第10讲 函数的方程与零点（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案

这是一份第10讲 函数的方程与零点（含答案） 备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）学案，文件包含第10讲函数的方程与零点教师版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx、第10讲函数的方程与零点学生版备战2025年高考数学一轮复习考点帮天津专用docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。


1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度较高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握函数的零点，能够理解函数的方程，函数的零点与交代你的含义
2.能掌握函数图像与性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像解决零点问题
4.理解并掌握二分法思想，会用零点的存在性定理判断零点的个数
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般难度系数较高，通常为判断零点的个数，或者已知零点个数求取值范围。
知识讲解
知识点一.零点
1.函数零点概念
对函数y=f(x)，把使fx=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
2.零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb<0f，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在cϵ(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的根.
3.零点存在唯一性定理:
如果函数y=f(x)在区间a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有fafb<0，且在[a,b]上单调，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点.即存在唯一的cϵ(a,b)，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的根.
4.函数零点、方程的根与函数图像的关系
函数y=Fx=fx−g(x)有零点
方程 Fx=fx−gx=0有实数根⟺函数y1=fx, y2=gx图像有交点
求函数y=fx零点的方法:
①直接解方程fx=0;
②利用图象求其与x轴的交点(交点的横坐标即是零点);
③将方程fx=0变为两个函数，通过图象看它们的交点情况(同时可以知道零点的个数);
④可通过二分法求函数的零点的近似值.
5.二次函数的零点:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
(1)∆>0，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点
(2) ∆=0，方程ax2+bx+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点.
(3) ∆<0，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点
知识点二．函数的图象
1.函数的图像
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
2．描点法作图
方法步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；
(4)描点连线，画出函数的图象．
3．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y=−f(x)；
②y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称)) y=f−(x)
③y=f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称)) y=−f(−x)；
④y＝ax (a>0且a≠1)eq \(―――――→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝lgax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①把函数y=f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)
②把函数y=f(x)图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)
③把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)
④把函数y=f(x)图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)
(4)翻折变换
①y=f(x)eq \(――――――――――→,\s\up11(保留x轴上方图象),\s\d4(将x轴下方图象翻折上去)) y=|fx||.
② y=f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up11(保留y轴右边图象，并作其),\s\d4(关于y轴对称的图象)) y=f(|x|)．
考点一、函数图像的识别
1.（2024·全国·高考真题）函数fx=−x2+ex−e−xsinx在区间[−2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得f1>0，可排除D.
【详解】f−x=−x2+e−x−exsin−x=−x2+ex−e−xsinx=fx，
又函数定义域为−2.8,2.8，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又f1=−1+e−1esin1>−1+e−1esinπ6=e2−1−12e>14−12e>0，
故可排除D.
故选：B.
2.（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
A．y=−x3+3xx2+1B．y=x3−xx2+1C．y=2xcsxx2+1D．y=2sinxx2+1
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设fx=x3−xx2+1，则f1=0，故排除B;
设ℎx=2xcsxx2+1，当x∈0,π2时，0所以ℎx=2xcsxx2+1<2xx2+1≤1，故排除C;
设gx=2sinxx2+1，则g3=2sin310>0，故排除D.
故选：A.
1.（2024·安徽合肥·模拟预测）函数fx=excs2exe2x−1（e为自然函数的底数）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可排除B，C；再由x趋近0+，fx>0，排除D，即可得出答案.
【详解】fx=excs2exe2x−1的定义域为xx≠0，
f−x=e−xcs−2ex⋅e2xe−2x−1⋅e2x=excs2ex1−e2x=−fx，
所以fx为奇函数，故排除B，C；
当x趋近0+，e2x>1，所以e2x−1>0，ex>1,cs2ex>0，
所以fx>0，故排除D.
故选：A.
2.（2024·山东·模拟预测）函数fx=ex−e−x1−x2的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数f(x)的定义域及奇偶性，再由奇偶性在(0,1)内函数值的正负判断即可.
【详解】依题意，函数f(x)=ex−e−x|1−x2|的定义域为{x∈R|x≠±1}，
f(−x)=e−x−ex|1−(−x)2|=−ex−e−x|1−x2|=−f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；
当x∈(0,1)时，ex−e−x>0,|1−x2|>0，则f(x)>0，AD不满足，C满足.
故选：C
考点二、函数的图像变换
1.（2023·四川成都·模拟预测）要得到函数y=122x−1的图象，只需将指数函数y=14x的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位
【答案】D
【分析】
根据指数函数解析式说明图象平移过程即可.
【详解】由y=14x=(12)2x向右平移12个单位，则y=(12)2(x−12)=(12)2x−1.
