2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省泉州五中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A. 1、2、2、3B. 1、2、3、4C. 1、2、2、4D. 3、5、9、13
2.4sin60°的值为( )
A. 3B. 1C. 32D. 2 3
3.若n是方程x2−x−2=0的一个根，则代数式n2−n的值是( )
A. −1B. 2C. −1或2D. −1与2
4.若两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，则这两个三角形的周长的比为( )
A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 不能确定
5.如图，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，则∠C等于( )
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
6.如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1： 3，则斜坡AB的长度为( )
A. 10m
B. 10 3m
C. 5m
D. 5 3m
7.如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2,0)，△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为( )
A. 18
B. 12
C. 24
D. 9
8.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为( )
A. 18
B.
C.
D.
9.自然数n满足(n2−2n−2)n2+47=(n2−2n−2)16n−16，这样的n的个数是( )
A. 2B. 1C. 3D. 4
10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是( )
A. 2 5
B. 5
C. 2 3
D. 92
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知ab=73，则a+ba−b= ______．
12.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE.若DE=2，则BC= ______．
13.20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE>AE.已知AB为2米，则线段BE的长为______米.
14.如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，线段BE、CD相交于点O，
若OD=2，则OC= ______．
15.在锐角三角形ABC中，2AB2=2AC2+BC2，则tanBtanC的值为______．
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且
AE=3，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应
点为B′，点M为线段AA′上一动点，则EM+ 55A′M的最小值为_____．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：| 3−1|+(2022−π)0+(12)−1−tan60°．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)x2−2x−4=0；
(2)(x−3)2=5(3−x)．
19.(本小题8分)
如图，中山路MN一侧有A，B两个送奶站，C为中山路上一供奶站，测得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠ACM=30°.小明从点C处出发，沿中山路MN向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离．
20.(本小题7分)
如图，四边形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E、F分别是AB、BC的中点，EF与BD相交于点M.求证：△EDM∽△FBM．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x−2=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2+x1x2=1，求m的值．
22.(本小题10分)
某商店经营一种成本为每千克40元的水产品，据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，设每件商品涨价x元，销售利润为y元．
(1)求y与x的函数表达式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)每千克水产品定价为多少元时，该商店每月获得最大利润？
23.(本小题10分)
阅读下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA=bsinB．
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在Rt△BCD中，CD=asinB
在Rt△ACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
∴asinA=bsinB
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB=csinC；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
24.(本小题13分)
风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保.如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上(坡比i=3：4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线)，坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°(点E，F，M，N在同一水平线上)．
(1)求叶片OA的长；
(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时(如图3)，求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．
(参考数据：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43， 3≈1.7，结果保留整数)
25.(本小题14分)
【问题情境】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，点D在边BC上，将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE(旋转角小于180°)，连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，连接AF．
【特例感知】
(1)如图1，当α=60°时，则AF与BE的数量关系为______；
【尝试探究】(2)如图2，写出AF与BE的数量关系(用含α的三角函数表示)，并说明理由；
【拓展应用】(3)如图4，当α=30°，且点B，E，F三点共线时，若BC=4 7，BD=15BC，请直接写出AF的长．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.C
10.A
11.52
12.4
13.( 5−1)
14.4
15.13
16.125
17.解：原式= 3−1+1+2− 3
=2．
18.解：(1)x2−2x−4=0，
∴x2−2x+1=5，
∴(x−1)2=5，
∴x−1=± 5，
解得：x1=1+ 5，x2=1− 5；
(2)(x−3)2=5(3−x)，
∴(x−3)2+5(x−3)=0，
∴(x−3)(x−3+5)=0，
∴(x−3)(x+2)=0，
∴x−3=0或x+2=0，
解得：x1=3，x2=−2；
19.解：∵AC2=64，BC2=225，AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
过点B作BD⊥MN于点D，则BD的长即为小明与B送奶站的最近距离，

∵∠ACM=30°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=60°．
在Rt△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠BCD=30°，
∴CD=12BC=152km，
∴BD= BC2−CD2=15 32km，
即小明与B送奶站的最近距离为15 32km．
20.证明：∵AB=2CD，E是AB的中点，
∴DC=EB，
又∵AB//CD，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴ED//BC，
∴∠EDB=∠FBM，
又∵∠DME=∠BMF，
∴△EDM∽△FBM．
21.(1)证明：∵Δ=[−(2m+1)]2−4×1×(−2)
=(2m+1)2+8>0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)解：由根与系数的关系得出：x1+x2=2m+1，x1x2=−2，
∵x1+x2+x1x2=1，
∴2m+1−2=1，
解得：m=1．
22.解：(1)由题意可得：y=(50+x−40)(500−10x)
=(10+x)(500−10x)
=−10x2+400x+5000；
(2)y=−10x2+400x+5000
=−10(x−20)2+9000，
∵−10<0，开口向下，
∴当x=20时，y有最大值，
∴50+20=70，
∴每千克水产品定价为70时，该商店每月获得最大利润．
23.(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，AD=csinB，
在Rt△ACD中，AD=bsinC，
∴csinB=bsinC，
∴bsinB=csinC；
(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC=67°，∠B=53°，
∴∠C=60°，
在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80× 32=40 3(m)，
又∵ACsinB=BCsin∠BAC，
即800.8=BC0.9，
∴BC=90m，
∴S△ABC=12×90×40 3=1800 3(m2).
