（ ）
A．−32,1B．−1−174,−1+174
C．−1,12D．−1−172,−1+172
【答案】A
【分析】首先将不等式化为12fa2+2
得12fa2+2
从而不等式转化为fa2+32
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=csx+x22,x≤0x3+3x2−3,x>0，则不等式fx≥1的解集为（ ）
A．0∪1,+∞B．−∞,0∪2,+∞
C．0,1D．−∞,0∪1,+∞
【答案】D
【分析】根据给定条件，借助导数判断函数单调性，并分段求解不等式即得.
【详解】当x≤0时，f(x)=csx+x22，求导得f'(x)=−sinx+x，令ℎ(x)=x−sinx,x≤0，
求导得ℎ'(x)=1−csx≥0，则函数ℎ(x)，即f'(x)在−∞,0上单调递增，f'(x)≤f'(0)=0，
函数f(x)在−∞,0上单调递减，而f(0)=1，当x≤0时，不等式fx≥1⇔f(x)≥f(0)，因此x≤0；
当x>0时，f(x)=x3+3x2−3=(x−1)(x+2)2+1，由fx≥1，得(x−1)(x+2)2≥0，因此x≥1，
所以不等式f(x)≥1的解集为−∞,0∪1,+∞.
故选：D
2.（2024·北京东城·二模）设函数fx=1,x<1x2,x≥1，则ff12= ，不等式f(x)
【分析】根据题中分段函数解析式直接代入即可求ff12；分2x<1、2x≥1x<1和x≥1三种情况，结合题中函数解析式分析求解.
【详解】由题意可知：ff12=f1=1；
因为f(x)
解得x>12或x<−12，所以x∈−1,−12∪12,1；
当x≥1，即x≥1或x≤−1时，则2x=2x≥2>1，可得x2<2x2=4x2，符合题意；
综上所述：不等式f(x)
3.（2024·湖北·一模）已知函数fx=x+1,x≤0lnx+1,x>0，则关于x的不等式fx≤1的解集为 ．
【答案】−∞,e−1
【分析】根据分段函数的性质及对数函数的单调性解不等式可得结果.
【详解】当x≤0时，fx=x+1≤1得x≤0，∴x≤0
当x>0时，fx=lnx+1≤1，得−1
故答案为：−∞,e−1.
4.（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=12x,x≤01−3x,x>0，则ff−1= ；若f2a2−3>f5a，则实数a的取值范围是 .
【答案】 −5 −12
【详解】解：由fx=12x,x≤01−3x,x>0，得f−1=2，
所以ff−1=f2=1−6=−5，
因为y=12x,y=1−3x都是减函数，
且当x=0时，y=12x=1,y=1−3x=1，
所以函数fx是R上的减函数，
则f2a2−3>f5a，
即为2a2−3<5a，解得−12
【答案】−1,12
【分析】对a分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可.
【详解】当a>0，fa>12即lg14a>12，解得0
故答案为：−1,12
6.（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知函数fx=2-12x,x≤012x2+1,x>0，则不等式f3x-1>3的解集为 .
【答案】1,+∞
【分析】分别在条件3x-1>0，3x-1≤0下化简不等式，再求其解，由此可得不等式f3x-1>3的解集.
【详解】当3x-1≤0时，即x≤0时，f3x-1=2-123x-1，所以不等式f3x-1>3可化为2-123x-1>3，所以x≤0且-1>123x-1，所以满足条件的x不存在，
即当x≤0时，不等式无解，
当3x-1>0时，即x>0时，f3x-1=123x-12+1，此时不等式f3x-1>3可化为123x-12+1>3，得3x-1>2或3x-1<-2，解得x>1，
所以不等式f3x-1>3的解集为1,+∞，
故答案为：1,+∞.
7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数fx=21−x−2,x≤11−lg2x−1,x>1则满足fx≤2的x的取值范围是 .
【答案】[−1,1]∪[32,+∞)
【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数以及对数函数性质，分段解不等式，即可得答案.
【详解】当x≤1时，fx≤2即21−x−2≤2,∴1−x≤2,∴x≥−1，则−1≤x≤1；
当x>1时，fx≤2即1−lg2x−1≤2，解得x≥32，即x≥32，
故满足fx≤2的x的取值范围是[−1,1]∪[32,+∞)，
故答案为：[−1,1]∪[32,+∞)
考点七、分段函数的值域与最值
1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函数fx=sin12x+π6,x≤2π3lg1ex,2π3
【答案】C
【分析】利用三角函数及对数函数的性质计算即可.