故选：D
2.（22-23高三·全国·对口高考）把函数y=lg3(x−1)的图象向右平移12个单位，再把横坐标缩小为原来的12，所得图象的函数解析式是 ．
【答案】y=lg32x−32
【分析】根据函数图象变换规律可得答案.
【详解】把函数y=lg3(x−1)的图象向右平移12个单位，得函数y=lg3(x−12−1)=lg3(x−32)，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y=lg3(2x−32)的图象.
故答案为：y=lg32x−32
1.（22-23高三·全国·对口高考）利用函数f(x)=2x的图象，作出下列各函数的图象．
(1)y=f(−x)；
(2)y=f(|x|)
(3)y=f(x)−1；
(4)y=f(x)−1；
(5)y=−f(x)；
(6)y=f(x−1)．
【答案】(1)图象见详解
(2)图象见详解
(3)图象见详解
(4)图象见详解
(5)图象见详解
(6)图象见详解
【分析】先作出函数f(x)=2x的图象，
（1）把f(x)的图象关于y轴对称即可得到y=f(−x)的图象；
（2）保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称即可得到y=f(|x|)的图象；
（3）把f(x)图象向下平移一个单位即可得到y=f(x)−1的图象；
（4）结合（3），保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折即可得到y=f(x)−1的图象；
（5）把f(x)图象关于x轴对称即可得到y=−f(x)的图象；
（6）把f(x)的图象向右平移一个单位得到y=f(x−1)的图象．
【详解】（1）把f(x)的图象关于y轴对称得到y=f(−x)的图象，如图，

（2）保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y=f(|x|)的图象，如图，

（3）把f(x)图象向下平移一个单位得到y=f(x)−1的图象，如图，

（4）结合（3），保留x上方部分，然后把x下方部分关于x轴翻折得到y=f(x)−1的图象，如图，

（5）把f(x)图象关于x轴对称得到y=−f(x)的图象，如图，

（6）把f(x)的图象向右平移一个单位得到y=f(x−1)的图象，如图，

2.（2024·辽宁·三模）已知对数函数f(x)=lgax，函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，再将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数f(x)的图象重合，则a的值是（ ）
A．32B．23C．33D．3
【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可
【详解】因为将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数gx的图象，
所以g(x)=lgax3，即g(x)=lgax−lga3，
将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式y=lgax−lga3+2，
因为所得图象恰好与函数fx的图象重合，
所以−lga3+2=0，
所以a2=3，又a>0且a≠1，
解得a=3，
故选：D
3.（2023·河北·模拟预测）已知函数fx=1+3×2x1+2x，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．fx−1B．fx−2C．fx−2D．fx+2
【答案】B
【分析】根据对称性分析可得函数fx有且仅有一个对称中心0,2，结合图象变换分析判断.
【详解】由题意可得：fx=1+3×2x1+2x=3−21+2x，
因为fa+x+fa−x=3−21+2a+x+3−21+2a−x=6−211+2a+x+2x2x+2a
=6−2×2a+2x+2×2x+2a2a+2x+22a+12x+2a，
若fa+x+fa−x=6−2×2a+2x+2×2x+2a2a+2x+22a+12x+2a为定值，
则22a+1=2，解得a=0，此时fx+f−x=4，
所以函数fx有且仅有一个对称中心0,2.
对于选项A：fx−1有且仅有一个对称中心为0,1，不合题意，故A错误；
对于选项B：fx−2有且仅有一个对称中心为0,0，符合题意，故B正确；
对于选项C：fx−2有且仅有一个对称中心为2,2，不合题意，故C错误；
对于选项D：fx+2有且仅有一个对称中心为−2,2，不合题意，故D错误；
故选：B.
4.（2023·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数f(x)=x2,x≥0,1x,x<0,g(x)=f(−x)，则函数g(x)的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由gx=f−x可知 gx图像与fx的图像关于y轴对称，由 fx的图像即可得出结果.
【详解】因为gx=f−x，所以 gx图像与fx的图像关于y轴对称，
由fx解析式，作出fx的图像如图
从而可得gx图像为B选项.
故选：B.
考点三、由函数图象确定解析式
1.（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数fx的部分图象大致如图所示，则fx的解析式可能为（ ）
A．fx=sinxex+e−xB．fx=ex−e−x−sinx
C．fx=ex+e−xsinxD．fx=ex−e−x+sinx
【答案】A
【分析】结合图象可知f(x)为奇函数且f(0)=0，在(0,+∞)上先增后减.根据函数的奇偶性和f(0)=0，结合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.
【详解】由图可知，f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，
且f(0)=0，在(0,+∞)上先增后减.
