人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：绝对值相关问题 压轴题练习题汇编（含答案）

这是一份人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：绝对值相关问题 压轴题练习题汇编（含答案），共31页。试卷主要包含了数学实验室，综合与实践，操作发现，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
1．【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点表示的数分别为，则_______；
（2）若，则_______；，则_______
【应用】（3）已知a为常数，若存在最小值8，求a的值；
（4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由．
2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】。
【提出问题】两个有理数满足同号，求的值．
【解决问题】解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数．
①若都是正数，即，有则；
②若都是负数，即，有，，，所以的值为或−2．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)两个有理数满足异号，求的值；
(2)已知，，且，求的值．
3．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为AB，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____．
(2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____．
(3)当是_____时，代数式．
(4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程）
4．可理解为数轴上表示a所对应的点与b所对应的点之间的距离；
如可理解为数轴上表示6所对应的点与2所对应的点之间的距离；
可以看作，可理解为数轴上表示6所对应的点与所对应的点之间的距离；
【探索】回答下列问题：
(1)可理解为数轴上表示x所对应的点与______所对应的点之间的距离．
(2)若，则数______．
(3)式子有最小值吗？若有，直接写出最小值及符合条件的整数x；如果没有，说明理由．
(4)当______时，式子有最小值，最小值为______．
5．综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为AB，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
（）数轴上表示和两点之间的距离是_______；数轴上表示和的两点之间的距离是_______；
【独立思考】：
（）数轴上表示和−2的两点之间的距离表示为_______；
（）试用数轴探究：当时的值为_______．
【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：
（）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？
6．特殊与一般是重要的数学方法，当我们遇到复杂问题时，可以通过特殊情况下的分析尝试，积累经验再进行一般化的研究．
(1)：若，则的值确定吗？若确定，求出确定的值；若不确定，说明理由；
特例分析：当时，__________；当时，__________；
一般化研究：若，则__________；
(2)：若，，求的值；
(3)：若，且，，，……，，这2024个数中有个正数，则的值为__________（用含的式子表示）．
7．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
8．【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．
（1）已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，那么A、B两点的距离为 ；
【问题探究】为求代数式的最小值，可以把看作数轴上的分别表示的数为x和的距离，看作数轴上的分别表示的数为x和3的距离，并进行以下讨论：
当x在和3中间时，；
当x在-1左边时有，；
当x在3右边时也有；
综上所述，代数式最小值为4；
（2）的最小值为 ；
【方法应用】：（3）已知，则 ；
【迁移应用】：（4）若m，n为整数，且m，n满足，则当 ， ，的最大值为 ．
9．操作发现:操作一：如图1，已知点A、M所表示的数分别为、1，将点A绕点M旋转得到点B，此时点B所表示的数为4，我们称点B是点A关于点M的映射点；
记作：或；
操作二：如图2，已知点M和线段，将点A、M绕同一点旋转，使点A和点B重合，此时点M所对应的点用N表示，我们称点N是点M关于线段的映射点；
记作：；如：；
(1)利用图3、图4，直接填空：______；______；
(2)若A、B两点所表示的数分别是、，；求点C所表示的数；（用含a、b的代数式表示）
(3)点A表示的数为a，点B与点A的距离为4，点C是数轴上一动点，且，；
①点A在运动过程中，D、E两点之间的距离是否为定值，如果是，请直接写出这个值，如果不是，请求出它的取值范围；
②当点C表示的数是时，B、D两点之间距离刚好为1，若点B在点A右侧，求a的值．
10．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．
如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数，
(1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________．
(2)根据几何意义，解决下列问题：若点在线段上，则________；
若，求点表示的有理数；
求的最小值以及此时的值（直接写出答案即可）．
11．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示）
（）当时，则的值为_____；
（）当时，则的值为______；
（）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____．
应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
12．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，．
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边；
②如图3，点A、B都在原点的左边；
③如图4，点A、B在原点的两边；
综上，数轴上A、B两点之间的距离．
(1)回答下列问题：①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离是 ．
(2)探索规律：式子有最 （填“大”或“小”）值是 ．
(3)规律应用:工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米．
(4)知识迁移:式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由．
13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数轴上数和点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，如图，请同学们解决下面有关数轴的问题：
(1)若将数轴折叠，使得1表示的点与表示点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为（M在的左侧），则M、N两点表示的数分别是：______，______．
(2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7．
①若表示一个有理数，则的最小值=_______．
②若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是____．
③当______时，取最小值．
(3)①数轴上点表示的数分别为，动点P从B出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与A的距离是2个单位长度．
②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从A出发，沿着数轴反方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点B的距离是点P到点A距离的2倍？
14．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”．
小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．”
请你根据他们的解题解决下面的问题：
(1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______．
(2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程．
(3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值．
15．点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)和2之间的距离为__________；
(2)若x与2的距离为3，则x的值为__________；
(3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________；
(4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________．
人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：绝对值相关问题 压轴题练习题汇编·教师版
1．【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）点表示的数分别为，则_______；
（2）若，则_______；，则_______
【应用】（3）已知a为常数，若存在最小值8，求a的值；
（4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由．
【答案】（1）9；（2）或；或；（3）或；（4）当时，有最小值，最小值为2500
【分析】此题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键：
（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据绝对值几何意义计算即可；
（3）根据绝对值几何意义列方程解答；
（4）利用数轴分析出几何意义，即可得到答案
【详解】解：（1），
故答案为：9；
（2）
∴x到的距离为3，
∴，，
∵，
∴x到和x到5的距离和为10，
当时，，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，解得
故答案为：或；或；
（3）表示数轴上表示数x的点与1的距离，与的距离，与a的距离的和，
∵存在最小值8，
∴，
①若，则当时，存在最小值8，
∴，
解得（舍去）或；
②若，则当时，存在最小值8，
∴，无解，舍去；
③若，则当时，存在最小值8，
∴，
解得（舍去）或；
综上，a的值为6或；
（4）∵表示数轴上表示a的点与1，与2，与3，，与100的距离和，
当时，有最小值为，
当时，有最小值为，
当时，有最小值为；
，
当时，有最小值为，
∴当时，有最小值，
最小值为
2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】
【提出问题】两个有理数满足同号，求的值．
【解决问题】
解：由同号，可知有两种可能：①当都正数；②当都是负数．
①若都是正数，即，有则；
②若都是负数，即，有，，，所以的值为或−2．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)两个有理数满足异号，求的值；
(2)已知，，且，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（）由异号分种情况讨论：①；②，分别求解即可；
（）利用绝对值的代数意义，以及小于，求出与的值，再代入代数式计算即可求解；
本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵异号，
∴分种情况讨论：
①，则有，，
∴；
②，则有，，
∴；
综上，的值为；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，，
当，时，；
当，时，；
综上，的值为或．
3．数学实验室：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为AB，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上数到原点的距离为，可能在原点左边个单位，此时的值为_____，也可能在原点右边个单位，此时的值为_____．
(2)与之间的距离表示为_____，结合上面的理解，若，则____．
(3)当是_____时，代数式．
(4)若点表示的数，点与点的距离是，且点在点的右侧，动点分别从同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程）
【答案】(1)，；
(2)，或；
(3)0或；
(4)运动或秒后，．
【分析】（）根据绝对值的定义即可求解；
（）去绝对值符号解方程即可；
（）分当x