第06讲 指对运算（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

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1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化
2.能掌握对数的换底公式
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。
知识讲解
知识点一.指数运算
1.实数指数幂运算法则
aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
aras=ar−s(a>0，r，s∈R)
(3) (ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(4) (ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
2.分数指数幂的意义与运算法则
(1)amn＝nam，a−mn＝1amn＝1nam (其中a >0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义．
3.nan与(na)n 的区别
(1)nan是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，
当n为奇数时，nan＝a；
当n为偶数时，nan＝| a |＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0,且a≠1时，ax＝N⇔x=lgaN.
2.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数，即N>0；
(2)lga1＝0(a>0，a≠1)；
(3)lgaa＝1(a>0，a≠1).
3.对数恒等式：
①algaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；②lgaaN＝N(a>0且a≠1)．
4.对数的运算法则
(1)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
lga(MN)=lgaM+lgaN；lgaMN=lgaM-lgaN；lgaMn=nlgaM (n∈R)；
(2)换底公式：lgab=lgcblgca(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
(3)可用换底公式证明以下结论：
①lgab=1lg ba；
②lgab∙lgbc∙lgca=1；
③lganbn=lgab；
④lganbm=mnlgab；
⑤lg1ab=−lgab.
考点一、根式与分数指数幂运算
1.（2024·广东·模拟预测）若xy=3，则xyx+yxy= ．
2.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
（1）0.06415−2.523−3338−π0 =
（2）a3b23ab2a14b124a−13b13（a>0,b>0=
（3）设x12+x−12=3，则x+x−1的值为
1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知f(x)=4x−4−x，则f(−12)+f(12)= ．
2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知a>0，将aa化为分数指数幂ak形式，则k=
3.（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数f(x)=2x2x+3x，若实数m，n满足2m+n=3mn，且f(m)=−13，则f(n)= .
4.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算：
（1）32×36+−20190−4×1649−12+43−π4
（2）+lg0.001+2lne−21+lg23
考点二、对数运算
1. （23-24高三上·天津和平·期末）计算31+lg32+lg5+lg32×lg49×lg2的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2.（2023·全国·模拟预测）求值：lg(27+102+27−102)= ．
1.（全国·高考真题）已知函数fx=lg2x2+a，若f3=1，则a= ．
2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列an中，已知a3与a9是方程2x2−x+m=0的两根，则12lg4a1+a2+⋯+a11=（ ）
A．1111B．21111C．114D．112
3.（2024·北京·三模）使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a，b的值为a= ，b= .
4．（22-23高三上·天津静海·期末）lg4+lg25+913×33= ．
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，则lg4+lga+1100032b= ．
考点三、指对运算综合
1.（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+lg2x，则f12= ．
2.（2024·全国·三模）若a>1，则alglga−lgalga的值是（ ）
A．零B．正数C．负数D．以上皆有可能
1.（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足12lnm=lnm−2n−12lnn，则nm=（ ）
A．1B．14C．4D．1或14
2.（2024高三下·河南·专题练习）已知实数m,n满足m+lnm=4,nlnn+n=e3，则mn的值为（ ）
A．e2B．e3C．e4D．e5
3.（2024·江苏·模拟预测）已知x1+2x1=4，x2+lg2x2=4，则x1+x2的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程xln3+xln4=xln5正实数解为 .
5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设a=12lg20+lg5,b=lg43，则a+2b的值为（ ）
A．1+3B．1+5C．26D．27
考点四、指数函数中的条件等式
1. （23-24高三上·天津·期中）已知4a=5,lg89=b，则22a−3b=（ ）
A．59B．5C．259D．25
2.（2020·全国·高考真题）设alg34=2，则4−a=（ ）
A．116B．19C．18D．16
1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，mx=n2y=p3z，z=xyx+y，则mn2p3=（ ）
A．2B．32C．1D．12
2.（2024·全国·模拟预测）已知2x=3y=4z=6，则1x+3y+1z= ．
3.（2023·全国·模拟预测）已知b=2lna，则ab= .
4．（23-24高三上·天津·期中）若lg222=a,8b=22，则a+b= .
5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知3a=5b且2a+1b=1，则a的值为 .
考点五、指对等式比较大小
1.（2024·河南·二模）“lnx>lny”是“x2>y2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2024·湖南·二模）已知实数a>b>0，则下列选项可作为a−bb>cB．c>b>aC．a>c>bD．b>c>a
2. （2024·天津河北·二模）若a=30.5,b=lg0.53,c=0.32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．ba
4.（2021·全国·高考真题）已知a=lg52，b=lg83，c=12，则下列判断正确的是（ ）
A．c