2024-2025学年湖南省常德一中高三（上）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省常德一中高三（上）第二次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x||x−1|<2,x∈N∗}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {−1,0,1,2}D. {2,3}
2.已知角α的终边与单位圆交于点P(−12,y)，则csα=( )
A. − 33B. −12C. − 32D. ±12
3.设a，b∈R，则“a2=b2”是“2a=2b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知曲线y=x24−3ln x的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )
A. 3B. 2C. 1D. 12
5.若3sinα+csα=0，则1cs2α+sin2α的值为( )
A. 103B. 53C. 23D. −2
6.已知实数a>0，且满足不等式lg3(3a+2)>lg3(4a+1)，若ax−ayA. x+y>0B. x+y>1C. x−y>0D. x−y>1
7.已知函数f(x)=x3−3x2，则k=−20232025f(k)=( )
A. −8098B. −8096C. 0D. 8100
8.已知函数f(x)= 5csπxa，若存在f(x)的极值点x0，满足x02+[f(x0)]2A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−∞,−3)⋃(3,+∞)
C. (−∞,− 5)⋃( 5,+∞)D. (−∞,− 3)⋃( 3,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子结果为 3的是( )
①tan25°+tan35°+ 3tan25°tan35°； ②2(sin35°cs25°+cs35°cs65°)；
③1+tan15°1−tan15∘； ④1−tan15°1+tan15∘．
A. ①B. ②C. ③D. ④
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. φ=−π3
B. f(x)≤f(−π12)
C. f(x)在[π,4π3]上单调递增
D. f(x)在[0,2π]上有且仅有四个零点
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g′(x)=2，f(x)−g′(4−x)=2，若g(x)为偶函数，则下列结论一定成立的是( )
A. f(4)=2B. g′(2)=0C. f(−1)=f(−3)D. f(1)+f(3)=4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若扇形的圆心角为150°，半径为3，则该扇形的面积为______．
13.曲线y=ex在x=0处的切线恰好是曲线y=ln(x+a)的切线，则实数a= ______．
14.若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x)，对任意的x1∈A，存在x2∈B，使得f(x1)+g(x2)=t(t为常数)，则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数f(x)=2cs(2x+π6)(x∈[π12,2π3])，g(x)=cs2x−mcsx+5(x∈R)，且f(x)与g(x)具有关系P(3)，则m的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x−1.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足f(A)=1．
(1)求A的值；
(2)若b=1，求2a2+bc的取值范围．
16.(本小题15分)
已知在多面体ABCDE中，DE//AB，AC⊥BC，BC=2AC=4，AB=2DE，DA=DC且平面DAC⊥平面ABC．
(Ⅰ)设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；
(Ⅱ)若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求二面角B−AD−C的余弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx(a∈R)．
(1)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；
(2)若f(x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知两点A(−1,0)、B(1,0)，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3，动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F(2,0)作直线l交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2．
①证明：k1k2为定值；
②若点Q关于x轴的对称点为点H，探究：是否存在直线l，使得△PFH的面积为92，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnxx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y−3=0．
(Ⅰ)求a、b的值；
(Ⅱ)如果当x>0，且x≠1时，f(x)>lnxx−1+kx，求k的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.A
6.C
7.A
8.C
9.ABC
10.BD
11.ABD
12.