【详解】易知x≤2π3 时，12x+π6≤π2，所以−1≤sin12x+π6≤1，
又y=lg1ex=−lnx为减函数，
所以2π3
而−1<−ln2π3<0，所以fx的值域是−lnc,1，
则c=e2.
故选：C
2.（2024·北京西城·一模）已知函数fx=x2+x,−2
【答案】A
【分析】运用二次函数的性质求得−2
1.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数fx=x2+ax,x<0−xx+1,x≥0的最小值为-1，则a= .
【答案】2
【分析】
由题意得出函数y=x2+ax在−∞,0上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【详解】当x≥0时，y=−xx+1=1x+1−1>−1.
因为fx的最小值为-1，所以函数y=x2+ax在−∞,0上取得最小值-1，
则−a2<0−a24=−1，解得a=2.
故答案为：2.
2.（23-24高三下·北京西城·开学考试）设定义在−1,3函数fx=1−x2,x∈−1,a,ax−1,x∈a,3.当a=0时，fx的值域为 ；若fx的最大值为1，则实数a的所有取值组成的集合为 .
【答案】 0,1∪−1 x|0
当x∈−1,0时，fx=1−x2，fx∈0,1，当x∈0,3时，fx=−1，
故当a=0时，fx的值域为0,1∪−1.
若fx的最大值为1，则a≠0，又−1
因为−1
因为fx的最大值为1，故3a−1≤1，即a≤23，即0
【答案】 4 3（答案不唯一）
【分析】当a=0时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]，分别求解两部分函数最大值，然后求出函数f(x)的最大值；按照a≤1和a>1分类讨论，利用单调性分析最值位置，按照题意列不等式求解即可.
【详解】当a=0时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]，
当x∈[−1,1]时，x2∈[0,1]，有1−x2∈[0,1]，从而y=1−x2∈0,1，
即当x=0时，y=1−x2有最大值1；
当x∈(1,3]时，y=2x−2∈(0,4]，即当x=3时，y=2x−2有最大值4；
综上，当x=3时，f(x)=1−x2,x∈[−1,1]2x−2,x∈(1,3]有最大值4；
当a≤1时，函数y=2x−a−2在(1,3]上单调递增，则fx存在最大值为maxf0,f3；
当1
若函数f(x)无最大值，则21−a−2>f0=1a≥3，解得a≥3，
综上，当f(x)无最大值时，a>52，故实数a的一个取值为3（答案不唯一）.
故答案为：4；3（答案不唯一）
4.（2024·全国·模拟预测）若函数fx=x2−2，x>ax3−2，x≤a的值域为R，则a的一个值为 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】分a<0，a≥0两种情况分类讨论可求得a的取值范围．
【详解】当x≤a时，fx=x3−2≤a3−2．若a<0，则当x>a时，fx=x2−2≥−2，
要使fx的值域为R，需a3−2≥−2，即a≥0，与a<0矛盾．
若a≥0，则当x>a时，fx=x2−2>a2−2．若fx的值域为R，
则a3−2≥a2−2，即a=0或a≥1，
可取a的一个值为1，答案不唯一，满足a=0或a≥1的数都可以．
故答案为：1(答案不唯一)．
5.（2023·上海青浦·一模）已知函数y=x2−2x+2 , x≥0x+ax+3a , x<0的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
【答案】−∞ , 0∪1 , +∞
【分析】
先求解出x≥0时fx的值域，然后根据a=0,a>0,a<0分类讨论x<0时fx的值域，由此确定出a的取值范围.
【详解】当x≥0时，fx=x2−2x+2=x−12+1，此时fx∈1,+∞，
当a=0且x<0时，fx=x，
此时fx∈−∞,0，且−∞,0∪1,+∞≠R，所以不满足；
当a>0且x<0时，fx=x+ax+3a，
由对勾函数单调性可知fx在−∞,−a上单调递增，在−a,0上单调递减，
所以fxmax=f−a=3a−2a，此时fx∈−∞,3a−2a，
若要满足fx的值域为R，只需要3a−2a≥1，解得a≥1；
当a<0且x<0时，因为y=x,y=ax均在−∞,0上单调递增，
所以fx=x+ax+3a在−∞,0上单调递增，且x→0时，fx→+∞，x→−∞时，fx→−∞，
所以此时fx∈−∞,+∞，此时显然能满足fx的值域为R；
综上可知，a的取值范围是−∞,0∪1,+∞，
故答案为：−∞,0∪1,+∞.
6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数fx=x2−3x,x≤3lg3x,x>3，若∃x0∈R，使得fx0≤10m+4m2成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．−94,−14B．−52,0
C．−∞,−94∪−14,+∞D．−∞,−52∪0,+∞
【答案】C
【分析】
先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.
