期中真题必刷易错、压轴60题（12个考点专练）（含答案） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

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1．（2023秋•静安区校级期中）如果，那么下列四个选项中一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
故符合题意；
、，
，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
设，，
，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2023秋•闵行区期中）若，那么 ．
【分析】依据，可设，则，，，再代入代数式进行化简计算即可．
【解答】解：设，则
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，利用设法是解决问题的关键．
二．黄金分割（共3小题）
3．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是
A．B．
C．D．是与的比例中项
【分析】根据黄金分割的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：是线段上的黄金分割点，且，
，
，
是与的比例中项，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
4．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点在线段上，且，
点是的黄金分割点，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
5．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，其中较短，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
三．平行线分线段成比例（共5小题）
6．（2023秋•金山区校级期中）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：．，，选项能判定；
．由，不能得到，选项不能判定；
．，，选项能判定；
．，，选项能判定．
故选：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
7．（2023秋•浦东新区校级期中）在中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是
A．B．C．D．
【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．
【解答】解：，
，
当时，，
，故选项能够判断；
而，，选项不能判断；
故选：．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
8．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：．当时，能判断；
．当时，能判断；
．当时，不能判断；
．当时，能判断；
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
9．（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是
A．B．
C．D．
【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段．
【解答】解：由题意，
，
线段没法先作出，
选项错误，
根据平行线分线段成比例定理，只有符合．
故选：．
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项看似正确，实际上前面的线段没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选导致出错．
10．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由，，即可求出的长．
（2）过点作，交于点，交于点，运用比例关系求出及的长，然后即可得出的长．
【解答】解：（1），
，
，，，
，
．
（2）过点作，交于点，交于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
四．相似三角形的性质（共1小题）
11．（2023秋•长宁区校级期中）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于 24 ．
【分析】由于△，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△的最大边的长．
【解答】解：设△的最大边长是，
根据相似三角形的对应边的比相等，可得：
，
解得：，
△最大边的长等于24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
五．相似三角形的判定（共1小题）
12．（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有
A．4组B．5组C．6组D．7组
【分析】题目所给的五组条件分别是边的比和角相等，若选角相等，则任选两组即可；若选边成比例且角相等，则角必须是对应边的夹角；若都选边的比相等，则要证两个三角形的三边都对应成比例；可由此进行判断．
【解答】解：选①②，可得：，由可判定两个三角形相似；
选①④或②⑤，可通过判定两个三角形相似；
若选③④、③⑤或④⑤，可通过判定两个三角形相似；
所以共有6组；故选．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
六．相似三角形的判定与性质（共29小题）
13．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
14．（2023秋•宝山区期中）某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点、在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论：
①；②．
对于结论①和②下列说法正确的是
A．①错误，②正确B．①正确，②错误C．①和②都正确D．①和②都错误
【分析】证明，对应边成比例，即可判断①正确；然后证明，得，所以，由，得，根据，即可判断②正确．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
结论①和②都正确，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
15．（2023秋•普陀区期中）如图，在，平分，，，，，则 2 ．
【分析】根据平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得，最后再根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，即可解答．
【解答】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
16．（2023秋•静安区校级期中）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值．方法二：证明，可得，设，，，则，利用勾股定理列方程求出的值，进而可以解决问题．
【解答】解：方法一：点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
方法二：如图，连接，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
设，
则，
设，
则，
由勾股定理得，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明．
17．（2023秋•虹口区期中）如图，在矩形中，、、分别是边、、上点，且，，与交于点，若，则 ．
【分析】由题意得：，设，则，设，则，根据条件可得，可得，又因为，可得，根据勾股定理可得，，由即可求解．
【解答】解：由题意得：，
设，则，
设，则，
，且四边形为矩形，
，，，
，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，大胆根据相似三角形线段比例关系设未知数结合勾股定理是解决问题的关键．
18．（2022秋•静安区校级期中）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
【分析】如图，过点作于．首先证明，设，，根据，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点作于．
在中，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，设，，，
，
，
，
，，
，
，
解法二：过做，利用平行线等分线段解决问题．
