人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：规律题 解答题压轴题练习题汇编（含答案）

这是一份人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：规律题 解答题压轴题练习题汇编（含答案），共30页。试卷主要包含了观察与思考，【阿题提出】求的值等内容，欢迎下载使用。
1．【观察思考】第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；

【规律发现】请用含的式子填空：
(1)请直接写出第个图形有___________个小三角形；
(2)第1个图形共有长度为的线段（条），
第2个图形共有长度为的线段（条）
第3个图形共有长度为的线段（条），
第4个图形共有长度为的线段（条），
……，
按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条；
(3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数．
2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：
(1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形；
(2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）；
(3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？
3．
(1)第5个式子是_______；第个式子是_______．
(2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______；
(3)计算：（由此拓展写出具体过程）：①；
②．
4．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片；
第（2）个图形中有张正方形纸片；
第（3）个图形中有张正方形纸片；
第（4）个图形中有张正方形纸片；
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
(1)第（6）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）；
(2)根据上面的发现我们可以猜想：__________（用含的代数式表示）；根据你的发现计算：．
5．观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：

(1)尝试：第5个图形可以表示的等式是 ；
(2)概括：＝ ；
(3)拓展应用：求的值．
6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 ，，， 这样的数称为“三角形数”，而把 ，，， 这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
① ，② ，③ ， ④ ．

(2)通过猜想，写出（）中与第八个点阵相对应的等式 ；
(3)从下图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（）观察下列点阵图，并在⑤看面的横线上写出相应的等式；① ， ② ， ③ ， ④ ，
⑤ ．

(4)通过猜想，写出（）中与第 个点阵相对应的等式 ；
(5)判断 是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是， 可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
7．【阿题提出】求的值．（其中是正整数）
为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形图案，把数量关系和儿何图形巧妙地结合起来进行探究，即用“由数思形，以形助数”的方法解决代数问题．

小红同学思考过程如下：
①令，于是这个三角形图案即为图2．将图2倒过来（第1层变为第7层）拼摆到图2的右边，拼成平行四边形图案（由？层小圆圈组成），那么这个平行四边形图案中小圆圈的总个数的一半就是图2中小圆圈的总个数；
②将①中特殊化的方法，迁移到图1中，将图1倒过来（第1层变为第层）拼摆到图1的右边，转化为平行四边形图案（由层小圆圈组成），再利用拼摆的平行四边形图案中小圆圈的总个数，求出的值．
【问题解决】（1）①请将小红在图2中拼摆的平行四边形图案补充完整（利用图2补充即可）；
②小红将图1转化为平行四边形图案后，这个平行四边形图案每层有__________个小圆圈，图案中小圆圈共有__________个，则__________；
【模型构建】（2）请你用所学过的几何图形，构造一个与图1不同的几何图形，将所求算式“”的数量关系与构造的几何图形巧妙地结合起来：（要求只画出构造的几何图形，说明你所画的图形与算式之间有怎样的联系）
【模型应用】（3）如图3，某客运公司有一条往返于两地的长途客运线路，途中要停靠三个车站，那么该条线路上需要制定__________种不同的票价：如果车票上起点不同为一种票面，那么这趟客运线路有__________种不同的车票？
【思维拓展】（4）受小红的思路启发，小明将算式与一个本学期学习的几何图形建立数与形之间的联系，请你画出这个几何图形．
8．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．
第（1）个图形中有1个正方形； 第（2）个图形有1+3＝4个小正方形；
第（3）个图形有1+3+5＝9个小正方形； 第（4）个图形有1+3+5+7＝16小正方形； ……
(1)根据上面的发现我们可以猜想：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝______（用含n的代数式表示）；
(2)请根据你的发现计算：①1+3+5+7+…+99；②101+103+105+…+199．
9．观察以下等式：
第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，
第5个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并说明理由．
10．将正方形（如图1）作如下划分：第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；
第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形；
(1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形；
(2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程；
(3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由；
(4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．
计算．（直接写出答案即可）
11．现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为：将相邻的两个数作差再取绝对值．图1是小帆两次操作的示意图：
(1)图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全；
(2)在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0，我们就称其进入了“稳定状态”．请将1，3，5，7以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；
(3)这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上．如果通过三次操作进入“稳定状态”，所有满足条件的值为______．
12．如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖；以此递推．