A：f(x)=sinxex+e−x，函数的定义域为R，f(−x)=−sinxe−x+ex=−f(x),f(0)=0，故A符合题意；
B：f(x)=ex−e−x−sinx，函数的定义域为R，
f'(x)=ex+e−x−csx，由x>0，得ex>1,−1≤csx≤1，
则f'(x)=ex+e−x−csx>2−1>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，故B不符合题意；
C：f(x)=ex+e−xsinx，当x=0时，sinx=0，函数显然没有意义，故C不符合题意；
D：f(x)=ex−e−x+sinx，函数的定义域为R，
f'(x)=ex+e−x+csx，由x>0，得ex>1,−1≤csx≤1，
则f'(x)=ex+e−x+csx>2−1>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，故D不符合题意.
故选：A
2.（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数fx的部分图象如下图所示，则fx的解析式可能是（ ）
A．fx=ex⋅lnxe2x−1B．fx=x2+1sinx
C．fx=x2+2e−x−exD．fx=ex+1ex−1⋅csx
【答案】A
【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断.
【详解】由题意可知：fx的定义域为x|x≠0，故B错误；
当x>0，fx先正后负，则有：
对于C：因为e−x<10，则e−x−ex<0，
可知fx=x2+2e−x−ex<0，故C错误；
对于D：因为ex>1，则ex+1ex−1>0，但csx的符号周期性变化，故D错误；
故选：A.
1.（2024·上海奉贤·二模）已知函数y=fx，其中y=x2+1，y=gx，其中gx=4sinx，则图象如图所示的函数可能是（ ）．
A．y=gxfxB．y=fxgx
C．y=fx+gx−1D．y=fx−gx−1
【答案】A
【分析】根据函数图象和fx,gx的奇偶性判断.
【详解】易知fx=x2+1是偶函数， gx=4sinx是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
A. y=ℎx=gxfx=4sinxx2+1，定义域为R，
又ℎ−x=4sin−x−x2+1=−4sinxx2+1=−ℎx，所以ℎx是奇函数，符合题意，故正确；
B. y=fxgx=x2+14sinx，x≠kπ,k∈Z，不符合图象，故错误；
C. y=ℎx=fx+gx−1=x2+1+4sinx−1=x2+4sinx ，定义域为R，
但ℎ−x≠ℎx,ℎ−x≠−ℎx，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. y=ℎx=fx−gx−1=x2+1−4sinx−1=x2−4sinx ，定义域为R，
但ℎ−x≠ℎx,ℎ−x≠−ℎx，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
2.（2024·湖南·二模）已知函数fx的部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（ ）
A．fx=−2x2x−1B．fx=−2x2x+1
C．fx=−2xx−1D．fx=−2xx2−1
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当x→+∞时，y→−∞，
而对于D选项，当x→+∞时，y→0，故排除D.
故选：A.
3.（2024·广东江门·二模）若函数f(x)的图象与圆C:x2+y2=4恰有4个公共点，则f(x)的解析式可以为（ ）
A．f(x)=||x|−2|B．f(x)=x2−2|x|
C．f(x)=2x−2D．f(x)=lgx2
【答案】D
【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.
【详解】作出y=|x|−2,y=2x−2的图象，如图1所示，
作出y=x2−2|x|,y=lgx2的图象，如图2所示，由图可知，f(x)=lgx2满足题意．
故选：D.
考点四、函数零点及零点个数
1.（22-23高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数fx=3x−27lnx−1的零点为（ ）
A．2，3B．2C．2,0D．2,0,3,0
【答案】A
【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.
【详解】由f(x)=0，得(3x−27)ln(x−1)=0，即3x−27=0或ln(x−1)=0，解得x=3或x=2，
所以函数fx=3x−27lnx−1的零点为2，3.
故选：A
2.（2023高三·全国·专题练习）已知指数函数为fx=4x，则函数y=fx−2x+1的零点为（ ）
A．−1B．0
C．1D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.
【详解】函数fx=4x，由fx−2x+1=0，即4x−2x+1=0，整理得2x(2x−2)=0，解得x=1，
所以函数y=fx−2x+1的零点为1.
故选：C
1.（22-23高三·全国·对口高考）已知a=12，方程a|x|=lgax的实根个数为 ．
【答案】2
【分析】分别作出fx=12|x|和gx=lg12x的图象，结合图象即可得到答案．
【详解】由a=12，则12|x|=lg12x，
则令fx=12|x|，gx=lg12x，
分别作出它们的图象如下图所示，

由图可知，有两个交点，所以方程a|x|=lgax的实根个数为2．
故答案为：2．
2.（2023·全国·模拟预测）已知函数fx满足fx+32=fx−32.当x∈0,3时，fx=2x3−11x2+14x，则fx在−120,120上的零点个数为 .
【答案】161
【分析】由条件先得出函数的最小正周期为3，解方程fx=2x3−11x2+14x=0得x∈0,3上的零点个数，由周期即可确定在−120,120上的零点个数.
