2024-2025学年海南省定安中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年海南省定安中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知z=1−i1+i，则|z−|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 5
2.在△ABC中，已知A=45°，B=30°，a=2，则b等于( )
A. 2B. 3C. 2D. 1
3.命题“∃x∈R，x2+1<0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+1≥0B. ∀x∈R，x2+1>0
C. ∃x∈R，x2+1>0D. ∃x∈R，x2+1≥0
4.某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多( )
A. 20B. 30C. 40D. 50
5.如图，ΔA′B′C′是水平放置△ABC的直观图，其中B′C′=A′C′=1，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，则△ABC的周长为( )
A. 1+ 2+ 3B. 4+2 2
C. 2+ 2+ 6D. 2+2 2+2 3
6.已知数据x1，x2，x3，⋯，x8的平均数x−=10，方差s12=10，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，⋯，3x8+2的平均数y−和方差s22分别为( )
A. y−=32,s22=90B. y−=32,s22=92C. y−=30,s22=90D. y−=30,s22=92
7.若对任意x>0，x3+5x2+4x≥ax2恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. a≥5B. 5≤a≤9C. a≤5D. a≤9
8.函数f(x)的定义域为[−3,4]，且在定义域内是增函数，若f(2m−1)−f(1−m)>0，则m的取值范围是( )
A. m>23B. m<23C. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. lg38lg35=lg85B. 3a2⋅ a3=a136
C. 若a+a−1=14，则a12+a−12=3D. (12)−lg27+ln(lne)=7
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤−3或x≥4}，则下列说法正确的是( )
A. a>0
B. 不等式bx+c>0的解集为{x|x<−4}
C. 不等式cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}
D. a+b+c>0
11.下列关于函数y=tan(−2x+π3)的说法正确的是( )
A. 在区间(−π3,−π12)上单调递减B. 最小正周期是π
C. 图象关于点(5π12,0)成中心对称D. 图象关于直线x=−π12成轴对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,1)，b=(1,m)，若a⊥(ma+b)，则m= ______．
13.函数y=ax−3+2(a>0且a≠1)的图像恒过定点 ．
14.已知某圆锥的底面半径为2，体积为43π，则该圆锥的母线长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知sinθ−2csθ=0．
(1)求tanθ的值；
(2)求4sinθ−2csθ5sinθ+3csθ的值．
16.(本小题15分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csC=2a−c2b．
(1)求角B的大小；
(2)若b=3，sinC= 33，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．
(1)求证：BA1//平面C1AD；
(2)求二面角A1−BC−A的正切值．
18.(本小题17分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
19.(本小题17分)
现定义“n维形态复数zn”：zn=csnθ+isinnθ，其中i为虚数单位，n∈N∗，θ≠0．
(1)当θ=π4时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sin(θ+π4)的值；
(3)若正整数m，n(m>1,n>2)满足zm=z1，zn=zm2，证明；存在有理数q，使得m=q⋅n+1−2q．
参考答案
1.A
2.A
3.A
4.A
5.C
6.A
7.D
8.C
9.BD
10.AC
11.AC
12.13
13.(3,3)
14. 5
15.解：(1)∵sinθ−2csθ=0，∴sinθ=2csθ，∴tanθ=2；
(2)原式=4tanθ−25tanθ+3=8−210+3=613．
16.解：(1)在△ABC中，csC=2a−c2b，
∴由正弦定理得csC=2sinA−sinC2sinB，∴2sinA=sinC+2sinBcsC，
又sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，∴sinC=2csBsinC，
∵C∈(0,π)，∴sinC≠0，∴csB=12，
∵B∈(0,π)，∴B=π3；
(2)在△ABC中，B=π3，b=3，sinC= 33，
∴由正弦定理得bsinB=csinC，∴c=bsinCsinB=2，
∴由余弦定理得csB=a2+4−94a=12，解得a=1+ 6(负值舍去)，
∴△ABC的面积为12acsinB=12×(1+ 6)×2× 32= 3+3 22．
17.(1)证明：设A1C∩AC1=O，则O是A1C中点，连接OD，
又∵D是BC中点，∴OD//A1B，
又∵BA1⊄平面C1AD，OD⊂平面C1AD，
∴A1B/​/平面C1AD；

(2)解：∵AB=AC，∴AD⊥BC，
AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴AA1⊥BC，同理AA1⊥AD，
AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，
∴BC⊥平面A1AD，而A1D⊂平面A1AD，故BC⊥A1D，
∴∠A1DA是二面角A1−BC−A的平面角，
在直角△AA1D中，AA1=4，AD=12BC=12 22+22= 2，
tan∠A1DA=A1AAD=4 2=2 2，
∴二面角A1−BC−A的正切值为2 2．
18.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
∴a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故z−=10×54+66×2010+20=62．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
s2=110+20[10×(54−62)2+10×7+20×(66−62)2+20×4]=37，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
19.证明：(1)当θ=π4时，z1=csπ4+isinπ4= 22+ 22i，
z2=csπ2+isinπ2=i，
z12=( 22+ 22i)2=12−12+i=i=z2；
解：(2)因为z2=cs2θ+isin2θ，z3=cs3θ+isin3θ，
则cs2θ=cs3θsin2θ=sin3θ，
因为θ≠0，
所以θ=2kπ，k∈Z，
故sin(θ+π4)=sinπ4= 22；
证明：(3)因为zm=z1，zn=zm2=z12=z2，
所以csmθ+isinmθ=csθ+isinθ，csnθ+isinnθ=(csmθ+isinmθ)2=cs2θ+isin2θ，
所以mθ=θ+2k1π，即θ=2k1πm−1，k1∈Z，
同理，nθ=2θ+2k2π，k2∈Z，
所以θ=2k2πn−2，k2∈Z，
所以2k1πm−1=2k2πn−2，k1∈Z，k2∈Z，
因为θ≠0，
所以k1k2≠0，m−1n−2=k1k2，即m=k1k2(n−2)+1=k1k2⋅n+1−2k1k2，k1∈Z，k2∈Z，
故存在有理数q=k1k2，使得m=q⋅n+1−2q．