①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖．
②第n层中含有______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
13．按如下规律摆放五角星：
(1)填写表格：
(2)请用含n的代数式表示出第n个图案中五角星的个数；(3)求第200个图案中五角星的个数．
14．计算2021个连续自然数1、2、3、……、2019、2020、2021的和，可以用下列方法：
先把以上这列数写成2021、2020、……、3、2、1，再把这两列数的第一项和第一项相加、第二项和第二项相加、第三项和第三项相加、……倒数第三项和倒数第三项相加、倒数第二项和倒数第二项相加、倒数第一项和倒数第一项相加，可以得到以下解法：
解：
所以
通过阅读以上解法，计算下列各题（结果用含有的代数式表示）：
(1)求连续自然数1、2、3、……、的和；
(2)求连续奇数1、3、5、……、的和．
15．探究性问题：
第一题：第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”（如图1）元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案，由国际著名平面设计大师、荷兰艾因霍芬设计学院院长托马斯设计完成（如图2）．若七巧板的总面积为am2，求这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和．
第二题：在数学活动中，小明为了求+……+的值（结果用含n的式子表示）．设计了如图1所示的几何图形．
（1）利用这个几何图形，求出+……+的值为 ；
（2）利用图2，再设计一个能求+……+的值的几何图形．
16．将长为1，宽为a的长方形纸片（＜a＜1）如图①那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）
（1）第一次操作后，剩下的长方形的长为 ，宽为 （用含a的代数式表示）．
（2）第二次操作后，剩下的长方形的面积是 ．（列出代数式，不需化简）
（3）假如a＝0.6，第 次操作后，剩下的长方形恰好是正方形．
17．分观察下列各式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
请回答下列各题：
（1）按以上规律列出第个等式： ；
（2）用含的式子表示第个等式（为正整数）： ．
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1．【观察思考】第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；

【规律发现】
请用含的式子填空：
(1)请直接写出第个图形有___________个小三角形；
(2)第1个图形共有长度为的线段（条），
第2个图形共有长度为的线段（条）
第3个图形共有长度为的线段（条），
第4个图形共有长度为的线段（条），
……，
按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条；
(3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键．
（1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案；
（2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案；
（3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：

第1个图形小三角形个数为：；
第2个图形小三角形个数为：；
第3个图形小三角形个数为：；
第4个图形小三角形个数为：；
……，
按此规律，第个图形中小三角形个数为，
故答案为：；
（2）解：如图所示：

第1个图形共有长度为的线段为：（条）；
第2个图形共有长度为的线段为：（条）；
第3个图形共有长度为的线段为：（条）；
第4个图形共有长度为的线段为：（条）；
……，
按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条；
故答案为：；
（3）解：如图所示：

第1个图形共有交点：（个）；
第2个图形共有交点：（个）；
第3个图形共有交点：（个）；
第4个图形共有交点：（个）；
……，
按此规律，第个图形共有交点：．
2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：
(1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形；
(2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）；
(3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？
【答案】(1)16(2)(3)
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“”是解题的关键．
（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合的值即可求出的值；
（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出；
（3）代入即可求出结论．
【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要个三角形．
∵，
∴，
∴．
故答案为：16；
（2）解：由（1）可知：．
故答案为：；
（3）解：当时，，
∴摆成第2021个图案需要个三角形．
3．
(1)第5个式子是_______；第个式子是_______．
(2)从计算结果中找规律，利用规律计算：_______；
(3)计算：（由此拓展写出具体过程）：
①；
②．
【答案】(1)；(2)(3)①；②
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）①原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
②原式变形为，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
∴第5个式子是：；
第个式子是；
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：①
．
②
．
4．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片；
第（2）个图形中有张正方形纸片；
第（3）个图形中有张正方形纸片；
第（4）个图形中有张正方形纸片；
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
(1)第（6）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）；
(2)根据上面的发现我们可以猜想：__________（用含的代数式表示）；根据你的发现计算：．
【答案】(1)42(2)；
【分析】（1）从已知入手，找到数据和个数之间的关系．
（2）通过多个情况，找到规律．
【详解】（1）解：第（6）个图形中有，
故答案为： 42；
（2）解：，
，
故答案为： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是图形的规律探索问题，掌握数据与个数之间的关系是解题关键．
5．观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题：