【详解】因为函数fx满足fx+32=fx−32，
所以fx+3=fx，所以fx的最小正周期为3，
当x∈0,3时，令fx=2x3−11x2+14x=0⇒xx−22x−7=0，
解得x=0或x=2，所以当x∈0,3时，fx有两个零点，
所以fx在−120,120上的零点个数为2×1203×2+1=161个.
故答案为：161.
考点五、复合函数的零点
1.（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=lg−x+1,x<012x+1,x≥0，则函数y=f2x−3fx+2的零点个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】将函数y=f2x−3fx+2的零点个数转化为方程fx=1和fx=2根的个数，然后再转化为函数fx与y=1，y=2图象交点个数，最后结合图象判断即可.
【详解】函数y=f2x−3fx+2=fx−1fx−2的零点，
即方程fx=1和fx=2的根，函数fx=lg−x+1,x<012x+1,x≥0的图象，如下图所示：
由图可得方程fx=1和fx=2的根，共有4个根，即函数y=2f2x−3fx+1有4个零点．
故选：C．
2.（2022高三上·河南·专题练习）已知函数fx=ex−3,x>0,2−x+12,x≤0,则y=ffx−1的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】画出fx的大致图象，由y=ffx−1=0，逐层进行求解，从而求得正确答案.
【详解】作出函数fx的大致图象如图所示，
由ex−3=1解得x=ln4，由2−x+12=1解得x=−2或x=0，f−1=2.
令ffx−1=0，得ffx=1，
得fx=−2或fx=0或fx=ln4，
结合图象可知：
当fx=−2时，有1个解；当fx=0时有2个解；
当fx=ln4时，由于1故y=ffx−1的零点个数为6.
故选：C

1.（23-24高三上·天津·期中）已知函数fx=x2+2x+m,m∈R，若函数ffx有且只有一个零点，则（ ）
A．m>1B．m<0
C．0【答案】C
【分析】由f(x)=0有解得出m≤1，同时否定m=1，m<1时f(x)=0有两根−1±1−m，由大根等于f(x)的最小值可得m值，然后再判断各选项．
【详解】显然f(x)=0有解，因此Δ=4−4m≥0，m≤1，
若m=1，则f(x)=x2+2x+1只有一个零点x=−1，但此时f(x)=−1无实解，f(f(x))无零点，
所以m<1，f(x)=(x+1)2+m−1，f(x)min=m−1，
由f(x)=0得x=−1±1−m，由题意−1+1−m=m−1，解得m=−1+52（m=−1−52舍去），所以m=−1+52时f(f(x))只有一个零点，它只满足C，
故选：C．
2.（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=−x2+2x,x≥0ln−x+1x,x<0，则函数y=ffx−1的零点个数是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
令fx−1=t，先求出使ft=0时的t的值，然后画出函数fx和函数y=t+1，其中t∈0,2,t3的图象，观察其交点个数即可得答案.
【详解】由已知ffx−1=0，
令fx−1=t，即ft=0，
当−t2+2t=0t≥0时，得t1=0或t2=2，
当ln−t+1t=0t<0时，明显函数gt=ln−t+1t在−∞,0上单调递减，且g−1=−1<0,g−2=ln2−12=ln2−lne>0，g−1g−2<0，
故存在t3∈−2,−1，使ln−t3+1t3=0，
画出fx=−x2+2x,x≥0ln−x+1x,x<0的图象如下，
再画出直线y=t+1，其中t∈0,2,t3，

观察图象可得交点个数为5个，
即函数y=ffx−1的零点个数是5.
故选：D.
3.（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数fx=2x+3,x≤0,x−22,x>0,则函数gx=fx2−ffx的所有零点之和为（ ）
A．2B．3C．0D．1
【答案】D
【分析】令t=fx，得到gt=t2−ft，令gt=0，可得t2=ft，列出方程求得t=±1，得到fx=±1，在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案.
【详解】由函数gx=fx2−ffx，令t=fx，则gt=t2−ft，
令gt=0，可得t2=ft，
当t>0时，由t2=ft，可得t2=(t−2)2，即−4t+4=0，解得t=1；
当t<0时，由t2=ft，可得t2=2t+3，即t2−2t−3=0，解得t=−1或t=3（舍去），
所以t=±1，即fx=±1，
当x>0时，令x−22=1或x−22=−1（舍去），解得x=1或x=3；
当x<0时，令2x+3=±1，解得x=−1或x=−2，
所以函数gx=fx2−ffx的零点之和为1+3−1−2=1.
故选：D.
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=exx2,x>1xex,x≤1，若函数gx=fx2−afx有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．−1e,0∪e24,eB．0,e24∪e
C．−1e∪0,e24∪e,+∞D．−1e∪0,e24
【答案】C
【分析】根据题意，先判断fx在−∞,1和1,+∞上的单调性和最值，再作出函数fx的大致图象，将函数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果.
