第05讲 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度从低到高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，能够灵活运用函数的各种性质。
2.能掌握函数的性质
3.具备数形结合的思想意识，根据不同函数的性质解决问题
4.会解周期性与对称性的运算.
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给需要灵活结合函数的性质，求解含参，不等式，解析式，求和等各种问题。
知识讲解
知识点一.函数的单调性
1.单调函数的定义
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D⊆定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
3.函数单调性的等价结论
函数f(x)在区间[a,b]上是增函数：
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1−x2f(x1)−f(x2)>0.
函数f(x)在区间[a,b]上是减函数：
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x10;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
⇔任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有x1−x2f(x1)−f(x2)<0
（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
（4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
（5）对勾函数（耐克函数）
形如（，且为常数）
在和上为增函数，在和上为减函数.
对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交），
另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）.
4.判断函数单调性的四种方法：
1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论.
2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数.
3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性.
4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到)
(5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法.
易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结.
知识点二.函数的奇偶性
1. 函数奇偶性的定义：
注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(-x)＝0(奇函数)或f(x)-f(-x)＝0(偶函数)是否成立．
3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
①f(x)为奇函数⇔f(-x)＝-f(x)⇔f(-x)＋f(x)＝0⇔f(−x)f(x)＝-1.
②f(x)为偶函数⇔f(-x)＝f(x)⇔f(-x)-f(x)＝0⇔f(−x)f(x)＝1.
2.判断函数奇偶性的方法
1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：eq \f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．
2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．
3．验证法：即判断f(x)±f(－x)是否为0.
4．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
总结：奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
3.函数奇偶性的常用结论
1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.
2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
知识点三.周期性与对称性
1.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2.中心对称
定义：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心
3.周期性与对称性的常用结论
（1）函数周期的常见结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.
= 1 \* GB3 ①若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；
= 2 \* GB3 ②若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；
= 3 \* GB3 ③若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则函数的周期为2a；
= 4 \* GB3 ④若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则函数的周期为2a；
（2）对称轴常见类型
= 1 \* GB3 ①fx+a=f(−x+b)⇔y=f(x)图像关于直线x=a+b2对称
= 2 \* GB3 ② fx+a=f−x+a⇔y= fx的图象关于直线对称
= 3 \* GB3 ③ fx=f−x+2a⇔y= fx 的图象关于直线对称
= 4 \* GB3 ④ f−x=fx+2a⇔y= fx的图象关于直线对称
（3）对称中心常见类型
= 1 \* GB3 ①f(x+a)+f(b-x)=2c⇔y=f(x)图像关于直线(a+b2,c)对称
= 2 \* GB3 ② 的图象关于点对称
= 3 \* GB3 ③ 的图象关于点对称
= 4 \* GB3 ④ 的图象关于点对称
（4）周期与对称性的区分
= 1 \* GB3 ①若fx+a=±f(x+b)，则具有周期性；
= 2 \* GB3 ②若fx+a=±f(−x+b)，则具有对称性：
口诀：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
考点一、函数的单调性
1.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A．f(x)=−lnxB．f(x)=12x
C．f(x)=−1xD．f(x)=3|x−1|
2.（2020·山东·高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fx2−fx1x2−x1>0成立，则函数fx一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
1.（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A．fx=−xB．fx=23xC．fx=x2D．fx=3x
2.（2024高三·全国·专题练习）已知fx是定义在R上的偶函数，函数gx满足gx+g−x=0，且fx、gx在−∞,0单调递减，则（ ）
A．fgx在0,+∞单调递减
B．ggx在−∞,0单调递减
C．gfx在0,+∞单调递淢
D．ffx在−∞,0单调递减
3.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f4x−x2在区间1,2上单调递减，则函数fx的解析式可以为（ ）
A．fx=4x−x2B．fx=2x
C．fx=−sinxD．fx=x
4.（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知函数y=fx，x∈R.若f1A．函数fx在−∞,+∞上一定是增函数；
B．函数fx在−∞,+∞上一定不是增函数；
C．函数fx在−∞,+∞上可能是减函数；
D．函数fx在−∞,+∞上不可能是减函数.
考点二、函数的单调区间
1.（2024高三·全国·专题练习）函数y＝1x的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
2.（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）函数y=|x|(1−x)在区间A上是减函数，那么区间A是 .
1.（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数y=−x2+4x+5的单调递减区间为 .
2.（20-21高三上·陕西汉中·阶段练习）函数fx=πx2−2x−8的单调递增区间是 .