(1)尝试：第5个图形可以表示的等式是 ；
(2)概括：＝ ；
(3)拓展应用：求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）根据所给图形的数量关系写出即可；
（2）根据前面的规律总结出即可；
（3）利用总结出的规律将原式变形，再计算即可．
【详解】（1）结合图形与等式，可以发现
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：
所以，第5个图形可以表示的等式是，即．
故答案为：
（2）由（1）可得：
．
故答案为：
（3）
．
【点睛】本题考查图形的变化规律，根据所给的图象，利用数形结合的思想总结出存在的规律是解题的关键．
6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 ，，， 这样的数称为“三角形数”，而把 ，，， 这样的数称为“正方形数”．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)下图反映了任何一个三角形数是如何得到的，认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式；
① ，
② ，
③ ，
④ ．

(2)通过猜想，写出（）中与第八个点阵相对应的等式 ；
(3)从下图中可以发现，任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．结合（）观察下列点阵图，并在⑤看面的横线上写出相应的等式；
① ，
② ，
③ ，
④ ，
⑤ ．

(4)通过猜想，写出（）中与第 个点阵相对应的等式 ；
(5)判断 是不是正方形数，如果不是，说明理由；如果是， 可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和？
【答案】(1)10(2)36(3)(4)(5)可以看作是 120，136 这两个相邻的三角形数的和
【分析】（1）根据前面所列式子的规则进行列式即可．
（2）参照前面“三角形数”所列式子进行列式即可．
（3）参照前面所列式子进行列式．
（4）找出规律，列出代数式即可．
（5）把256分成136和120，列出式子．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
（5）解：∵，
∴256 是正方形数，
而，
，
∴ 可以看作是 120，136 这两个相邻的三角形数的和．
【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是读懂题意并找出规律列出代数式．
7．【阿题提出】
求的值．（其中是正整数）
为解决上面的数学问题，我们可以运用数形结合的思想方法，借助图1所示的三角形图案，把数量关系和儿何图形巧妙地结合起来进行探究，即用“由数思形，以形助数”的方法解决代数问题．

小红同学思考过程如下：
①令，于是这个三角形图案即为图2．将图2倒过来（第1层变为第7层）拼摆到图2的右边，拼成平行四边形图案（由？层小圆圈组成），那么这个平行四边形图案中小圆圈的总个数的一半就是图2中小圆圈的总个数；
②将①中特殊化的方法，迁移到图1中，将图1倒过来（第1层变为第层）拼摆到图1的右边，转化为平行四边形图案（由层小圆圈组成），再利用拼摆的平行四边形图案中小圆圈的总个数，求出的值．
【问题解决】
（1）①请将小红在图2中拼摆的平行四边形图案补充完整（利用图2补充即可）；
②小红将图1转化为平行四边形图案后，这个平行四边形图案每层有__________个小圆圈，图案中小圆圈共有__________个，则__________；
【模型构建】
（2）请你用所学过的几何图形，构造一个与图1不同的几何图形，将所求算式“”的数量关系与构造的几何图形巧妙地结合起来：（要求只画出构造的几何图形，说明你所画的图形与算式之间有怎样的联系）
【模型应用】
（3）如图3，某客运公司有一条往返于两地的长途客运线路，途中要停靠三个车站，那么该条线路上需要制定__________种不同的票价：如果车票上起点不同为一种票面，那么这趟客运线路有__________种不同的车票？
【思维拓展】
（4）受小红的思路启发，小明将算式与一个本学期学习的几何图形建立数与形之间的联系，请你画出这个几何图形．
【答案】（1）①见解析，②，，；（2）见解析；（3）10 ， 20；（4）见解析
【分析】（1）①根据题意画出图即可；②由图可得这个平行四边形图案每层有个小圆圈，总共有层，从而得到图案中小圆圈的个数，再根据三角形的小圆圈个数是平行四边形小圆圈个数的一半即可得到答案；
（2）根据线段的总条数或角的总个数即可设计出方案；
（3）由（1）中的公式进行计算即可得到答案；
（4）根据多变形的对角线的条数公式即可得到答案．
【详解】解：（1）① 根据题意画出图如图所示：