【详解】当x≤1时，f'x=x+1ex，当x∈−∞,−1时，f'x<0，
当x∈−1,1时，f'x>0，所以fx在−∞,−1上单调递减，在−1,1上单调递增，且fxmin=f−1=−1e，当x<0时，fx=xex<0．
当x>1时f'x=x−2exx3，当x∈1,2时，f'x<0，
当x∈2,+∞时，f'x>0，所以fx在1,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，且fxmin=f2=e24．
作出函数fx的大致图象，如图所示，
由图象可知，x=0是函数fx的零点，要使函数gx=fx2−afx有两个不同的零点，则方程fx2−afx=0有两个不相等的实数根，等价于fx=a有1个非零实数根.
由图可知a=−1e或0e，即a∈−1e∪0,e24∪e,+∞.
故选：C．
【点睛】此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，需要会熟练应用导数判断单调性、求最值并作出函数的大致图象.
考点六、二分法的应用
1.（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数fx=lnx+1+x−1在区间0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过nn∈N∗次操作后，区间长度变为12n，若要求精确度为0.01时则12n <0.01，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【详解】因为开区间0,1的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过nn∈N∗次操作后，区间长度变为12n，
令12n <0.01，解得n≥7，且n∈N∗，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
2.（22-23高三·全国·对口高考）函数fx在(1,2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间1,2至少二等分（ ）
A．5次B．6次C．7次D．8次
【答案】C
【分析】根据a−b<0.01以及二分法，确定至少需要的二等分的次数.
【详解】区间1,2的长度为1，第1次二等分，区间长度变为12；
第2次二等分，区间长度变为122；第3次二等分，区间长度变为123；第4次二等分，区间长度变为124；第5次二等分，区间长度变为125；第6次二等分，区间长度变为126>0.01，
第7次二等分，区间长度变为127<0.01.
所以要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间1,2至少二等分7次.
故选：C
1.（2023·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数fx在x0附近一点的函数值可用fx≈fx0+f'x0x−x0代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程x3−3x+1=0，选取初始值x0=12，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．0.333B．0.335C．0.345D．0.347
【答案】D
【分析】求出迭代关系为xk+1=xk−fxkf'xk=2xk3−13xk2−3k∈N，结合x0=12逐项计算可得出结果.
【详解】令fx=x3−3x+1，则f'x=3x2−3，
令fx=0，即fx0+f'x0x−x0≈0，可得x≈x0−fx0f'x0，
迭代关系为xk+1=xk−fxkf'xk=xk−xk3−3xk+13xk2−3=2xk3−13xk2−3k∈N，
取x0=12，则x1=2x03−13x02−3=2×18−13×14−3=13，x2=2x13−13x12−3=2×127−13×19−3=2572≈0.34722，
故选：D.
2. （2023·广西·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用，例如求方程x3+2x2+3x+3=0的近似解，先用函数零点存在定理，令fx=x3+2x2+3x+3，f−2=−3<0，f−1=1>0，得−2,−1上存在零点，取x0=−1，牛顿用公式xn=xn−1−fxn−1f'xn−1反复迭代，以xn作为fx=0的近似解，迭代两次后计筫得到的近似解为 ；以−2,−1为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 .
【答案】 −75 −118
【分析】由牛顿法公式结合二分法的定义求解即可.
【详解】已知fx=x3+2x2+3x+3，则f'x=3x2+4x+3.
迭代1次后，x1=−1−f−1f'−1=−1−12=−32，
迭代2次后，x2=−32−f−32f'−32=−32−−38154=−75，
用二分法计算第1次，区间−2,−1的中点为−32，f−32=−58<0，f−1f−32<0，
所以近似解在−32,−1上；
用二分法计算第2次，区间−32,−1的中点为−54，f−54=2764>0，f−32f−54<0，所以近似解在−32,−54上，取其中点值−118，所求近似解为−118.
故答案为：−75；−118.
3. （23-24高三下·北京·阶段练习）函数fx=ln2x−1x的一个零点所在的区间是（ ）
A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4
【答案】B
【分析】先判断fx的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为fx的定义域为0,+∞，且y=ln2x,y=−1x在0,+∞内单调递增，
可知fx在0,+∞内单调递增，
且f1=ln2−1<0,f2=ln4−12>0，
所以函数fx的唯一一个零点所在的区间是1,2.
故选：B.
1．（2019高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．
【详解】根据二分法的思想，函数fx在区间[a,b]上的图象连续不断，且fa⋅fb<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a,b)一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，
而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
2．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）f(x)=tanxsinx−sinx−tanx+1在[0,2π]上的零点个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.