3.（2023·海南海口·二模）已知偶函数y=fx+1在区间0,+∞上单调递减，则函数y=fx−1的单调增区间是 ．
4.（22-23高三上·北京·阶段练习）能够说明“若g(x)在R上是增函数，则xg(x)在R上也是增函数”是假命题的一个g(x)的解析式g(x)= .
5.（23-24高三上·海南儋州·阶段练习）若fx=aex+1−1为奇函数，则gx=lnx−3x−a的单调递减区间是 .
6.（22-23高三上·上海杨浦·阶段练习）若函数y=fx在区间I上是严格增函数，而函数y=fxx在区间I上是严格减函数，那么称函数y=fx是区间I上的”缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”.已知函数fx=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”，若定义b-a为a,b的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”I的区间长度最大值为 .
考点三、利用函数的单调性求参数的取值范围
1.（2023·全国·高考真题）设函数fx=2xx−a在区间0,1上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．−∞,−2B．−2,0
C．0,2D．2,+∞
2.（2024·湖北·二模）已知函数fx=lg5ax−2在1,+∞上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．1,+∞B．ln2,+∞C．2,+∞D．2,+∞
1.（2024·广东揭阳·二模）已知函数fx=−x2+ax+1在2,6上不单调，则a的取值范围为（ ）
A．2,6B．−∞,2∪6,+∞
C．4,12D．−∞,4∪12,+∞
2.（2024·吉林·二模）若函数fx=lnax+1在1,2上单调递减，则实数a的取值范围是 .
3.（2024·全国·模拟预测）命题p:00,a≠1在−∞,3上单调，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点四、函数的奇偶性
1.（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=ex−x2x2+1B．y=csx+x2x2+1C．y=ex−xx+1D．y=sinx+4xe|x|
2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=x3−1x3,则f(x)（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
1.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(−12,12)单调递减
C．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减
2.（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间0,+∞上单调递增的是（ ）
A．fx=1xB．fx=sinx
C．fx=2x+2−xD．fx=tanx
3.（2024·湖北武汉·模拟预测）函数fx=lnex+1−x2（ ）
A．是偶函数，且在区间0,+∞上单调递增B．是偶函数，且在区间0,+∞上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间0,+∞上单调递增D．既不是奇函数，也不是偶函数
4.（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）
A．f（x）=sinx B．f（x）=csx
C．fx=xD．fx=x3
考点五、利用函数奇偶性求参数
1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
2.（2023·全国·高考真题）若fx=x+aln2x−12x+1为偶函数，则a=（ ）．
A．−1B．0C．12D．1
1.（2024·黑龙江·三模）已知函数fx=ex+e−xsinx−2在−2,2上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=（ ）
A．−4B．0C．2D．4
2.（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数fx=x3x2+2+3在区间−2023,2023上的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．
3.（23-24高三上·福建莆田·期中）函数fx=x2−6xsinx−3+x+ax∈0,6的最大值为M，最小值为m，若M+m=10，则a= ．
4.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的函数fx=2tx2+2tsinx+π4+x2x2+csxt≠0的最大值和最小值之和为4，则t= ．
5.（2024高三·全国·专题练习）如果奇函数fx在3,7上是增函数且最小值5，那么fx在区间−7,−3上是 （ ）．
A．增函数且最小值为 −5B．减函数且最小值为 −5
C．增函数且最大值为 −5D．减函数且最大值为 −5
考点六、利用函数奇偶性求解析式
1.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数y=fx,x∈R为奇函数，当x≥0时，fx=2x3+2x−1，当x<0时，fx的表达式为（ ）
A．2x3+2x−1B．2x3−2−x+1
C．−2x3+2−x−1D．−2x3−2x+1
2.（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）fx为定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=2x+1，则x<0时，fx= ．
1.（2024·江西景德镇·三模）已知函数fx=(12)x,x<0g(x),x>0是奇函数，则x>0时，gx的解析式为（ ）
A．−12xB．12xC．−2xD．2x
2.（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知fx为奇函数，gx为偶函数，且满足fx+gx=ex+x，则gx=（ ）
A．ex−e−x2B．ex+e−x2C．ex−e−x−2x2D．ex−e−x+2x2
3.（2024·云南昆明·模拟预测）已知fx，gx分别为定义在R上的奇函数和偶函数，fx+gx=x3+ax2+a，则f3= ．