【详解】因为函数y=x2−3x在区间−∞,32上单调递减，在区间32，3上单调递增，
所以当x=32时，函数y=x2−3x,x≤3取得最小值−94.
又因为函数y=lg3x在区间3,+∞上单调递增，
所以当x>3时，lg3x>1.
综上可得函数fx=x2−3x,x≤3lg3x,x>3的最小值为−94.
因为∃x0∈R，使得fx0≤10m+4m2成立，
所以−94≤10m+4m2，解得：m≤−94或m≥−14.
故选：C.
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数fx=2x−3,x≥0fx+2,x<0则f−1=（ ）
A．1B．−1C．−72D．5
【答案】B
【分析】利用函数fx的解析式可求得f−1的值.
【详解】因为fx=2x−3,x≥0fx+2,x<0，则f−1=f1=21−3=−1.
故选：B.
2．（20-21高三上·天津红桥·期末）设函数fx=x2+2x≤1lg2x(x>1)，则ff0（ ）
A．0B．3
C．1D．2
【答案】C
【解析】将自变量代入对应的分段函数中，即可求得答案.
【详解】由题意得f(0)=02+2=2，所以f(f(0))=f(2)=lg22=1，
故选：C
3．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知函数fx=lg3x,x>02x,x≤0，则ff13=（ ）
A．2B．12C．14D．19
【答案】B
【分析】根据自变量所在的范围代入解析式求解即可.
【详解】∵fx=lg3x,x>02x,x≤0，
∴f13=lg313=−1，
则ff13=f−1=2−1=12.
故选：B.
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数f1−x=1−x2x2x≠0，则fx=（ ）
A．1x−12−1x≠0B．1x−12−1x≠1
C．4x−12−1x≠0D．4x−12−1x≠1
【答案】B
【分析】利用换元法令t=1−x，代入运算求解即可.
【详解】令t=1−x，则x=1−t，由于x≠0，则t≠1，
可得ft=1−1−t21−t2=1t−12−1，t≠1，
所以fx=1x−12−1x≠1.
故选：B.
5．（2024·山东泰安·二模）已知函数fx=2x+1−8,x≤14lg12x+1,x>1且fm=−12，则f6−m=（ ）
A．−1B．−3C．−5D．−7
【答案】D
【分析】根据函数解析式，当m≤1时m无解，当m>1时解得m=7，即可求解.
【详解】由题意知，当m≤1时，f(m)=2m+1−8=−12，
得2m+1=−4，又2m+1>0，所以方程无解；
当m>1时，f(m)=4lg12(m+1)=−12，
得lg12(m+1)=−3，即m+1=8，解得m=7，
所以f(6−m)=f(−1)=2−1+1−8=−7.
故选：D
6．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四组函数：
（1）fx=x，gx=x122；
（2）fx=x−2，gx=x2−4x+4；
（3）fx=1x，gx=f−1x；
（4）fx=lg12x，gx=xlg2．
其中相同的函数有 （请在横线内填序号）．
【答案】（3）（4）
【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）.
【详解】（1）中，fx=x的定义域为x∈R，gx=x122的定义域为[0,+∞)，
两个函数定义域不同，所以不是同一函数；
（2）中，fx=x−2，gx=x2−4x+4=(x−2)2=x−2，
两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数；
（3）中，fx=1x，gx=f−1x=1x，易知两函数是相同函数；
（4）中，fx=lg12x=lg2−x=−x⋅lg2=xlg2=gx，
易知两函数是相同函数.
故答案为：（3）（4）
7．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数fx=x2+1,x≤0−x+3,x>0，求使得fx≥2的自变量x的取值范围．
【答案】(−∞,−1]∪(0,1]
【分析】分别讨论x≤0和x>0两种情况，代入不同的解析式，求得各自解集，综合即可得答案.
【详解】当x≤0时，f(x)=x2+1≥2，解得x≤−1或x≥1（舍），所以x≤−1，
当x>0时，f(x)=−x+3≥2，解得x≤1，所以0
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
A．fx=x2，gx=x4B．fx=x−1，gx=x2x−1
C．fx=1，gx=x0D．fx=x，gx=x,x≥0−x,x<0
【答案】D
【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.
