2024-2025学年吉林省长春市德惠三中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省长春市德惠三中九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中的最简二次根式是( )
A. 7B. 8C. 14D. m2
2.若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥0B. x>1C. x≥1D. x<1
3.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0没有实数根，则m的值可能是( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
4.在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是( )
A. 2，3，4，5B. 1，3，6，12
C. 1.5，2，3.5，4D. 4，5，8，10
5.如图，如果∠B=∠D，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是( )
A. ∠C=∠AED
B. ∠BAC=∠DAE
C. ABAD=ACAE
D. ∠BAD=∠CAE
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，下列三角函数值正确的是( )
A. sinA=1517B. csA=1517C. tanA=158D. sinB=815
7.式子2cs30°−tan45°的值是( )
A. 1− 22B. 0C. 3−1D. 3− 22
8.如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A的坐标为(−2,4).若以原点O为位似中心，相似比为14，把△AOB缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A. (−12,1)
B. (−12,1)或(12,−1)
C. (−8,16)
D. (−8,16)或(8,−16)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9. (π−3.14)2=______．
10.已知ab=32，那么a−bb等于______．
11.某款汽车价格由2023年8月份39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率为x，则可列方程为______．
12.已知两个相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是______．
13.如图，身高1.6m的某学生沿着树影BA由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=4m，CA=1m，则树的高度为______．
14.如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF//BC交AD于点F，那么FGAG=______．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 48÷ 3− 12× 12+ 6．
16.(本小题8分)
解方程
(1)(x−2)2−25=0；
(2)x2+5x−2=0．
17.(本小题8分)
已知：关于x的方程x2−(m+2)x+2m=0．
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x12+x22+x1x2=3，求m的值．
18.(本小题8分)
如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，BC=6，DF=6，求DE的长．
19.(本小题8分)
已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB=8，AD=3，AC=6，AE=4，求证：△ABC∽△AED．
20.(本小题8分)
如图，图①、图②、图③均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、M、N均在格点上.按要求完成下列问题，在给定的网格中作图时只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．
(1)在图①中，点P为AD与BC的交点，则APPD的值为______．
(2)在图②中，在线段EF上确定一点Q，使EQ=2．
(3)在图③中，在线段HN上确定一点K，连结GK、MK，使△GKH∽△MKN．
21.(本小题8分)
配方法是一种重要的解决问题的方法，可以求代数式的最大或最小值
(1)求代数式x2+2x−4的最小值时，可以配方为x2+2x−4=(x2+2x+1)−5=(x+1)2−5，可知当x= ______时，x2+2x−4有最小值，最小值是______．
(2)代数式−3x2+6x−4的最大值是______．
(3)已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，则a−b的值为______．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF.已知四边形BFED是平行四边形，DEBC=14．
(1)若AB=8，求线段AD的长．
(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
23.(本小题8分)
【教材呈现】如表是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
【定理证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】
(1)如图②，在四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥AC，点P、M、N分别是AC、AD、BC的中点，连结PM、PN、MN.若∠ACD=40°，则∠PMN的大小为______°.
