2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间两点A(2,1,1)，B(3,2,1)，下列选项中的a与AB共线的是( )
A. a=(1,0,1)B. a=(2,1,1)C. a=(2,−2,0)D. a=(2,2,0)
2.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(1,1,n)，且a⋅b=3，则向量a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. π3或2π3D. π6或5π6
3.直线l1的方向向量v1=(1,0,−1)，直线l2的方向向量v2=(−2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 不能确定
4.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,1)，且ka+b与a互相垂直，则k=( )
A. 13B. 12C. −13D. −12
5.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量，点A(−1,2,1)在α内，则P(1,2,2)到α的距离为( )
A. 55B. 5C. 2 5D. 510
6.在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OB上，且OM=3MB，N为AC的中点，则NM=( )
A. −12a+34b−12cB. −12a+23b+12cC. 12a+34b+12cD. 12a−23b+12c
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B与平面BC1D1所成的角为( )
A. arctan 22
B. π6
C. π4
D. π3
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是( )
A. MN//平面ADD1A1
B. MN⊥AB
C. 直线MN与平面ABCD所成角为45°
D. 异面直线MN与DD1所成角为60°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，若|AB|=6且l1⊥l2，则x+y的值可以是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
10.已知空间三点A(−1,0,1)，B(−1,2,2)，C(−3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3B. AB//AC
C. |BC|=2 3D. cs=365
11.如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2.AB=AD=1，CF=87，则( )
A. BD⊥EC
B. BF//平面ADE
C. 平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为13
D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)，到直线l的距离为______．
13.已知A(0,1,1)，B(2,−1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和CD所成角的余弦值为______．
14.四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=1，AB=3，G是△ABC的重心，则PG与平面PAD所成角θ的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，a/​/b，b⊥c．
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)．
(1)求AB；
(2)求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A−PM−B的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD/​/平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为 427，求AD．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.B
5.B
6.A
7.B
8.D
9.AC
10.AC
11.BCD
12.3 22
13.5 2266
14. 1030
15.解：(1)∵向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，
且a/​/b，b⊥c，
∴x1=1y=2−23+y−2z=0，
解得x=−1，y=−1，z=1；
∴向量a=(−1,1,2)，b=(1,−1,−2)，c=(3,1,1)；
(2)∵向量(a+c)=(2,2,3)，(b+c)=(4,0,−1)，
∴(a+c)⋅(b+c)=2×4+2×0+3×(−1)=5，
|a+c|= 22+22+32= 17，
|b+c|= 42+02+(−1)2= 17；
∴(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为
csθ=(a+c)⋅(b+c)|a+c|×|b+c|=5 17× 17=517．
16.解：(1)由于空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，
故：|AB|= (0+2)2+(2−1)2+(3−6)2= 14．
(2)由已知条件得：AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，
故|AC|= 14；
所以csA=AB⋅AC|AB||AC|=12，所以A=π3，
故S△ABC=12|AB||AC|⋅sinA=7 32．
17.解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
如图所示；
则O(0,0,0)，A(0,−3,0)，B(4,2,0)，C(−4,2,0)，P(0,0,4)
(1)AP=(0,3,4)，BC=(−8,0,0)，
∴AP⋅BC=0×(−8)+3×0+4×0=0，
∴AP⊥BC，即AP⊥BC；
(2)∵M为AP上一点，且AM=3，
∴M(0,−65,125)，
∴AM=(0,95,125)，
BM=(−4,−165,125)，
CM=(4,−165,125)；
设平面BMC的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅BM=0n⋅CM=0，
即−4a−165b+125c=04a−165b+125c=0，
令b=1，则n=(0,1,43)；
设平面AMC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AM=0m⋅AN=0，
即95y+125z=04x−165y+125z=0，
令x=5，
则m=(5,4,−3)；
由n⋅m=0×5+1×4+43×(−3)=0，
得n⊥m；即平面AMC⊥平面BMC．
18.解：(1)连结BD，
因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则AM⊥PD，
又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，
又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ADB+∠DAM=90°，
又∠DAM+∠MAB=90°，
则有∠ADB=∠MAB，
所以Rt△DAB∽Rt△ABM，
则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC= 2；
(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A( 2,0,0)，B( 2,1,0)，M( 22,1,0)，P(0,0,1)，
所以AP=(− 2,0,1)，AM=(− 22,1,0)，BM=(− 22,0,0)，BP=(− 2,−1,1)，
设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即− 2x+z=0− 22x+y=0，
令x= 2，则y=1，z=2，故n=( 2,1,2)，
设平面BMP的法向量为m=(p,q,r)，
则有m⋅BM=0m⋅BP=0，即− 22p=0− 2p−q+r=0，
令q=1，则r=1，p=0，故m=(0,1,1)，
所以|cs|=|n⋅m||n||m|=3 7× 2=3 1414，
设二面角A−PM−B的平面角为α，
则sinα= 1−cs2α= 1−cs2= 1−(3 1414)2= 7014，
所以二面角A−PM−B的正弦值为 7014．
19.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，
因为AB= 3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，
于是AD/​/BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC．
所以AD/​/平面PBC．
(2)因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=a>0，则DC= 4−a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0, 4−a2,0)，P(a,0,2)，
设平面DCP的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，因为DC=0, 4−a2,0，DP=a,0,2，
所以由DC·n1=0DP·n1=0，即 4−a2⋅y1=0ax1+2z1=0，
可取n1=(2,0,−a)；
又AP=(0,0,2)，AC=(−a, 4−a2,0)，
设平面ACP的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，所以AP·n2=0AC·n2=0由2z2=0−ax2+ 4−a2y2=0,
取n2=( 4−a2,a,0)，
因为二面角A−CP−D的正弦值为 427，所以余弦值的绝对值为1 7．
所以由csn1,n2=1 7=n1⋅n2|n1|·n2=2 4−a22 4+a2，得a2=3，a= 3，
因此，AD= 3．