②由图可得：
小红将图1转化为平行四边形图案后，这个平行四边形图案每层有个小圆圈，图案中小圆圈共有个，
三角形的小圆圈个数是平行四边形小圆圈个数的一半，
则，
故答案为：，，；
（2）答案不唯一，
方法1：如图所示，点在线段上，
则线段上线段的总条数对应算式“”；

方法2：如图所示，射线在内，
则图中角的总个数对应算式“”；

（3）根据题意得，共有4个站点需要停靠，
由（1）中的公式可得：
该条线路上需要制定的不同的票价的总数为：种，
如果车票上起点不同为一种票面，那么这趟客运线路有种不同的车票，
故答案为：10，20；
（4）如图所示，五边形对角线的总条数与算式之间建立数与形的联系，

【点睛】本题主要考查了图形规律类探索，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．
8．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．
第（1）个图形中有1个正方形；
第（2）个图形有1+3＝4个小正方形；
第（3）个图形有1+3+5＝9个小正方形；
第（4）个图形有1+3+5+7＝16小正方形；
……
(1)根据上面的发现我们可以猜想：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝______（用含n的代数式表示）；
(2)请根据你的发现计算：
①1+3+5+7+…+99；
②101+103+105+…+199．
【答案】(1)n2
(2)①1+3+5+7+…+99=2500；②101+103+105+…+199=7500
【分析】（1）观察图形的变化可得规律，根据发现的规律即可猜想1+3+5+7+…+（2n-1）的值；
（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据（1）中的规律和①的结果，即可求得101+103+105+…+199的值．
【详解】（1）解：∵第（1）个图形中有1个正方形；
第（2）个图形有1+3＝4个小正方形；
第（3）个图形有1+3+5＝9个小正方形；
第（4）个图形有1+3+5+7＝16小正方形；
……
∴1+3+5+7+…+（2n﹣1）
＝（）2
＝n2；
故答案为：n2；
（2）解：①1+3+5+7+…+99
＝（）2
＝502
＝2500；
②∵1+3+5+7+…+199
＝（）2
＝10000，
∴101+103+105+…+199
＝10000﹣2500
＝7500．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
9．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）注意观察已知条件中等式的被减数、减数、差的分子分母与序号之间的关系，从而求出第6个等式；
（2）第n个式子即式子的序号为n，根据被减数、减数、差的分子与分母与序号之间的关系，用含n的式子把被减数、减数、差表示出来即可．
【详解】（1）解：由已知的五个等式可以看出，
被减数的分子是2保持不变，分母比等式的序号大1；
∴第6个等式的被减数为，
减数的分子是1保持不变，分母与等式的序号相同；
∴第6个等式的减数为，
差的分子恰好是被减数分母与分子的差，差的分母是被减数与减数的分母的积，
∴第6个等式的差为．
∴第6个等式为：．
故答案为：．
（2）解：．理由如下：
第n个式子即等式的序号为n，
∵被减数、减数的分子都保持不变，分母与等式的序号分别大1、相等；
∴第n个式子等号的左边为：．
∵差的分子是被减数分母与分子的差，差的分母是被减数与减数分母的积．
∴第n个式子等号的右边为：．
∴第n个等式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据已知等式找规律的问题，解题的关键是找到已知等式中有关数值与等式序号之间的关系，把有关数据用含序号的式子表示出来．
10．将正方形（如图1）作如下划分：
第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；
第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形；
(1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形；
(2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程；
(3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由；
(4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧．
计算．（直接写出答案即可）
【答案】(1)
(2)
(3)不能；理由见解析
(4)
【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，一元一次方程的应用，掌握从特殊到一般的探究规律的方法是解答本题的关键．
（1）探究每次划分所得正方形个数的规律，即可得到答案；
（2）利用第（1）题得到的规律列方程求解，即可得到答案；
（3）利用第（1）题得到的规律列方程求解，可判断是否符合题意，即可得出答案；
（4）由题干的划分方法得到启发，作类似的分割，利用数形结合的思想，计算每次分割后左上角正方形的面积和剩余部分图形的面积，即可从所得规律中得出答案．
【详解】（1）解：第一次划分可得个正方形，第二次划分可得个正方形，第三次划分可得个正方形，
第次划分可得个正方形，
第次划分可得正方形：个；
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
第次划分后能有个正方形；
（3）解：不能，
，
解得：，
不是整数，不合题意，
不能将正方形划分成有个正方形的图形；
（4）解：由题意，我们也将正方形进行如上相同得分割，
那么第一次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第二次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第三次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，
所以第次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，
．
11．现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为：将相邻的两个数作差再取绝对值．图1是小帆两次操作的示意图：
(1)图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全；
(2)在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0，我们就称其进入了“稳定状态”．请将1，3，5，7以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；
(3)这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上．如果通过三次操作进入“稳定状态”，所有满足条件的值为______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】本题主要考查了实数的运算，代数式的运算，含绝对值的方程，熟练掌握题意是解题的关键．
（1）根据“相邻的两个数作差再取绝对值”进行计算即可；
（2）根据操作规定“相邻的两个数作差再取绝对值”和“稳定状态”的定义即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组即可．
【详解】（1）解：根据“相邻的两个数作差再取绝对值”可得
，，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：依题意得：
，
解得或或，
，
或．
12．如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖；以此递推．