【详解】依题意，f(x)=tanxsinx−sinx−tanx+1=(tanx−1)(sinx−1)，
而x∈[0,2π]，显然x≠π2且x≠3π2，因此sinx≠1，
由f(x)=0，得tanx=1，解得x=π4或x=54π，
所以f(x)在[0,2π]上的零点个数是2.
故选：B
3．（2024·陕西安康·模拟预测）函数fx=lnx+x2−2的零点所在区间是（ ）
A．0,22B．22,1C．1,2D．2,2
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
【详解】因为函数fx的定义域为0,+∞，又f'x=1x+2x>0，易知函数fx在0,+∞上单调递增，
又f1=−1<0,f2=ln2=12ln2>0，所以在1,2内存在一个零点x0，使fx0=0.
故选：C.
4．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数y=csx与y=lgx的图象的交点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数y=csx与y=lgx都是偶函数，其中cs2π=cs4π=1，lg4π>lg10=1>lg2π，
在同一坐标系中，作出函数y=csx与y=lgx的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D
5．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数f(x)=sin(2ωx+π3)(ω>0)在(0,π6)上有且仅有1个极值点和1个零点，f(π2)=0，则ω=（ ）
A．83B．53C．176D．116
【答案】A
【分析】由f(π2)=0求出ω的表达式，再由极值点及零点个数求出ω的范围即可得解.
【详解】当x∈(0,π6)时，2ωx+π3∈(π3,πω3+π3)，依题意，π<πω3+π3≤3π2，解得2<ω≤72，
由f(π2)=0，得ωπ+π3=kπ,k∈N∗，解得ω=k−13，所以k=3,ω=83.
故选：A
6．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数f(x)=1x,x>02x2+4x+1,x≤0，若关于x的方程fx=a恰有三个实数根，则a的取值范围为 ．
【答案】0,1
【分析】将问题转化为函数y=fx与y=a的图象的交点个数为3，作出函数图象，结合图象求解即可.
【详解】关于x的方程fx=a恰有三个实数根等价于函数y=fx与y=a的图象的交点个数为3，
y=fx的图象如图所示，
由图可知当0所以a的取值范围为0,1，
故答案为：0,1
7．（2024·河南·二模）已知函数fx是偶函数，对任意x∈R，均有fx=fx+2，当x∈0,1时，fx=1−x，则函数gx=fx−lg5x+1的零点有 个.
【答案】4
【分析】转化为函数y=fx的图象与y=lg5x+1的图象的交点个数即可求解.
【详解】函数fx是偶函数，说明函数fx的图象关于y轴对称，fx=fx+2说明fx的周期是2，
在同一平面直角坐标系中画出函数y=fx的图象与y=lg5x+1的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即gx=fx−lg5x+1有4个零点.
故答案为：4.
1．（2024高三·全国·专题练习）方程1+x34−x2+x2−4=0的实根个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】解法一：令fx=1+x34−x2+x2−4，利用导数研究函数fx的单调性，结合零点的存在性定理可知fx在0,+∞上有一个零点，即可求解；解法二：令x=2csα0≤x≤π，将原方程转化为sinα−csα=12，解出方程的解即可.
【详解】解法一：令fx=1+x34−x2+x2−4，定义域为−2,2，
f'x=31+x24−x2−1+x3−x4−x24−x2+2x =1+x234−x2+x1+x4−x24−x2+2x，
x→−2时，f'x→+∞，f'−1=−2<0，∴fx在−2,−1上存在极大值，
而当x∈−2,−1时，1+x34−x2<0，x2−4<0，∴fx<0，∴fx的极大值小于0，
从而在−2,0上恒小于0，当x≥0时，f'x>0，
所函数fx在0,+∞上单调递增，而f0=−154<0，f1=833−3>0，
∴函数fx在0,+∞上有一个零点即方程1+x34−x2+x2−4=0的实根个数为1.
故选：D．
解法二：令x=2csα0≤x≤π，则4−x2=2sinα，
方程可以转化为1+2csα32sinα=4sin2α，即1+2csα=2sinα，sinα−csα=12，
平方可得sincsα=38，故此方程有仅有一解，且csα=7−14.
故选：D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数fx=xex，若不等式fx−ax+2>0的解集中有且仅有一个整数，则实数a的取值范围是（ ）
A．12e2,13eB．12e2,13eC．23e2,12eD．23e2,12e
【答案】B
【分析】利用导数求出函数fx的单调区间和极值，作出函数fx的大致图象，结合题意可知fx>ax+2只有一个整数解，再由图象可得结论.