4.（23-24高一上·甘肃兰州·期末）设函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数，且f12=45．则函数fx的解析式为 ．
5.（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x<0时，fx=x−csx+1，则当x⩾0时，fx= ．
考点七、利用单调性奇偶性解不等式
1.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）定义在R上的奇函数fx满足对任意的x1,x2∈0,+∞x1≠x2，有fx1−fx2x1−x2>0，且f2=0，则不等式x−1fx≤0的解集为（ ）
A．−2,0B．−∞,−2∪1,2
C．−2,0∪1,2D．−∞,−2∪0,2
2.（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数f(x)=lg4(4x+1)−12x，若f(a−1)≤f(2a+1)成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2]B．(−∞,−2]∪[0,+∞)C．[−2,43]D．(−∞,−2]∪[43,+∞)
1.（2024·湖北武汉·二模）已知函数fx=xx，则关于x的不等式f2x>f1−x的解集为（ ）
A．13,+∞B．−∞,13C．13,1D．−1,13
2.（2024·江西·模拟预测）已知奇函数fx在R上单调递增，且f2=1，则不等式fx+1<0的解集为（ ）
A．−1,1B．−2,2C．−2,+∞D．−∞,−2
3.（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数fx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，fx=x2−2x+1，则使得f−2>fx+1成立的x的取值范围是（ ）
A．−∞,−3B．1,+∞
C．−∞,−3∪1,+∞D．−3,1
4.（2014·全国·高考真题）已知偶函数fx在0,+∞单调递减，f2=0.若fx−1>0，则x的取值范围是 .
5.（2024·湖南长沙·三模）已知函数fx=x3+2x−1,x≤1,x+3,x>1,则不等式fx+2<2−fx−4的解集为 .
考点八、函数的对称性
1.（·全国·高考真题）函数f(x)=1x−x的图象关于
A．y轴对称B．直线y=−x对称
C．坐标原点对称D．直线y=x对称
2.（2024·四川成都·三模）函数y=32x与y=31−2x的图象（ ）
A．关于x=2对称B．关于x=1对称
C．关于x=12对称D．关于x=14对称
1.（2024·吉林长春·模拟预测）函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为（ ）
A．(0,0)B．(1,−2)C．32,−278D．(2,−4)
2.（2024·宁夏银川·三模）已知函数fx=2x2x−1+1，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数fx单调递增B．函数fx值域为0,2
C．函数fx的图象关于0,1对称D．函数fx的图象关于1,1对称
3.（23-24高三上·北京·开学考试）下列函数中，没有对称中心的是（ ）
A．f(x)=1x+1B．f(x)=x3
C．f(x)=tanxD．f(x)=2|x|
4.（22-23高三上·北京房山·期中）已知函数y=xx−1，则下列命题错误的是（ ）
A．该函数图象关于点1,1对称；
B．该函数的图象关于直线y=−x+2对称；
C．该函数在定义域内单调递减；
D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数y=1x的图象重合．
考点九、利用函数对称性求解析式
1.（高考真题）与曲线y=1x−1关于原点对称的曲线为（ ）
A．y=11+xB．y=−11+xC．y=11−xD．y=−11−x
2.（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的是
A．y=ln(1−x)B．y=ln(2−x)C．y=ln(1+x)D．y=ln(2+x)
1.（22-23高三上·四川成都·阶段练习）下列函数中，其图象与函数f(x)=2x的图象关于原点对称的是（ ）
A．y=−2xB．y=2−xC．y=lg2xD．y=−2−x
2.（22-23高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数y=lg2x的图象关于直线x=2对称的是（ ）
A．y=lg22+xB．y=lg22−x
C．y=lg24+xD．y=lg24−x
3.（2022·湖北·模拟预测）下列函数与y=2x−csx的图象关于原点对称的函数是（ ）
A．y1=−2x+csxB．y1=2−x−cs(−x)
C．y1=−2−x+cs(−x)D．y1=−2−x−cs(−x)
4.（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点1,0对称的函数的解析式 ．
5.（22-23高三上·广东汕头·期末）写出符合如下两个条件的一个函数fx= ．①f−x−fx+2=0，②fx在−∞,0内单调递增．
6.（20-21高三上·北京西城·期中）函数f(x)的图象与曲线y=lg2x关于x轴对称，则f(x)=（ ）
A．2xB．−2x
C．lg2(−x)D．lg21x
考点十、函数的周期性
1.（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f2x+5的周期是3，则fx的周期为（ ）．
A．32B．3C．6D．9
2.（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数D(x)=1,x为有理数0,x为无理数的结论正确的是（ ）
A．D(D(x))有零点B．D(x)是单调函数
C．D(x)是奇函数D．D(x)是周期函数
1.（22-23高三上·广东广州·阶段练习）已知实数a>0，函数fx的定义域为R，则“对任意的x∈R，都有fx-a=-fx”是“2a是函数fx的一个周期”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）关于函数的周期有如下三个命题：
甲：已知函数y=f(x)和y=g(x)定义域均为R，最小正周期分别为T1、T2，如果T1T2∈Q，则函数y=f(x)+g(x)一定是周期函数；
乙：y=f(x)不是周期函数，y=|f(x)|一定不是周期函数；
丙：函数y=f(x)在R上是周期函数，则函数y=f(x)在[0,+∞)上也是周期函数.
