2023-2024学年河南省新乡市长垣一中八年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市长垣一中八年级（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x≠−2
2.等式 xx−3= x x−3成立的条件是( )
A. x≠3B. x≥0C. x≥0且x≠3D. x>3
3.如图，数轴上点A所表示的实数是( )
A. 2B. −1C. 2−1D. −1− 2
4.下列二次根式：① 12；② 22；③ 23；④ 27中，能与 3合并的是( )
A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④
5.在△ABC中，下列条件：①∠A=∠C−∠B；②a2=b2−c2；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a=2，b=2，c=2 2.能判断△ABC是直角三角形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,3)，则CE的长是( )
A. 3
B. 2 2
C. 10
D. 4
7.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是( )
A. 20 3B. 25 2
C. 20D. 25
8.《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为( )
A. 82+x2=x2B. 82+(x−3)2=x2
C. 82+x2=(x−3)2D. x2+(x−3)2=82
9.如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为AD的中点．若AB=6，BC=8，则△BOE的周长为( )
A. 10
B. 8+2 5
C. 8+2 13
D. 14
10.将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( )
A. 2cm2B. 4cm2C. 6cm2D. 8cm2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算：(2− 5)2023(2+ 5)2024= ______．
12.若y= x−3+ 3−x+2，则xy=______．
13.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C坐标是(6,8)，则顶点B的坐标是______．
14.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为______．
15.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则AD=_____米．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算．
(1) 18−4 12+ 24÷ 3；
(2)( 5− 2)( 5+ 2)−( 3−1)2．
17.(本小题9分)
如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：
(1)△ABF≌△CDE；
(2)四边形DEBF是平行四边形．
18.(本小题9分)
图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准．
19.(本小题9分)
已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S= p(p−a)(p−b)(p−c)，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p=a+b+c2．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦−秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
(1)在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面积；
(2)计算(1)中△ABC的BC边上的高．
20.(本小题9分)
小区内有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.6m，将它往前推送1.8m(水平距离BC=1.8m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)要使四边形ADCE是正方形，则△ABC需要满足的条件是______．
22.(本小题10分)
在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
23.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB= 5，BD=2，求OE的长；
(3)在(2)的条件下，已知点M是线段AC上一点，且DM= 2，则CM的长为______．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.C
6.C
7.D
8.B
9.C
10.B
11.−2− 5
12.9
13.(16,8)
14.41
15.1.5
16.解：(1)原式=3 2−2 2+2 2
=3 2；
(2)原式=5−2−3+2 3−1
=2 3−1．
17.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠BAF=∠DCE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°，
∴△ABF≌△CDE(AAS)；
(2)∵△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴BF//DE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
18.解：在Rt△ABD中，BD2=AD2−AB2=92−62=45，
在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∴BC⊥CD．
故该车符合安全标准．
19.解：(1)∵AB=5，BC=6，CA=7，
∴a=6，b=7，c=5，p=a+b+c2=9，
∴△ABC的面积S= 9×(9−6)×(9−7)×(9−5)=6 6．
(2)设BC边上的高为ℎ，
∵S△ABC=12×底边长×高=12×6×ℎ=6 6，
解得ℎ=2 6．
∴BC边上的高是2 6．
20.解：设秋千的绳索长为x m，根据题意可得：
AB=AD=x m，CD=CE−DE=BF−DE=1.2−0.6=0.6(m)，
∴AC=(x−0.6)m，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，
(x−0.6)2+1.82=x2，
解得：x=3，
∴绳索AD的长度是3米．
21.∠BAC=90°
【解析】(1)证明：∵在△ABC中，AB=AC，点D为边BC的中点，
∴BD=DC，∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE//BD且AE=BD，
∴AE//DC且AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2)解：当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形；
理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
∴矩形ADCE是正方形．
22.解：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=BC−BD=14−x，
在△ABD中，由勾股定理得：AD2=AB2−BD2=152−x2，
在△ACD中，由勾股定理得：AD2=AC2−CD2=132−(14−x)2，
所以152−x2=132−(14−x)2，
解之得：x=9，
所以AD2=AB2−BD2=152−92=144
所以AD=12，
所以S△ABC=12BC⋅AD=12×14×12=84．
23.(1)证明：∵AB//DC，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=12BD=1，
在Rt△AOB中，AB= 5，OB=1，
∴OA= AB2−OB2= 5−1=2，
∴OE=OA=2．
(3)解：如图，
在(2)的条件下，OD=12BD=1，OA=OC=2
∵DM= 2，
∴OM= DM2−OM2= ( 2)2−12=1，
∴CM=OA+OM=2+1=3CM=OA−OM=2−1=1