【详解】易知函数fx的定义域为R，且f'x=1−xex，
当x<1时，f'x>0；当x>1时，f'x<0，
所以fx在−∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减；
即fxmax=f1=1e，
又当x趋近于−∞时，fx趋近于−∞，当x趋近于+∞时，fx>0且趋近于0；
作出函数fx的图象如下图所示：
易知y=ax+2恒过定点−2,0，
由不等式fx−ax+2>0的解集中有且仅有一个整数可知fx>ax+2只有一个整数解；
令gx=ax+2，利用一次函数图象性质可知，
当a≤0时，fx>gx在0,+∞上恒成立，不合题意；
当a>0时，若fx>gx只有1个整数解，因此整数必为1；
所以可得f1>g1f2≤g2，即1e>3a2e2≤4a，解得12e2≤a<13e；
即实数a的取值范围是12e2,13e.
故选：B
3．（2024·全国·高考真题）曲线y=x3−3x与y=−x−12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
【答案】−2,1
【分析】将函数转化为方程，令x3−3x=−x−12+a，分离参数a，构造新函数gx=x3+x2−5x+1,结合导数求得gx单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令x3−3x=−x−12+a，即a=x3+x2−5x+1，令gx=x3+x2−5x+1x>0,
则g'x=3x2+2x−5=3x+5x−1，令g'x=0x>0得x=1，
当x∈0,1时，g'x<0，gx单调递减，
当x∈1,+∞时，g'x>0，gx单调递增，g0=1,g1=−2，
因为曲线y=x3−3x与y=−x−12+a在0,+∞上有两个不同的交点，
所以等价于y=a与gx有两个交点，所以a∈−2,1.
故答案为：−2,1
4．（2024高三·全国·专题练习）若方程cs2x−sinx+a=0在0,π2内有解，则a的取值范围是 ．
【答案】−1,1
【分析】设sinx=t∈0,1，则问题转化为方程t2+t−a−1=0在x∈0,1上有解，再利用一元二次方程的根的分布与系数的关系即可得出答案.
【详解】方程cs2x−sinx+a=0，整理可得sin2x+sinx−a−1=0，
因为x∈0,π2，则0则问题转化为方程t2+t−a−1=0 在0,1 上有解．
又方程t2+t−a−1=0对应的二次函数ft=t2+t−a−1 的对称轴为t=−12 ，

故有f0⋅f1≤0f0≠0 ，即−a−1⋅1−a≤0−a−1≠0，解得−1所以a的取值范围是−1,1.
故答案为：−1,1.
5．（2024·天津河东·二模）已知函数fx=−x−a+a，gx=x2−4x+3，若方程fx=gx恰有2个不同的实数根，则实数a的取值范围为 .
【答案】(12,32)∪(138,+∞)．
【分析】作出y=|g(x)|的图象，分a<12、a=12、12138五种情况，分别作出f(x)图象进行讨论，即可得答案．
【详解】依题意画出y=|g(x)|的图象如图所示：
因为函数f(x)=−|x−a|+a，
所以f(x)=x,x当直线y=−x+2a与y=−x2+4x−3(x∈[1,3])相切时，
由y=−x+2ay=−x2+4x−3，得x2−5x+3+2a=0，
Δ=25−4(a+3)=0，解得a=138，
由图可知，①当a<12时，函数f(x)的图象与|g(x)|的图象无交点，不满足题意；
②当a=12时，函数f(x)的图象与|g(x)|的图象交于点(1,0)，不满足题意；
③12则要使方根f(x)=|g(x)|恰有2个不同的实数根，
只需2a<3，即a<32，故12④当a=138时，函数f(x)的图象与|g(x)|的图象有3个交点，不满足题意；
⑤当a>138时，函数f(x)的图象与|g(x)|的图象有2个交点，满足题意．
综上，12138．
所以a的取值范围为：(12,32)∪(138,+∞)．
故答案为：(12,32)∪(138,+∞)．
【点睛】方法点睛：求解函数y=fx零点个数的常用方法：
(1) 直接法：令fx=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线，且fa·fb<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
6．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内A,B两点满足: （1）点A,B都在f(x)的图象上; （2）点A,B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，且点对(A,B)与(B,A)记为一个“姊妹点对”. 已知函数f(x)=x2+2x,x<02ex,x≥0，则f(x)的“姊妹点对”有 个.
【答案】2
【分析】问题转化为x≥0,f(x)关于原点对称的函数与f(x)=x2+2x在(−∞,0)交点的个数，先求出x≥0,f(x)关于原点对称的函数g(x)，利用导数方法求出g(x)=x2+2x在(−∞,0)解的个数，即可得出结论.