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为 ．
4.（22-23高三·全国·对口高考）若存在常数p>0，使得函数fx满足fpx=fpx−p2，则fpx的一个正周期为 ．
考点十一、奇偶性与周期性求值
1.（23-24高三下·云南·阶段练习）定义在R上的函数fx满足f1−x=fx+1，且y=fx+2为奇函数．当x∈2,3时，fx=x−23−3x−2，则f2023=（ ）
A．−5B．−2C．−1D．1
2.（2024·福建泉州·模拟预测）已知y=fx+1+1为奇函数，则f−1+f0+f1+f2+f3=（ ）
A．6B．5C．−6D．−5
1.（2024·江西·二模）已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(3x)=4f(x)且f(1−x)+f(x)=2，则f23=（ ）
A．32B．12C．23D．13
2.（2024·贵州黔西·一模）已知f(x+4)=f(−x)，f(x+1)为奇函数，且f(2)=2，则f(2023)+f(2024)=（ ）
A．4047B．2C．−2D．3
3.（2020·重庆沙坪坝·模拟预测）定义在R上的奇函数fx满足fx+1=f1−x，且x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则flg28=（ ）
A．−1B．1C．7D．−12
4.（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x都有fx+3=fx+2fx+1，fx=f2−x成立，若f2=1，则k=1nf(k)= ．
5.（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=lg2x−a+1，当x∈xx≠−2时，f6+x=f2−x，则f2= .
考点十二、奇偶性与周期性求参数
1.2024·全国·模拟预测）若函数fx=4x−42x(x−a)2的图象关于点1,0对称，则a=（ ）
A．0B．−1C．1D．2
2.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=1ex+a的图象关于点1,f1对称，则a=（ ）
A．1B．2C．eD．e2
1.（2023·江西南昌·三模）若实数m,n满足m3+6m2+13m=10n3+6n2+13n=−30，则m+n=（ ）
A．-4B．-3C．-2D．-1
2.（2023·山西临汾·模拟预测）若9a+a−2⋅3a−1=0，9b+b+1⋅3b+1−9=0，则a+b=（ ）
A．13B．12C．1D．2
3.（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数fx=x2+2xx2+ax+b满足：对∀x∈R，都有f1+x=f1−x，则a+b为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4.（2024高三下·全国·专题练习）已知函数gx=x3−9x2+29x−30，gm=−12，gn=18，则m+n= ．
5.（23-24高三上·广东东莞·期末）若函数fx=x2−2xx2+ax+b的图象关于x=−2对称，则a+b= ，fx的最小值为 ．
6.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x+alg2x−24−x关于直线x=b对称，则2a+2b= ．
考点十三、奇偶性与周期性解不等式
1.（2022·四川凉山·二模）定义在R上的奇函数fx，满足fx+2=−fx，当0≤x≤1时fx=x，则fx≥12的解集为（ ）
A．12,+∞B．12,32
C．4k+12,4k+32k∈ZD．2k+12,2k+32k∈Z
2.（2022·湖北十堰·模拟预测）已知函数f(x−1)是偶函数，f(x)在区间[−1,+∞)内单调递减，f(−3)=0，则不等式f(x)⋅ln|x+1|>0的解集为（ ）
A．(−3,−1)∪(1,+∞)B．(−3,−2)∪(0,1)
C．(−∞,−2)∪(−1,1)D．(−1,0)∪(1,+∞)
1.（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知函数fx=x3−2ex+1，则不等式fx+f2x−1>−2的解集为（ ）
A．13,+∞B．1,+∞C．−∞,13D．−∞,1
2.（2023·甘肃张掖·模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−∞,0，x1≠x2，满足fx2−fx1x2−x1<0，则不等式x−1fx+1≥0的解集为（ ）
A．−∞,1∪2,+∞B．−4,−1∪0,1
C．−4,−1∪1,2D．−4,−1∪2,+∞
3.（23-24高三上·辽宁辽阳·期末）已知fx+1是偶函数，fx在1,+∞上单调递增，f0=0，则不等式x+1fx>0的解集为（ ）
A．1,+∞B．2,+∞
C．−2,0∪0,2D．−1,0∪2,+∞
4.（2022·上海·模拟预测）设fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且满足fπ=1，f2π=0，则不等式组0≤x≤10≤fx≤1的解集为 .