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19．（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得，，，，从而证明字模型相似，，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（2）连接，利用（1）的结论可得，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得，再根据，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（2023秋•黄浦区期中）如图，在中，点、分别在边、上，联结、，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（2023秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形中，点为边上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点．求证：．
【分析】由，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形是平行四边形，可得，，继而可证得，则可证得结论．
【解答】证明：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（2023秋•松江区期中）如图，已知在平行四边形中，对角线、交于点．点在上，且，与交于点．
（1）求的值；
（2）设，，试用，表示．
【分析】（1）取中点，连接，根据平行四边形的性质证明，，然后由平行线分线段成比例定理，求得答案；
（2）由平行四边形中，，得，，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）取中点，连接，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
，，
．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形法则与三角形法则的应用．
23．（2023秋•普陀区期中）如图，点、分别在的边、上，延长、交于点，且．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
【分析】（1）证明即可解决问题；
（2）证明，可得，由，可得结论．
【解答】证明：（1）．
，
又，
，
，
又，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023秋•金山区校级期中）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出，推出，求出，根据证，
即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．
【解答】（1）证明：，
，
是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．
25．（2023秋•黄浦区校级期中）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
（1）如图①，若四边形是矩形，且．求证：；
（2）如图②，若四边形是平行四边形．试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
【分析】（1）根据矩形性质得出，求出，证出即可得结论；
（2）当时，成立，证，得出，证，得出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图（1），四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）当时，成立．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
即当时，成立．
【点评】本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．
26．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
【分析】（1）只要证明△FAD∽△DAB，可得＝，延长即可解决问题；
（2）只要证明△CAD≌△EBD，可得AC＝BE，再证明△EBD∽△CBA，可得＝，由BD＝AD，AC＝BE，可得AD•BE＝DE•AB．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝2∠B，∠DAB＝∠DAC，
∴∠B＝∠DAB，
∵DF∥AB，
∴∠ADF＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，
∴△FAD∽△DAB，
∴＝，
∴AD2＝AF•AB．
（2）∵∠B＝∠DAB，
∴DA＝DB，
∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△CAD≌△EBD，
∴AC＝BE，
∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，
∴△EBD∽△CBA，
∴＝，∵BD＝AD，AC＝BE，
∴AD•BE＝DE•AB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
【分析】（1）由平分交于点，，可证得，，然后由相似三角形的对应边成比例，证得；
（2）根据三角形面积公式与，，可得，然后由平行线分线段成比例定理，求得的长．
【解答】（1）证明：平分，
．（1分）
，
（1分）
．
，（1分）
，
，
（1分）
，
；（1分）
（2）解：设中边上的高为．
，（2分）
，
．（1分）
，
．（2分）
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
28．（2023秋•闵行区校级期中）如图，已知在中，点为边的中点，点在边上，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由已知条件得到，等量代换得到，求得，推出，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论；
（2）连接，由等腰三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，
，点为边的中点，
，
，，
，
，
，
．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．
29．（2023秋•静安区期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．
（1）若于点，且，求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值；
（3）设、、四边形的面积分别为、、，求证：
．
【分析】（1）根据，，可得四边形是平行四边形，然后证明是的垂直平分线，可得，证明，进而可以解决问题；
（2）证明，可得，证明，可得，所以，然后根据，即可解决问题；
（3）设的边上的高为，长为，的边上的高为，由，可得，得，然后根据三角形的面积即可解决问题．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
（3）证明：设的边上的高为，长为，的边上的高为，
，
，，
，，
，
，
解得：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
30．（2022秋•杨浦区期中）如图，梯形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）求证：．
【分析】（1）由平行线得出，得出对应边成比例求出，即可得出的长；
（2）由平行线得出，，得出对应边成比例，，由已知条件得出，因此，即可得出结论．
【解答】解：（1），
，
，
，
；
（2）证明：，
，，
，，
点是边的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
31．（2022秋•青浦区校级期中）如图，已知在梯形中，，，．
（1）求证：．
（2）连接，若，求证：．
【分析】（1）由平行线的性质得出，，再由已知条件和邻补角关系得出，即可得出；
（2）由（1）得：，由相似三角形的对应边成比例得出，再由已知条件得出，由公共角相等得出，得出，即可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，，
，，
，
；
（2）证明：连接
由（1）得：，
，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、邻补角关系；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．
32．（2022秋•黄浦区期中）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，求得，然后证明，即可得到结论；
（2）由，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）于点，
，
点是的中点，
，
，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
33．（2022秋•青浦区期中）如图，已知，与相交于点．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则；
（2）根据平行线分线段成比例知，结合已知条件求得；同理由推知与间的数量关系，从而求得．
【解答】解：（1），，
．
，
，则，
又，
，则，
，即，
，
，即的长是8；
（2），
．
又，，
．
，
，
又，
，
，即的长是10.5．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