①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖．
②第n层中含有______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
【应用】该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
【答案】①6，；②；应用：铺设这样的图案，需要块，理由见解析．
【分析】①根据图形找到规律每层正方形都是6个，正三角形第一层6个，每层逐渐增加2倍直接求解即可得到答案；
②根据规律直接求解即可得到答案；
应用：根据正方形得到层数，结合规律求解即可得到答案；
【详解】解：①由图形可得，每层正方形都是6个，正三角形第一层6个，每层逐渐增加2倍，
第3层中的三角形个数为：，
故答案为：6，；
②由图形规律可得，第n层中含有正三角形地板砖为：，
故答案为：；
应用：铺设这样的图案，需要块；
理由：因为（层），
则块正方形地板砖可以铺设这样的图案层，
∴铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：，
则需要三角形地板砖数量为（块）；
【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到规律每层正方形都是6个，正三角形第一层6个，每层逐渐增加2倍．
13．按如下规律摆放五角星：
(1)填写表格：
(2)请用含n的代数式表示出第n个图案中五角星的个数；
(3)求第200个图案中五角星的个数．
【答案】(1)10,13
(2)3n+1
(3)601
【分析】（）观察图形规律数出个数即可；
（2）把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式为3n+1；
（3）将n＝20代入3n+1解答即可；
【详解】（1）解：观察图形规律：
第一个图形有4个五角星，
第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+3＝7个五角星，
第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+3＝10个五角星，
故答案为：10，13；
（2）解：观察图形规律：
第一个图形有4个五角星，
第二个图形比第一个图形多3个五角星，即有4+3＝7个五角星，
第三个图形比第二个图形多3个五角星，即有4+3+3＝10个五角星，
第四个图形比第三个图形多3个五角星，即有4+3+3+3＝13个五角星，
…………
以此类推，第n个图形中的五角星有4+3（n﹣1）＝（3n+1）个五角星，
（3）解：将n＝200代入3n+1中，得3×200+1＝601（个）．
【点睛】本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
14．计算2021个连续自然数1、2、3、……、2019、2020、2021的和，可以用下列方法：
先把以上这列数写成2021、2020、……、3、2、1，再把这两列数的第一项和第一项相加、第二项和第二项相加、第三项和第三项相加、……倒数第三项和倒数第三项相加、倒数第二项和倒数第二项相加、倒数第一项和倒数第一项相加，可以得到以下解法：
解：
所以
通过阅读以上解法，计算下列各题（结果用含有的代数式表示）：
(1)求连续自然数1、2、3、……、的和；
(2)求连续奇数1、3、5、……、的和．
【答案】(1)n（n+1）
(2)（n+1）2
【分析】（1）根据题目中的方法进行求解即可；
（2）仿照题目中的方法进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
1+2+3+…+（n-2）+（n-1）+n=n（n+1）；
（2）1+3+5+…+（2n+1）
=×（1+2n+1）（n+1）
=（n+1）2．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，列代数式，解答的关键是总结出存在的规律．
15．探究性问题：
第一题：第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”（如图1）元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案，由国际著名平面设计大师、荷兰艾因霍芬设计学院院长托马斯设计完成（如图2）．若七巧板的总面积为am2，求这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和．
第二题：
在数学活动中，小明为了求+……+的值（结果用含n的式子表示）．设计了如图1所示的几何图形．
（1）利用这个几何图形，求出+……+的值为 ；
（2）利用图2，再设计一个能求+……+的值的几何图形．
【答案】第一题：；第二题：（1）；（2）画图见解析
【分析】第一题：根据七巧板的特点可得：四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，四边形是正方形，设 而平行四边形中上的高为 从而可得答案；
第二题：（1）代数式的值可以看成正方形面积减去最后一个图形面积的一半．
（2）模仿（1），画出图形即可.
【详解】解：第一题：根据七巧板的特点可得：四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，四边形是正方形，
七巧板的总面积为am2，