【详解】对于A中，函数fx=x2的定义域为R，gx=x4的定义域为0,+∞，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数fx=x−1的定义域为R，gx=x2x−1的定义域为x|x≠0，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数fx=1的定义域为R，与gx=x0=1的定义域为{x|x≠0}，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数fx=x=x,x≥0−x,x<0与gx=x,x≥0−x,x<0的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数fx=ex+e−x2−1,x≥0ex−e−x, x<0，若fx1+fx2<0，则x1+x2的取值（ ）
A．一定为正B．一定为负C．一定为零D．正、负、零都可能
【答案】D
【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可.
【详解】例如x1=−1,x2=1，则fx1+fx2=e−1−e+e+e−12−1=3−e22e−1<0，
符合题意，此时x1+x2=0；
例如x1=x2=−1，则fx1+fx2=e−1−e+e−1−e=21−e2e<0，
符合题意，此时x1+x2=−2<0；
例如x1=−12,x2=1，则fx1+fx2=e−12−e12+e+e−12−1=1−ee2−e+12e<0，
符合题意，此时x1+x2=12>0；
综上所述：x1+x2的取值正、负、零都可能.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）设x∈R，定义符号函数sgnx=1,x>00,x=0−1,x<0，则（ ）
A． x= xsgnxB． x= xsgnxC． x = xsgnxD． x=xsgnx
【答案】D
【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解.
【详解】对于选项A， xsgnx=x,x≠00,x=0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x≠ xsgnx，故A不正确；
对于选项B， xsgnx=x,x≠00,x=0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x≠ xsgnx，故B不正确；
对于选项C， xsgnx=x,x≠00,x=0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x ≠ xsgnx，故C不正确；
对于选项D，xsgnx=x,x>00,x=0−x,x<0=x,x≥0−x,x<0， x=x,x≥0−x,x<0，故 x=xsgnx，故D正确.
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知fx+1=x+2x，则fx= ．
（2）已知fx是三次函数，且在x=0处的极值为0，在x=1处的极值为1，则fx= ．
（3）已知f(x)的定义域为x|x≠0，满足3fx+5f1x=3x+1，则函数fx= ．
（4）已知函数fx+1是偶函数，且x<1时fx=x2−4x，则x>1时，fx= ．
【答案】 x2−1,x≥1 −2x2+3x2 516x−916x+18x≠0 x2−4
【分析】（1）第一空可用换元法设t=x+1，从而x=t−12,t≥1进一步代入即可求解；
（2）第二空先设函数表达式并求导，进一步由题意可列出方程组d=0c=0a+b+c+d=13a+2b+c=0，解方程组即可得解；
（3）构造函数方程组即可求解；
（4）由题意得fx=f2−x，注意到x>1时，则有2−x<1，从而即可进一步求解.
【详解】（1）设t=x+1，则x=t−12,t≥1，
代入原式有ft=t−12+2t−1=t2−2t+1+2t−2=t2−1.
故fx=x2−1,x≥1.
（2）设fx=ax3+bx2+cx+da≠0，则f'x=3ax2+2bx+c，
由题意得f0=0f'0=0f1=1f'1=0，即d=0c=0a+b+c+d=13a+2b+c=0，解得a=−2,b=3，
所以fx=−2x2+3x2，经检验，符合，.
（3）用1x代替3fx+5f1x=3x+1中的x，得3f1x+5fx=3x+1，
由3fx+5f1x=3x+13f1x+5fx=x+1，消去f1x，解得fx=516x−916x+18x≠0．
（4）由函数fx+1是偶函数，可得fx图象关于直线x=1对称，
所以fx=f2−x.
设x>1，则2−x<1，所以f2−x=2−x2−42−x=x2−4，
因为fx=f2−x，所以fx= x2−4.
故答案为：x2−1,x≥1；−2x2+3x；516x−916x+18x≠0；x2−4.
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数fx=x−ax−1,x>0ex−a,x⩽0有两个零点，则实数a的取值范围为 .
【答案】−14,0∪0,1
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数a分类讨论并结合函数图象即可求解.
【详解】①当a=0时，f(x)=x−1,x＞0ex,x≤0，由于x≤0时0
此时f(x)只有一个零点，所以a=0不符合题意；
②当a＜0时，f(x)=x+−ax−1,x＞0ex+(−a),x≤0，函数f(x)的大概图象如图所示，
，
由于x≤0时，ex+(−a)＞0，x＞0时，x+−ax−1≥2x⋅−ax−1=2−a−1，当且仅当x=−ax，即x=−a时取等号，
此时在0,+∞上有f(x)min=2−a−1，要使f(x)有两个零点，只需f(x)min=2−a−1＜0，即−14＜a＜0；
③当a＞0时，f(x)=x−ax−1,x＞0ex−a,x≤0，函数f(x)的大概图象如图所示，
，
由于函数y=x−ax−1在0,+∞上是增函数，x→0,f(x)→−∞,x→+∞,f(x)→+∞故与x轴有且只有一个交点，
要使f(x)有两个零点，只需函数y=ex−a(x≤0)有一个零点即可，
当0＜a≤1时，y=ex−a(x≤0)恰好只有一个零点.