13.2
14.(−∞,−4]∪[4,+∞)
15.解：(1)f(x)=2 3sinxcsx+2cs2x−1= 3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
因为f(A)=2sin(2A+π6)=1，所以sin(2A+π6)=12，
又因为△ABC为锐角三角形，所以0则2A+π6=5π6，解得A=π3；
(2)由(1)知，锐角△ABC中，A=π3，所以B=2π3−C，
所以0又因为b=1，则由正弦定理可得：c=sinCsinBb=sinCsin(2π3−C)=sinC 32csC+12sinC=1 32tanC+12，
又因为π6 33，则0<1tanC< 3，
所以12< 32tanC+12<2，所以12<1 32tanC+12<2，即12由b=1，A=π3，可得a2=1+c2−2c⋅12=c2−c+1，
则2a2+bc=2c2−c+2=2(c−14)2+158，
又因为12故2a2+bc的取值范围为(2,8)．
16.解：(Ⅰ)证明：取AC的中点O，连接EF，OF，
由在△DAC中DA=DC，所以DO⊥AC，
由平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，得DO⊥平面ABC，
因为OF/​/AB，且AB=2OF，
又DE/​/AB，AB=2DE，所以OF/​/DE，且OF=DE，
∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF//DO，
∴EF⊥平面ABC；
(Ⅱ)解：由DO⊥平面ABC，AC⊥BC，
以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与BC平行的直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A(1,0,0)，C(−1,0,0)，B(−1,4,0)，
由EF⊥平面ABC，所以直线BE与平面ABC所成的角为∠EBF=60°，
所以DO=EF=BFtan60°=2 3，∴D(0,0,2 3)，
取平面ADC的法向量m=(0,1,0)，
设平面ADB的法向量n=(x,y,z)，AB=(−2,4,0)，AD=(−1,0,2 3)，
由n⋅AB=0n⋅AD=0，得−2x+4y=0−x+2 3z=0，故n=(2 3, 3,1)，
∴cs= 31⋅ 12+3+1= 34，
故二面角B−AD−C的余弦值为 34．
17.解：(1)因为a=−1，f(x)=−x−1x，
所以f′(x)=−1+1x2，
因此f′(e)=1e2−1=1−e2e2，f(e)=−e−1e，
所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y+e+1e=1−e2e2(x−e)，
即y=1−e2e2x−2e；
(2)因为f(x)=ax−1x−(a+1)lnx，
所以f′(x)=ax2−(a+1)x+1x2=(ax−1)(x−1)x2=
又因为f(x)既存在极大值，又存在极小值，则a≠0，
所以f′(x)=a(x−1a)(x−1)x2，
由题意得，1a>01a≠1，解得a>0且a≠1，
所以实数a的取值范围为{a|a>0且a≠1}．
18.解：(1)设动点M(x,y)，则kMA=yx+1，kMB=yx−1，
由题意得yx+1⋅yx−1=3，即x2−y23=1(y≠0)，
故曲线C的方程为x2−y23=1(y≠0)；
(2)由(1)得曲线C的方程为x2−y23=1(y≠0)，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，可设直线l的方程为x=my+2，
联立直线的方程与曲线C的方程得x=my+2x2−y23=1，整理得(3m2−1)y2+12my+9=0，
则Δ>0y1+y2=−12m3m2−1y1⋅y2=93m2−1<0，则m2<13且my1⋅y2=−34(y1+y2)，
①证明：k1k2=y1x1+1y2x2+1=y1(my2+1)y2(my1+3)=−34(y1+y2)+y1−34(y1+y2)+3y2=14y1−34y2−34y1+94y2=−13，
故k1k2为定值−13；
②∵QH⊥x轴，∴H(x2,−y2)，由两点式方程可得PH的直线方程为y+y2=y1+y2x1−x2(x−x2)，
∴(x1−x2)y+x1y2+x2y1=(y1+y2)x，将x1=my1+2，x2=my2+2代入可得m(y1−y2)y+2my1y2+2(y1+y2)=(y1+y2)x，
将my1⋅y2=−34(y1+y2)代入上式得m(y1−y2)y+12(y1+y2)=(y1+y2)x，
故直线PH过定点(12,0)，
∴S△PHF=12×32×||y1|−|y2||=34|y1+y2|=34|12m3m2−1|=92，
∴m2=19或m2=1(不合题意，舍去)，解得m=±13
故存在直线l，使得△PFH的面积为92，
直线l的方程为3x+y−6=0或3x−y−6=0．
19.解：由题意f(1)=1，即切点坐标是(1,1)
(Ⅰ)f′(x)=a(x+1x−lnx)(x+1)2−bx2
由于直线x+2y−3=0的斜率为−12，且过点(1,1)，故f(1)=1f′(1)=−12
即b=1a2−b=−12解得a=1，b=1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=lnxx+1+1x，所以
f(x)−(lnxx−1+kx)=11−x2(2lnx+(k−1)(x2−1)x).
考虑函数ℎ(x)=2lnx+(k−1)(x2−1)x(x>0)，则
ℎ′(x)=(k−1)(x2+1)+2xx2．
(i)设k≤0，由ℎ′(x)=k(x2+1)− (x−1)2x2知，当x≠1时，ℎ′(x)<0.而ℎ(1)=0，故
当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，可得11−x2ℎ(x)>0；
当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，可得11−x2ℎ(x)>0
从而当x>0，且x≠1时，f(x)−(lnxx−1+kx)>0，即f(x)>lnxx−1+kx．
(ii)设00，故ℎ′(x)>0，而
ℎ(1)=0，故当x∈(1,11−k)时，ℎ(x)>0，可得11−x2ℎ(x)<0，与题设矛盾．
(iii)设k≥1.此时ℎ′(x)>0，而ℎ(1)=0，故当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>0，可得11−x2ℎ(x)<0，与题设矛盾．
综合得，k的取值范围为(−∞,0]．