5.（2022·江西景德镇·三模）周期为4的函数fx满足fx=f4−x，且当x∈0,2时fx=x3−1，则不等式fx≤0在−2,2上的解集为 ；
6.（22-23高三上·全国·阶段练习）已知函数f(x)在R上单调递增，若f(4−x)+f(x)=2，且f(3)=2，则0≤f(x−1)≤2的解集为 .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数fx=x3−x+lnx+a+x2x∈R为奇函数，则a=（ ）
A．−1B．0C．1D．2
2．（2024·山东泰安·三模）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=−x5−3x+a−1，则f−a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数f2x+1为偶函数，若函数gx=fx+21−x+2x−1−5的零点个数为奇数个，则f1=（ ）
A．1B．2C．3D．0
4．（2024·四川成都·模拟预测）函数y=3x与y=−13x的图象（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于y=x对称
5．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且满足fx+4=fx，当x∈−2,0时，fx=−3x−2x，则f1+f4= .
6．（2024·四川内江·三模）若函数f(x)=x2+ax,x≥0bx2−2x,x<0是奇函数，则a+b= .
7．（2024·云南曲靖·模拟预测）写出满足f2x−1为R上的偶函数且f0=2的一个函数解析式： ；
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f(x)=csx−2x2π2+2，则不等式f(x)>32的解集为（ ）
A．−∞,−π3∪π3,+∞B．−π3,π3
C．−∞,−π2∪π2,+∞D．−π2,π2
2．（2024·山东青岛·三模）定义 x 表示不超过 x的最大整数.例如: 1.2=1，−1,2=−2，则（ ）
A．x+y=x+yB．∀n∈Z，x+n=x+n
C．fx=x−x 是偶函数D．fx=x−x 是增函数
3．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数fx满足：对任意实数x，y，都有ffx+y=fx+fy成立，且f0=1，则（ ）
A．fx+1为奇函数B．fx+1为奇函数
C．fx+1为偶函数D．f(x)−1为偶函数
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为R，fxfy−fx=xy−y，则（ ）
A．f0=0B．f−1=1
C．fx+1为偶函数D．fx+1为奇函数
5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在R上的函数gx满足gx=fx+2x，gx+2为偶函数，函数f3x+1的图象关于0,2对称，则f27=（ ）
A．−46B．4C．−50D．−4
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知fx是定义域为R的偶函数，f5.5=4，gx=x−1fx，若gx+1是偶函数，则g−0.5= .
7．（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=e2x−1−e1−2x+sinπ2x−π4+1，则不等式f2x+1+f2−x≥2的解集为 .
1.（2024·上海·高考真题）已知fx=x3+a，x∈R，且fx是奇函数，则a= ．
2.（2023·全国·高考真题）若fx=(x−1)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a= ．
3.（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线x=π对称D．f(x)的图象关于直线x=π2对称
4.（2022·全国·高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fk=（ ）
A．−21B．−22C．−23D．−24
5．（2024·全国·高考真题）设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=csx+2ax，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1B．12C．1D．2
6．（2024·全国·高考真题）设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为（ ）
A．18B．14C．12D．1
7．（2022·天津·高考真题）函数fx=x2−1x的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第4题,5分
函数奇偶性的定义与判断 求含csx的函数的奇偶性
2023年天津卷，第4题,5分
函数奇偶性的定义与判断 判断指数型函数的图象形状 识别三角函数的图象(含正、余弦，正切)根据函数图象选择解析式
2022年天津卷，第3题,5分
函数奇偶性的应用函数图像的识别 根据解析式直接判断函数的单调性
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称
f(x)
g(x)
fx+g(x)
fx−g(x)
fx−g(x)
f[gx]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数