综上所述，实数a的取值范围是−14,0∪0,1.
故答案为：−14,0∪0,1.
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2+4x+1,x≤0,lg2x,x>0,则函数y=f(f(x))+1有 个零点．
【答案】7
【分析】设f(x)=m，则f(f(x))=−1等价于f(m)=−1，作出函数f(x)的图像，由图可知f(m)=−1有3个根，再根据f(x)=m结合函数的图象得出交点的个数，即得到结果.
【详解】令y=0，则f(f(x))=−1，设f(x)=m，则f(f(x))=−1等价于f(m)=−1，
则函数y=f(f(x))+1的零点个数问题即为f(f(x))=−1解的个数问题．
二次函数y=x2+4x+1，其图像开口向上，过点(0,1)，对称轴为x=−2，最小值为−3，
由题意得f(x)=x2+4x+1,x≤0,lg2x,x>0,作出函数f(x)的图像如图所示．
由图可知f(m)=−1有3个根，当t>0时，lg2t=−1，即t=12；
当t≤0时，t2+4t+1=−1，即t=−2±2.
则对于f(x)=12，当lg2x=12时，x=2;
当x2+4x+1=12时，x=−2±142，此时共有3个解．
对于f(x)=−2+2，此时lg2x=−2+2有1个解，x2+4x+1=−2+2，即(x+2)2=1+2有2个解．
对于f(x)=−2−2，此时lg2x=−2−2有1个解，x2+4x+1=−2−2，即(x+2)2=1−2<0无解．
因此，此时函数y=f(f(x))+1有7个零点．
故答案为：7.
1.（2020·山东·高考真题）已知函数fx=2x−5,x≥0x2+2x,x<0.
（1）求ff1的值；
（2）求fa−1<3，求实数a的取值范围.
【答案】（1）3；（2）−3
（2）先判断a−1的取值范围，再代入分段函数解析式，得到fa−1<3的具体不等式写法，解不等式即可.
【详解】解：（1）因为1>0，
所以f1=2×1−5=−3，因为−3<0，
所以ff1=f−3=−32+2×−3=3.
（2）因为a−1≥0，
则fa−1=2a−1−5，
因为fa−1<3，所以2a−1−5<3，
即a−1<4，解得−3
A．f(10)>100B．f(20)>1000
C．f(10)<1000D．f(20)<10000
【答案】B
【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，
又因为f(x)>f(x−1)+f(x−2)，
则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，
f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，
f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，
f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377
f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，
f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x−1)+f(x−2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0]B．[−1,0]C．[−1,1]D．[0,+∞)
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为fx在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增，
则需满足−−2a2×−1≥0−a≤e0+ln1，解得−1≤a≤0，
即a的范围是[−1,0].
故选：B.
4．（2019·天津·高考真题）已知函数f(x)=2x,0⩽x⩽1,1x,x>1.若关于x的方程f(x)=−14x+a (a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
A．54,94B．54,94C．54,94∪{1}D．54,94∪{1}
【答案】D
【分析】画出fx图象及直线y=−14x+a，借助图象分析．
【详解】如图，当直线y=−14x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方，
或者直线y=−14x+a与曲线y=1x相切在第一象限时符合要求．
即1≤−14+a≤2，即54≤a≤94，
或者−1x2=−14，得x=2，y=12，即12=−14×2+a，得a=1，
所以a的取值范围是54,94∪1．
故选D．
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．
5．（四川·高考真题）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[−1,1)时，f(x)={−4x2+2,−1≤x<0,x,0≤x<1,，则f(32)=
【答案】1
【详解】试题分析：f(32)=f(−12)=−4×14+2=1.
【点晴】周期函数及分段函数.
6．（2017·全国·高考真题）设函数f(x)=x+1，x≤0，2x，x>0，则满足f(x)+f(x−12)>1的x的取值范围是 .
【答案】(−14,+∞)
【详解】由题意得： 当x>12时，2x+2x−12>1恒成立，即x>12；当0
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第15题,5分
函数与方程的综合应用 根据函数零点的个数求参数范围
已知方程求双曲线的渐近线
2023年天津卷，第15题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
2021年天津卷，第9题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
2020年天津卷，第9题,5分
根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用
函数
两集合A、B
设A，B是两个非空数集
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
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