(2)如图③，在△ABC中，点D在AB上，且BD=AC，点M、N分别是AD、BC的中点，连结NM并延长，交CA延长线于点E，则∠BAC与∠E的数量关系为______．
24.(本小题8分)
如图所示，直线y=−34x+b与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B，将△AOB沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
(1)求点C的坐标；
(2)设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接PB，以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC
①求证：△PBC∽△MPA；
②是否存在点P使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.D
5.C
6.B
7.C
8.B
9.π−3.14
10.12
11.39(1−x)2=31.59
12.2：3
13.8m
14.14
15.解： 48÷ 3− 12× 12+ 6
= 16− 6+ 6
=4− 6+ 6
=4．
16.解：(1)(x−2)2−25=0，
∴(x−2)2=25，
∴x−2=±5，
∴x1=7，x2=−3；
(2)x2+5x−2=0，
∵a=1，b=5，c=−2，
∴Δ=52−4×1×(−2)=33>0，
∴x=−5± 332×1，
∴x1=−5+ 332，x2=−5− 332．
17.(1)证明：∵Δ=[−(m+2)]2−4×2m=m2−4m+4=(m−2)2，
∴Δ≥0，
故无论m为何值，方程总有实数根．
(2)解：由题意得：x1+x2=m+2，x1⋅x2=2m，
∵x_1=(x1+x2)2−2x1x2+x1⋅x2=(x1+x2)2−x1⋅x2，
∴(m+2)2−2m=3，
整理得：m2+2m+1=0，
解得：m=−1．
18.解：∵AD//BE//CF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=3，BC=6，DF=6，
∴36=DE6−DE，
解得：DE=2．
19.证明：在△ABC和△AED 中，
∵ABAE=84=2,ACAD=63=2，
∴ABAE=ACAD．
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED．
20.(1)32；
(2)取格点R，S，连接SR交EF于Q，如图：
Q即为所求；
理由：
∵SE=4.SF=3，
∴EF= SE2+SF2=5，
同(1)可知EQFQ=ERSF=23，
∴EQ=25EF=2；
(3)取格点W，连接MW交HN于K，如图：
K即为所求；
理由：
∵HKNK=HWMN=13，
∴GHMN=HKNK=13，
∵∠GHK=90°=∠MNK，
∴△GKH∽△MKN．
21.(1)−1，−5；
(2)−1；
(3)4．
22.解：(1)∵四边形BFED是平行四边形，
∴DE//BF，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=14，
∵AB=8，
∴AD=2；
(2)∵△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=(14)2=116，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积是16，
∵四边形BFED是平行四边形，
∴EF//AB，
∴△EFC∽△ABC，
∴S△EFCS△ABC=(34)2=916，
∴△EFC的面积=9，
∴平行四边形BFED的面积=16−9−1=6．
23.【定理证明】证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ADAB=AEAC=12，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE//BC，DEBC=ADAB=12，
即：DE//BC，DE=12BC；
【结论应用】(1)解：∵点P，M分别是AD，AC的中点，
∴PM=12CD，PM//CD，
∴∠APM=∠ACD=40°，
∵点P，N分别是AC，BC的中点，
∴PN=12AB，PN/​/AB，
∵AB⊥AC，
∴∠APN=90°，
∴∠MPN=130°，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM=12(180°−∠MPN)=25°，
(2)解：取CD的中点G，连接MG，NG，
∵N，G分别是BC，CD的中点，
∴NG是△BDC的中位线，
∴NG//BD，NG=12BD，
∵M，G分别是AD，CD的中点，
∴MG是△ADC的中位线，
∴MG//AC，MG=12AC，
∵BD=AC，
∴GN=GM，
∴∠GMN=∠GNM，
∵MG//AC，NG//BD，
∴∠GMN=∠E，∠GNM=∠BMN，
∵∠BMN=∠AME，
∴∠E=∠AME，
∴∠BAC=∠E+∠AME=2∠E．
24.(1)解：∵A(4,0)，且点C与点A关于y轴对称，∴C(−4,0)．
(2)①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC．
又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP．
∴△PBC∽△MPA．
②存在．
解：∵直线y=−34x+b与x轴相交于点A(4,0)，
∴把A(4,0)代入y=−34x+b，得：b=3.∴y=−34x+3.∴B(0,3)．
当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO
∴POBO=BOAO，即PO3=34.∴PO=94 即：P1(−94,0)．
当∠PMB=90°时，则∠PMA=90°(如图)．
∴∠PAM+∠MPA=90°．
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°．
∴BP⊥AC．
∵过点B只有一条直线与AC垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2(0,0)．
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P1(−94,0)，P2(0,0)．
如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE//BC，且DE=12BC.对此，我们可以用演绎推理给出证明．