设
根据七巧板的特点可得：平行四边形中上的高为
所以：这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和


而，

即这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和为
第二题：（1）由图形特点可得：
+……+
（2）如图，
根据图形特点可得：+……+
故所画图形符合题意.
【点睛】本题考查规律型：图形变化类，七巧板等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
16．将长为1，宽为a的长方形纸片（＜a＜1）如图①那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）
（1）第一次操作后，剩下的长方形的长为 ，宽为 （用含a的代数式表示）．
（2）第二次操作后，剩下的长方形的面积是 ．（列出代数式，不需化简）
（3）假如a＝0.6，第 次操作后，剩下的长方形恰好是正方形．
【答案】（1）a；1−a（2）（1−a）（2a−1）（3）三
【分析】（1）根据所给的图形可以看出每一次操作时所得正方形的边长都等于原长方形的宽，再根据长为1，宽为a的长方形即可得出剩下的长方形的长和宽；
（2）再根据（1）所得出的原理，得出第二次操作时正方形的边长为1−a，即可求出第二次操作以后剩下的长方形的两边的长，再根据面积公式即可得出答案；
（3）分别求出操作后的长与宽，即可判断．
【详解】（1）∵长为1，宽为a的长方形纸片（＜a＜1），
∴第一次操作后剩下的长方形的长为a，宽为1−a．
故答案为：a，1−a；
（2）∵第二次操作时正方形的边长为1−a，第二次操作以后剩下的长方形的两边分别为1−a，2a−1，
∴剩下的长方形的面积是（1−a）（2a−1）；
故答案为：（1−a）（2a−1）；
（3）长为1，宽为0.6的长方形纸片，
∴第一次操作后剩下的长方形的长为0.6，宽为1−0.6=0.4．
第二次操作后剩下的长方形的长为0.4，宽为0.6−0.4=0.2．
第三次操作后剩下的长方形的长为0.2，宽为0.4−0.2=0.2，故此时为正方形；
故答案为：三．
【点睛】本题考查了列代数式的应用，解题的关键是分别求出每次操作后剩下的长方形的两边的长度．
17．分观察下列各式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
请回答下列各题：
（1）按以上规律列出第个等式： ；
（2）用含的式子表示第个等式（为正整数）： ．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可；
（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的，由此得出答案即可．
【详解】解：（1）由观察知，左边：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1，
右边：这两个奇数的倒数差的一半，
∴第5个式子是：；
故答案为：；×；
（2）由题意可得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：连续奇数乘积的倒数等于这两个奇数的倒数差的一半．
图案序号
1
2
3
4
…
五角星个数
4
7
_________
_______
…
图案序号
1
2
3
4
…
五角星个数
4
7
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…