2024-2025学年贵州省六盘水十九中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年贵州省六盘水十九中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x2+1x=0B. x2+xy+1=0C. 3x+2=1D. x2+1=0
2.下列命题中，真命题是( )
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分
D. 矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
3.若关于x的一元二次方程x2+bx−2=0的一个根为x=−1，则b的值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
4.下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2+x+1=0B. x2+2x+1=0C. x2−2x−1=0D. x2−x−2=0
5.用配方法解一元二次方程x2−6x−4=0，配方正确的是( )
A. (x−6)2=32B. (x−6)2=40C. (x−3)2=5D. (x−3)2=13
6.如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
A. 2.4
B. 4
C. 4.8
D. 5
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF=14AC，连接EF.若AC=10，则EF的长为( )
A. 52
B. 3
C. 4
D. 5
8.如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB= 5，BC= 20，则四边形EFGH的面积为( )
A. 2 5
B. 5
C. 10
D. 4 5
9.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、BC上，点E为AB的中点，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠，此时DA与DC重合(A、C都落在点G)，连接BG.则△DEF的面积为( )
A. 30
B. 16
C. 6 5
D. 15
10.如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则BF的长是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
11.已知关于x的一元二次方程(1a−1)x2+x+a2−1=0有一个根为0，则a的值为( )
A. ±1B. 1C. −1D. 任意实数
12.如图，正方形的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( )
A. 3
B. 6
C. 3
D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.方程x2=4x的解是______．
14.若关于x的方程4x3m−1−mx+1=0是一元二次方程，则m的值为______．
15.菱形有一个内角是60°，边长为6cm，则它的面积是______cm2．
16.已知直角三角形的两条边长分别是方程x2−14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解下列方程：
(1)x2−4x+3=0(利用配方法)；
(2)2x2−3x−1=0(利用公式法)；
(3)2(x−3)2=15−5x(利用因式分解法)．
18.(本小题10分)
已知关于x的方程x2+x+n=0一个实数根为2，求另一个根．
19.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：BE=DF．
(2)当∠BAD=110°时，求∠EAF的度数．
20.(本小题10分)
已知如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于O，CE//DB，交AB的延长线于E.求证：AC=CE．
21.(本小题10分)
已知关于x的方程(k2−4)x2+(k−2)x=0．
(1)当k为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
22.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD中点，过A作AF//BC交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD=AF；
(2)如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
23.(本小题10分)
已知代数式x2−5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
24.(本小题12分)
如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE=AF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若∠ABC=60°，△ABE的面积等于4 3，求平行线AB与DC间的距离．
25.(本小题12分)
如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.A
5.D
6.C
7.A
8.B
9.D
10.C
11.C
12.D
13.0或4
14.1
15.18 3
16.10或2 7
17.解：(1)x2−4x+3=0，
x2−4x+4=−3+4，
(x−2)2=1，
x−2=±1，
∴x1=3，x2=1；
(2)2x2−3x−1=0，
∵a=2，b=−3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×(−1)=17，
∴x=−b± Δ2a=3± 174，
∴x1=3+ 174,x2=3− 174；
(3)2(x−3)2=15−5x，
2(x−3)2=−5(x−3)，
2(x−3)2+5(x−3)=0，
(x−3)[2(x−3)+5]=0，
(x−3)(2x−1)=0，
x−3=0或2x−1=0，
∴x1=3,x2=12．
18.解：设x1，x2是一元二次方程x2+x+n=0的两个实数根，
∴x1+x2=−1，
∵一个实数根为2，
∴另外一个根为：−1−2=−3．
19.(1)证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，
∠AEB=∠AFD∠B=∠DAB=AD，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴BE=DF；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∴∠BAD+∠B=180°，
∵∠BAD=110°，
∴∠B=70°
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAE=20°，
∴∠DAF=20°，
∴∠EAF=∠BAD−∠BAE−∠DAF=110°−20°−20°=70°．
20.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO．
∴∠OAB=∠OBA．
∵CE//OB，
∴∠OBA=∠E．
∴∠OAB=∠E．
∴AC=CE．
21.解：(1)根据题意，得k2−4=0且k−2≠0．
解得k=−2．
所以当k=−2时，此方程是一元一次方程；
(2)根据题意，得k2−4≠0．
解得k≠±2．
此时一元二次方程的二次项系数是k2−4、一次项系数是k−2，常数项是0．
22.(1)证明：∵AF//BC，
∴∠EAF=∠EDB，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，∠EAF=∠EDBAE=DE∠AEF=∠DEB，
∴△AEF≌△DEB(ASA)，
∴AF=BD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，
∴AD=BD=DC=12BC，
∴AD=AF；
(2)当AB=AC时，四边形ADCF是正方形．
∵AF=BD=DC，AF/​/BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是中线，
∴AD⊥BC，
∵AD=AF，
∴四边形ADCF是正方形．
23.解：由题意，得x2−5x+7=(x−52)2+34，
∵(x−52)2≥0，
∴(x−52)2+34≥34，
∴(x−52)2+34>0
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有
M=x2−5x+7，
∴M=(x−52)2+34，
∴当x=52时，这个代数式的值最小为34．
24.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AD//BC，
∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BCF=∠AEB，
∴AE//FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴四边形AECF是菱形；
(2)解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=EB，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=∠ABEA=60°，
∵△ABE的面积等于4 3，
∴ 34AB2=4 3，
∴AB=4，
即AB=AE=EB=4，
由(1)知四边形AECF是菱形，
∴AE=CE=4，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠ECA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得AC= BC2−AB2= (4+4)2−42=4 3，
即平行线AB与DC间的距离是4 3．
25.①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，∴EM=EN，
∵EF⊥DE
∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM,
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，
∴矩形DEFG为正方形；
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG,
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC= 2AB= 2×2 2=4，
∴CE+CG=4是定值．