34．（2022秋•虹口区校级期中）如图，，点为内的一个动点，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
【分析】（1）由三角形内角和定理得出，由，推出，即可得出结论；
（2）由，，得出是等腰直角三角形，则，由，得出，设，则，，求出，由勾股定理得出，即可得出结果．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
则，，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
35．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，已知四边形，，对角线、交于点，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且满足．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可求解；
（2）由，得：，，即可求解．
【解答】解：（1）证明，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大．
36．（2022秋•奉贤区校级期中）如图，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出，再利用相似三角形的性质得出，进而证明即可；
（2）由（1）得出，再证明，进而解答即可．
【解答】证明：（1），
，
，
，
，
又，
，
即，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
37．（2022秋•静安区校级期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点．
（1）若，求的长；
（2）设，，试求关于的函数解析式；
（3）当为多少时，以、、为顶点的三角形与相似．
【分析】（1）连接，由平行四边形的判定定理可得出四边形是平行四边形，进而可得出，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由平行线分线段成比例定理可知，，再根据点在边上或点在边的延长线上两种情况讨论即可；
（3）先由相似三角形的判定定理得出，，由相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【解答】解：（1）连接

四边形是平行四边形，

，
，
，
；
（2），，
，
，，，，，
当点在边上时，
，解得（1分）
，解得（1分）
（1分）
当点在边的延长线上时，
，解得（1分）
，解得（1分）
综上所述，（1分）
（3）， （1分）
又以、、为顶点的三角形与相似，
与相似 （1分）
公共，又
（1分）
即
由（2）知，
得
所以，当为4时，以、、为顶点的三角形与相似．（2分）
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理及平行线分线段成比例定理，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．
38．（2022秋•浦东新区校级期中）已知：如图，已知与均为等腰三角形，，．如果点在边上，且．点为与的交点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到，由于，根据得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，于是得到，证得，根据相似三角形的性质得到，由，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
39．（2022秋•青浦区校级期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且．设、两点的距离为，的面积为．
（1）求证：；
（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当与相似时，求的面积．
【分析】（1）先由已知条件判断出，由相似三角形的对应边成比例即可得出，再由，可知，再根据其对应边成比例即可求出答案；
（2）由，得，进而可得出与的关系，作，垂足为点，由可得出，进而可得出与的关系式；
（3）由，得，当与相似时，只有两种情形：或，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案．
【解答】解：（1），，
，
，
，，
．
．
．
（2）由，得，
，
，
作，垂足为点，
，
，
，
．
．
又，，即．
结合题意知，，
，
，，，
，
，
，
定义域是．
另解：由，得，
．
．
，
，
，即，
．
结合题意知，，
，
，，，
，
，
．
定义域是．
（3），
，
，
．
，
，
，
．
当与相似时，只有两种情形：或．
当时，，
．
解得．
．
当时，同理可得，
．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．
40．（2022秋•浦东新区校级期中）已知：梯形中，，，对角线、交于点，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）当时，求证：．
【分析】（1）首先根据已知得出，以及，进而求出，
（2）根据相似三角形的判定得出，再利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1），
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
．
，
，
，
，
．即，
．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．
41．（2022秋•静安区校级期中）已知：如图，梯形中，，，、是对角线，是延长线上一点，且，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
【分析】（1）由等腰梯形的性质得出，由证明，得出，由等腰三角形的性质和已知条件得出，证出，即可得出结论；
（2）证出，证明，得出对应边成比例，即可得出结论．
【解答】证明：（1）梯形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．
七．相似三角形的应用（共1小题）
42．（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，再根据矩形的性质可得，从而可得，，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设米，利用（1）的结论可得：，从而利用相似三角形的性质可得米，然后根据题目的已知可得，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；
（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的，
理由：设米，
由（1）可得：，
，
，
米，
矩形花坛的面积平方米，
由题意得：，
，
整理得：，
△，
此方程没有实数根，
矩形花坛的面积不能占空地面积的．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
八．锐角三角函数的定义（共2小题）
43．（2023秋•黄浦区校级期中）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．2
【分析】根据勾股定理求出的长，然后进行计算即可．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．
44．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再由三角形的中位线定理求出、的长，由锐角三角函数的定义即可求出的余切值；
（2）过点作于点，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出、的表达式，再由相似三角形的判定定理求出，根据相似三角形的性质可写出关于的函数关系式；
（3）先分析出为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当时，点在边上，过点作于点，可求出的长度，由的长可判断出的位置，进而可求出的长；当时，先判断出点的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1），，
，
，，
，（1分）
，（1分）
在中，；（2分）
（2）过点作于点，设，
，
，
，
，
，，（1分）
，
又可证，
，（1分）
，
；（2分）
（3），，
，
若为等腰三角形，只有或两种可能．（1分）
当时，点在边上，过点作于点（如图①
可得：，即点在中点，
此时与重合，
；（2分）
当时，点在的延长线上，
过点作于点，（如图②
可证：
，
是直角三角形，
，
，
，
．
，
，
，
，，（2分）
综上所述，为6或7．
【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
九．特殊角的三角函数值（共5小题）
45．（2023秋•宝山区期中）的值等于
A．2B．1C．D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：的值等于1，
故选：．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