24.解：(1)∵DE垂直于水平地面EF，
∴∠E=90°．
∵坡比i=3：4，坡面DF长10 m，
∴DE=6 m，EF=8 m．
∵MF=25 m，
∴ME=33 m．
由题意得：∠OME=53°，
∴OE=ME⋅tan53°≈33×43=44 m．
∵MN=23.5 m，
∴NE=ME+MN=56.5 m．
由题意得：∠N=30°，
∴AE=NE⋅tan30°≈32 m．
∴OA=OE−AE=44−32=12 m；
(2)作CM⊥OE于点M．

∴∠CMO=90°．
∵∠AOC=120°，∠AOE=90°，
∴∠COM=30°．
由题意得：OC=OA=12 m，
∴OM=OC⋅cs∠COM=12× 32=6 3 m．
∴ME=OE−OM=44−6 3≈34 m．
∴叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34 m．
25.(1)∵α=60°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵△FCE为等腰三角形，∠FCE=60°，
∴△FEC是等边三角形，
∴CE=CF，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE与△ACF中，
BC=AC∠BCE=∠ACFCE=CF，
∴△BCE≌△ACF(SAS)，
∴AF=BE，
(2)BE=2csαAF；理由如下：
如图2，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC，∠ACB=α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∴∠BAC=180°−2α．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=α，
∴∠FEC=∠FCE=α，∠ACB=∠FCE=α．
∴∠EFC=180°−2α．
∴∠BAC=∠EFC．
∴△ABC∽△FEC．
∴BCEC=ACFC．
∴BCAC=ECFC．
∵∠ACB=∠FCE=α，
∴∠BCE=∠ACF．
∴△BCE∽△ACF．
∴BEAF=BCAC．
∵AB=AC，H为BC的中点，
∴BC=2CH．
在Rt△AHC中，∠AHC=90°，
∴cs∠ACH=csα=CHAC．
∴BEAF=2CHAC=2csα．
∴BE=2csαAF．
(3)AF=4 33.理由如下：
如图3，过点D作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，
∴∠BMD=∠H=90°．
∴DM//CH．
∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，
∴DB=DE．
∴BM=EM．
∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE=30°，
∴FE=FC，∠FEC=∠FCE=30°．
∴∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°．
∴∠HCF=180°−∠H−∠HFC=30°．
∴FC=2FH．
∵FE=FC，
∴FE=2FH．
设BM=x，则BE=2x，
∵DM//CH，
∴BMBH=BDBC=15，
∴BH=5BM=5x．
∴EH=BH−BE=3x．
∵FE=2FH，
∴FE=FC=2x，FH=x．
∴HC= FC2−FH2= 3x．
在Rt△BHC中，∠BHC=90°，BC=4 7，
∴BH2+CH2=BC2．
∴(5x)2+( 3x)2=(4 7)2，解得x=2．
∴BE=2x=4．
∵BE=2csαAF，
∴AF= 33BE=4 33．