【详解】设P(x,y)(x≤0)是y=f(x)(x≥0)关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为P'(−x,−y)在y=f(x)(x≥0)上，
−y=2e−x,y=−2ex，设g(x)=−2ex(x≤0)，“姊妹点对”的个数即为g(x)与f(x)在(−∞,0)交点的个数，
于是−2ex=x2+2x，即2ex+x2+2x=0(x<0)，令φ(x)=2ex+x2+2x(x<0)，
由2ex>0，得x2+2x<0，即−2求导得φ'(x)=2ex+2x+2，显然函数φ'(x)在区间(−2,0)上单调递增，
而φ'(−2)=2e−2−4+2<0，φ'(−1)=2e−1>0，则存在x0∈(−2,−1)使得φ'(x0)=0，
当x∈(−2,x0),φ'(x)<0,φ(x)单调递减，x∈(x0,0),φ'(x)>0,φ(x)单调递增，
而φ(−2)=2e−2>0，φ(x0)<φ(−1)=2e−1−1<0，φ(0)=2>0，
因此函数φ(x)在区间(−2,−1)，(−1,0)分别各有一个零点，
所以函数f(x)的“姊妹点对”有2个.
故答案为：2
【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键.
7．（23-24高三下·上海·期中）已知f(x)=2−x+1，且g(x)=lg2(x+1),x≥0f(−x),x<0，则函数y=g(x)−2的零点为 .
【答案】3
【分析】令g(x)−2=0，分x≥0和x<0两种情况，解方程可得答案.
【详解】因为f(x)=2−x+1，则f(−x)=2x+1，所以g(x)=lg2(x+1),x≥02x+1,x<0，
令g(x)−2=0，则g(x)=2，
当x≥0时，g(x)=lg2(x+1)，令g(x)=lg2(x+1)=2，解得：x=3；
当x<0，g(x)=2x+1，令g(x)=2x+1=2，解得：x=0(舍去)，
故函数y=g(x)−2的零点为3
故答案为：3
1.（2022·全国·高考真题）函数y=3x−3−xcsx在区间−π2,π2的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令fx=3x−3−xcsx,x∈−π2,π2，
则f−x=3−x−3xcs−x=−3x−3−xcsx=−fx，
所以fx为奇函数，排除BD；
又当x∈0,π2时，3x−3−x>0,csx>0，所以fx>0，排除C.
故选：A.
2.（2021·浙江·高考真题）已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．y=f(x)+g(x)−14B．y=f(x)−g(x)−14
C．y=f(x)g(x)D．y=g(x)f(x)
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，y=f(x)+g(x)−14=x2+sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，y=f(x)−g(x)−14=x2−sinx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，y=f(x)g(x)=(x2+14)sinx，则y'=2xsinx+(x2+14)csx，
当x=π4时，y'=π2×22+(π216+14)×22>0，与图象不符，排除C.
故选：D.
3.（2019·全国·高考真题）函数f(x)=2sinx−sin2x在0,2π的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令f(x)=0，得sinx=0或csx=1，再根据x的取值范围可求得零点.
【详解】由f(x)=2sinx−sin2x=2sinx−2sinxcsx=2sinx(1−csx)=0，
得sinx=0或csx=1，∵x∈0,2π，
∴x=0、π或2π．
∴f(x)在0,2π的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
4.（湖北·高考真题）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−3x，则函数g(x)=f(x)−x+3的零点的集合为（ ）
A．1,3B．−3,−1,1,3C．2−7,1,3D．−2−7,1,3
【答案】D
【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−3x，
所以f(x)=x2−3x,x≥0−x2−3x,x<0，
所以g(x)=x2−4x+3,x≥0−x2−4x+3,x<0，
由x≥0x2−4x+3=0，解得x=1或x=3；
由x<0−x2−4x+3=0解得x=−2−7或x=−2+7（舍去），
所以函数g(x)=f(x)−x+3的零点的集合为−2−7,1,3.
故选：D.
考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.
5.（·北京·高考真题）已知函数f(x)=6x−lg2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4,+∞)
【答案】C
【详解】因为f(2)=3−1>0，f(4)=32−2<0，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6.（·全国·高考真题）在下列区间中，函数fx=ex+4x−3的零点所在的区间为（ ）
A．−14,0B．0,14C．14,12D．12,34
【答案】C
【分析】先判断函数f(x)在R上单调递增，由f14<0f12>0,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数f(x)=ex+4x−3在R上连续单调递增，
且f14=e14+4×14−3=e14−2<0f12=e12+4×12−3=e12−1>0,
所以函数的零点在区间(14,12)内，故选C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第15题,5分
函数与方程的综合应用,根据函数零点的个数求参数范围,已知方程求双曲线的渐近线
2023年天津卷，第15题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
2022年天津卷，第15题,5分
根据函数零点的个数求参数范围,根据二次函数零点的分布求参数的范围
2021年天津卷，第9题,5分
根据函数零点的个数求参数范围
2020年天津卷，第9题,5分
函数与方程的综合应用，根据函数零点的个数求参数范围