46．（2023秋•闵行区期中）计算：．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
47．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
48．（2023秋•长宁区校级期中）计算：．
【分析】先代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．
49．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：
【分析】依据、、角的各种三角函数值，即可得到计算结果．
【解答】解：原式
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
一十．解直角三角形（共7小题）
50．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】解：如图：
在中，．
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系，属于中考常考题型．
51．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，，，，则线段的长 ．
【分析】过作，垂足为交于，证明，推出，可得，由推出，设长为，由此构建方程求解，进一步求得结果；
【解答】解：过作，垂足为交于，如图，
过作，垂足为交于，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
设长为，则：
，
解得：或（舍去），
．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形．
52．（2023秋•静安区校级期中）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，．
（1）求的面积；
（2）求．
【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得和的长，从而可以求得的面积；
（2）根据三角形的相似和题意可以求得的值．
【解答】解：（1），，是的高，
，
，，
的面积是；；
（2）作于点，
，，
，
，，
，，
，
，
，
即．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
53．（2023秋•金山区校级期中）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，交直线于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段的长．
【分析】（1）由题意先求出，的长，由和，证明出，再由，可知，求得，从而求得线段的长；
（2）通过分析，作辅助线，过点作，交延长线于点，根据平行线的性质得：，再由（1）得，根据以上两个式子求出关于的函数解析式，
（3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，求得线段的长为或．
【解答】解：（1）在中，，，，
，，
，，
，，
．
，
又，，
，．
（2）过点作，交延长线于点，
，即①
在与中，
由（1）得，
，即，②
由①②得，
（3）当点在线段上时，
把代入解得，
当点在延长线上时，
设，由（2）同理可得，解得
综上所述当时，线段的长为或．
【点评】本题主要考查了三角函数的应用，用到了分类讨论的思想，是一道综合题难度大．
54．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在四边形中，，，，，．
求：（1）的长；
（2）如果点为的中点，联结，求的正切值．
【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可．
（2）首先证明，推出，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）在中，，，，
，
，
，
，
，
．
（2）在中，，
，
，
．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
55．（2022秋•青浦区期中）如图，已知中，，．
（1）求边的长；
（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．
【分析】（1）过作，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长即可；
（2）由垂直平分，求出的长，利用锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可求出所求．
【解答】解：（1）作作，
在中，，，
，，
，
在中，根据勾股定理得：；
（2）
方法一：
垂直平分，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
则．
方法二：
垂直平分，
，，
，
，，
，
，
，
．
【点评】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
56．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，点是边上的一点，，，．
（1）求和的长；
（2）求的值．
【分析】（1）通过解得到边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求的长度；然后通过解可以求得的长度，再利用勾股定理求线段的长度．
（2）如图，过点作于点，构建，通过解该直角三角形来求的值．
【解答】解：（1）如图，在中，，，，
，即，
则，
由勾股定理知，．
又，
，即，
则．
在中，利用勾股定理知，．
综上所述，，；
（2）如图，过点作于点．
由（1）易知，．
，
．则．
则由勾股定理得到：，
解得，
．
【点评】本题考查了解直角三角形．熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
57．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：
（1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到
（2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米．
【分析】（1）如图，作于，于，解直角三角形求出，即可求出；
（2）作于，于，再分别解直角三角形求出，即可．
【解答】解：如图，作于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
是等边三角形，
，
，
（分米），
，
，
（分米），
（分米），
答：点离地面的距离约为13.7分米；
（2）如图，于，于，
，
，
在中，（分米），（分米），
在中，（分米），
（分米），
在中，（分米），（分米），
在中，（分米），
分米，
（分米），
答：为4分米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
58．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：．
【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）延长交于点，根据已知易得，从而利用三角形的内角和可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再根据已知可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在中，，，
（米，
灯管支架底部距地面高度的长为米；
（2）延长交于点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
米，米，
（米，
在中，（米，
（米，
灯管支架的长度约为1.2米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
59．（2022秋•长宁区校级期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆的高度（精确到．
（参考数据：，，，．
【分析】（1）延长交延长线于点，则，中求得、；
（2）作，可得、，根据、可得答案．
【解答】解：（1）延长交射线于点．
由题意得．
在中，，．
．
．
米，
米，米．
答：点的铅垂高度是米．
（2）过点作于．
由题意得，即为点观察点时的仰角，
．
，，，
．
四边形为矩形．
米．
（米．
在中，，（米．
（米．
答：旗杆的高度约为7.7米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
60．（2022秋•青浦区期中）环球国际金融中心（图中所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为．又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心的高度．（备用数据：，，
【分析】构造所在的直角三角形，易得，那么减去60即为；即为长，利用的正切值即可求得长，加上60即为环球国际金融中心的高度．
【解答】解：过点作，交于点．
根据题意，得：，，，，
设（米．
则，．
在中，得：，
在中，，
即．
解得：．
答：环球国际金融中心的高度约为492米．
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．